探讨求极限的方法

1、极限是数学分析的一个重要概念.极限理论是微积分学的理论基 础，极限思维贯穿于整个数学分析.由于极限定义具有高度的抽象性，使我 们很难用定义本身去求极限，深知极限运算遍布于数学分析的始终 ， 许多重要的概念如连续、导数、定积分等都是由极限定义给出的.反之,我们又可以用这些概念求极限，所以求极限的方法十分繁多.针对这种情 况，本文对极限的一般计算方法给出了比较详细的论述 ，同时，阐述了数列 极限和函数极bm之间的关系.更重要的介绍函数极限和数列极限的计算技 巧,而这些技巧性通常是以前我们没有用到的.熟练掌握这些方法与技巧， 就会使我们对极限概念有深刻透彻的理解 ，在实践中，提高用极限理论解 决问题

2、的能力.关键词：函数极限，数列极限，一般方法，计算技巧seek ways to explore the limitsabstract: limit is "mathematical analysis" is an important concept. limit theory is the theoretical basis of calculus, the limit of thinking throughout the mathematical analysis. due to the limit defined with a high degree of abstra

3、ction, so that we find difficult to define the limits of their own deep limit calculation method known throughout "mathematical analysis" always, many important concepts such as continuous, derivatives, definite integrals, etc. are defined by the limits given. conversely, we can also find

4、the limit with these concepts, so the limit is seeking wide view of this situation, this article limits the general calculation method gives a more detailed exposition, meanwhile, describes the relationship between the number of columns between the limit and the limit function more important functio

5、n of the limits introduced several columns limit calculation skills, and these techniques of the past, we are usually not used. mastering these methods and techniques, it will make us have a deep and thorough understanding of the concept of limit, in practice, improve the ability to solve problems w

6、ith the theoretical limit.keywords: function limit, limit the number of columns, the general method to calculate tips一、引言1二、极限的内涵1（一）极限概念在数学分析中的地位及意义 1（二）极限的分类1三、数列极限和函数极限的关系 2四、求极限的一般方法 2（一）利用定义求极限2（二）利用初等函数的连续性计算函数极限 3（三）利用初等函数的图形观察出函数的极限 4（四）利用极限四则运算法则求极限 4（五）利用单侧极限求极限6（六）利用两个重要极限公式求极限 6（七）利用无穷小量

7、的等价代换计算极限 7（八）利用洛必达法则求极限8五、求极限的巧用方法9（一）利用归结原则计算数列极限9（二）利用两个准则求极限10（三）利用导数的定义求极限12（四）运用定积分的定义计算函数极限 13（五）利用泰勒公式求极限13（六）对数法15（七）利用级数和数列的关系求极限 16（八）利用中值定理求极限16（九）利用压缩性条件求极限 17（十）利用递推公式求极限18（十一）换元法求极限 19（十二）用stolz定理计算数列极限 19六、结束语21七、参考文献21一、引言数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一 门学科，也是我国师范院校数学专业的一门主干基础课程.极限是微积

8、分的理论基础，研究函数的形态变形为研究各种类型的极限求法 ，由此可 见极限的重要性.理解好极限的概念，并且掌握好极限的思想方法对学好 数学分析是至关重要的.尤其是熟练掌握极限的计算，是准确地解决 数学分析中所有问题必备的能力.因此，很好地理解极限概念也是学 好微积分的关键所在，同时，运用极限思想方法，可使人的思维从有限空间 向无限空间伸展，从静态向动态发展，从具体向抽象升华，它不仅仅解决了 初等数学所不能解决的诸多难题，同时也是从初等数学迈入高等数学的一 个重要阶梯.二、极限的内涵(一)极限概念在数学分析中的地位及意义数学分析中几乎所有的概念都离不开极限，极限是描述数列和函 数在无限过程中的变

9、化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识 无限，从量变认识质变的一种数学方法.极限概念不仅是一个数学概念，也 体现了一种处理客观数量变化的新思维、新方法.极限理论是数学分析的 基础理论，其理论的确立使微积分有了坚实的基础 ，进而使得微积分在当 今科学的整个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展.因此，很好 的理解极限概念是学习好数学分析的关键，同时，极限的思想和方法也 是高等数学区别于初等数学的标准之一 ，是一种数学修养，是近代数学思 想和方法的基础和出发点.1、数列极限im%=a,它刻画了当n无限增大时，数列4无限接近ao, 即xn-a要多小有多小及教材中的w-n定义.这个定义中的

10、n是由名来 确定的，&越小，要求n越大.2、函数极限lim f (x) = a,它刻画了函数f(x)在自变量x的某种变化过程中无限接近于a的过程.其x的变化方式有六种：xt x0, xt x：, xt x 及xt 十 1 , xt-0o ,xt°o .从而有极限的s 定义和£ - m定义.(二)极限的分类极限从宏观上分为两类：数列极限、函数极限三、数列极限和函数极限的关系在数学分析中，函数极限和数列极限是分别定义的，形式上似乎 没有什么联系，但本质上两者却可以互相转化.这种关系表现为著名的海 涅定理：lim f (x) = b u 任意数歹!j an , an #a

11、 ,且段an = a有 lim f(an) =b, a与b是有限数或无穷数.由定理可知，若lim f(x)存在(有 n -xr二限或无限),则lim f (n) = lim f (x).因此，当计算lim an时，如果有一函数 n f :x .n .f (x)使an = f (n),则先计算lim f (x),若这个极限存在，必有 x 二l i nan = l ifmx .(a样，数列极限问题就通过函数极限计算得到解决.根n .:二x_ .据海涅定理的必要性，函数f (x)在a的极限可化为函数值数列的极限；根 据海涅定理的充分性，又能够把数列极限的性质转移到函数极限上来.因 此,海涅定理是沟通

12、函数极限和数列极限的桥梁.四、求极限的一般方法(一)利用定义求极限定义(x趋向8时的函数极限)设f为定义在a,抬)上的函数，a为定值.若对任给正数8,存在正数mga)使得当xm时有|f(x)-a<8.则称函数f当xt8时以a为极限，记作lim f (x) = a, f (x)t a(xt +oc).x趋向于n时的函数极限的定义与上述定义相似，只要把定义中的x >m改为x < -m即可.下面举例说明用定义求这种函数极限的方法.例1证明:limn j ： .n2 n 1 3n2 2n23分析 这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中 的x,先将函数式适当放大，再

13、根据函数定义求证函数极限.2._证明n -n +1 1 _ 5n -3 3n2 +2n 3 - 3(3n2 +2n)当 n 2, 5n -3 0, 3n2 2n . 3n2 -3n . 0,2n -n 1 13n2 2n - 35n -2.523(3n2 2n)21 <9n n-；0, n = max 2,- i2,当n an时，有n - n 13n2 2n1 12n - n 1故 lim 2n，二 3n2 2n注1在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意 这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的名来确定n,同时要注意此 题中的n不一定非要是整数，主要是正数即可.注2函

14、数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表 示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.注意 用定义法证明极限时，有一先决条件，事先知道极限的猜测值 a,这 种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出 极限值，然后再去用定义法去证明.（二）利用初等函数的连续性计算函数极限初等函数在其定义域内是连续的，因此，根据函数的定义及其连续性， 可以将求连续函数的极限值问题转化为求自变量趋向点处的函数值的问 题.即 ximx f（x）= f（x0）,x2 5例2计算极限7tl2 l解：因为f（x）="5为初等函数，x -3x。= 2为f （x）的定义区间上的任意一点，

15、则lim f (x) = f (x0)x必一 22 5所以，原式=加上=92 -3注意若函数在一点连续，则函数在该点的极限值就等于函数在该点的函 数值.(三)利用初等函数的图形观察出函数的极限有些函数极限不是计算出来的，而是看出来的.下面的极限都是观察出来 xxlim a - 二(a 1), lim a - ： (0 ： a ： 1), limln x - - -, lim in x -,x1二二x 3 ;x >0x j ,二二nlim arctanx = 一x)二二2nlim arctanx = - 一，x八二2lim tan x = 7x >2lim tan x 二二x>

16、2：-这里不在列出.(四)利用极限四则运算法则求极限利用极限四则运算法则来求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如“二”，“2 ”等情况，都不能直 oooo接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子.在变形式中，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形.定理 已知lim f (x), lim g(x)都存在，极限值分别为a、b.则 lim if (x) -g(x).l - a-b lim f(x) g(x) = a blim f凶=2 (此时需b#0成立)2 g(x) b注意 极限号下面的极限过程是一致的，同时注意法则成立的条件，当条

17、件不满足时，常常对函数进行恒等变形或化简.常用的方法有分式的通分 或约分、分式有理化、三角函数恒等变形等.有下面的几种形式：0”计算方法是通过因式分解或根式有理化、消去分子、分母中的零因子 之后再利用四则运算法则进行计算例3求limi 的极限x 4、x 5 - 3角室原式=1防_二)("5:3) x 4(.x 5 -3)(, x 5 3)(x 4)(、x5 3)x -4=lim/x 5 3)=62. “二型：oo正常将分母、分子同除以最大的无穷大之后再用四则运算法则计算,x二 e e 二 e3. “g_g” 型：一般要通分转化成上面两种形式，这里要指出，应用法则一定要注意 法则成立的

18、前提条件.有如下结论：(1) 极限存在土极限不存在=极限不存在；(2) 极限为a(a¥0)父极限不存在=极限不存在；(3) 极限为1+ (极限不存在且不为s)=极限不存在； 4 1 2 一例4求lim (2)x的极限2 x1=则(1 42)x一尸:x2 -112(11)x: limxx)二1 x2(1 - 2),x1 x21=!m(1 7)xim。)（4）极限不存在父（子）极限不存在,结果不一定.例5求迎1in x x -1角单：原式=lim一一- ix-1 ln x x -1x -1 -ln x二 lim 二 limx (x -1)ln x * * x >11-1 xx -1

19、=limx1 xln x x - 1= lim（五）利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先,必须考虑分段 点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分段点处的极限 存在，否则极限不存在.又如lim 小 =1,此重要极限就是用单侧极限求证x ）0 x出来的.3（六）利用两个重要极限公式求极限sinx . lim = 1x 0 xc11 x（2）lim（1 x） = e; lim（1 ） =e不仅要能够运用这两个重要极限的本身，还应注意运用它们的变形形式：f(x)1"xmj1f (x)广x-efm/1 .木尸3例 6 lim (3x +e)x x 23

20、13(3xex)而limx_03x ex -1解：1mp(3x ex)x =1(3x ex -1)3x e''x3 ex/lim二 4i 13所以 lim (3x ex)x = e12 x_0 lim (1 tan x - 1 sin x例 7 lim2x )0xsin x4尸1：nn匚n2解：lim(1 十一+)nj = lim (1 十一2)1 而 旷=e f： n n f： n注意 应用第一个重要极限应满足，分母为无穷小，即极限为0;分母正弦 函数中的角度必须与分母一模一样.应用第二个重要极限应满足：带有“1”d “ 十 ”后面跟无穷小量 指数和“ 十”后面的数要互为倒数

21、（七）利用无穷小量的等价代换计算极限，一一=定理 设a我#，口且lim存在，则lim = lim -应用该方法时，要讨论常见的等价无穷小当xt 0时:2sin x|_ x, arcsin x x , tanxl x, 1 -cosxl 一，e'u x, ln(1 x)u x, 2厂-11 x.4 n2x1 tan x - . 1 sin xtan x(1 - cosx)x 21:lim 2 = limlim =一x 0 xsin xx q x (% 1 tanx % 1 sin x) x >0 x 24例 8 lim (5 x5 3x4 -3 x3 -4x2)解：令 x=l，则

22、xt -he yt 0. ylim (5 x5 3x4 -3 x3 -4x2) = lim 51 3y 一3)4yx :y0 -y方法lim 5f3ey0 ,y二lm五y0y-131 - 4y - 13 4 295 3 - 15方法51 3y - 31 - 4y lim :y 0 'ylim, 一yf十534(1 3y)51-4!32(1 -4y)3295 3 15注意 只能做分子或分母的整体替换，或分子、分母中的部分因式做替换. 无穷小的等价替换计算极限是最容易出错的方法之一 ，此法的难点在于搞 不清楚替换的原理及对象，还有就是对无穷小的等价概念不清,要注意等 价是有极限条件的.(a

23、)利用洛必达法则求极限洛必达法则是处理未定式极限的重要手段，且非常有效.但它只能应用于“ 0”型和“弓”型的未定式.只要是“ 0”型和“二”型的，都可0二0二以一直进行下去.每完成一次法则都要将式子化简.而对于0比_巴0 8严0,18 0°等形式，需化为“0”型和“一”型的形式求解.0例 9 求 lim x2x .1 ln(1 -) x解:令l=t,x2lim xx一4-x ln(1 2)11!im.t-t21n(1 t)=limj0t -ln(1 t)1 -二 lim t-0 -t211 t2t11=lim =t)0 2(1 t) 2注意如果lim 9仍是t g (x)0”型不定式

24、极限或“0二”型不定式极限， 00只要有可能，我们可以再次用洛必达法则，即考察极限lim 申是 x x0 g (x)否存在,这时f'(x)和g'(x)在x0的某邻域内必须满足洛必达法则的条件.'x-x0 g (x)x 国 g(x)若lim工史不存在，并不能说明lim f的不存在.不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件.比如这个简单的极限lim "叱=1虽然是“二”型，但若不顾条件随便使用x- -x洛必达法则lim x+sinx = lim 1+ 8sx ,就会因右式的极限不存在 x.，x x -1

25、而推出原极限不存在的错误结论.五、求极限的巧用方法(一)利用归结原则计算数列极限若已知数列的通项表达式，可转化为函数极限进行计算.即如果x呗 f(x)=a 则有 nl圾 f(n)=a例10计算lim -nj 二二二一. 21、二22 二2 sin - (1 - ) 2 sin2n n n n n1 - sinn思路用归结的原则把数列极限转化为函数的极限，再利用麦克劳林公 式求的极限.该极限如果改用洛必达去做，就会导致极限越求越复 杂的局面.解：原式=lim 2x_0sin2" x - 2(1 - x)x2 sin2 二 x22 x sin x12 °- x 2 x 二= l

26、im 2=x0(x3)-二 2(1 - x)x2sin2 二 x22x sin x-二 2x2(x5)(二 x 一1 二 3x3 f (x5)2lim73-7x 0x (二 x - (x )=limx-014 45-x 二(x )32 46、二 x 二(x )2 ji5（二）利用两个准则求极限 夹逼准则 准则1如果数列xnhyjq满足下列条件：zn1) %0 w n+,当 n a no 时，有 yn m xn m=2则的极限存在，贝 lim xn = a n >o准则 1 如果 i) x 亡 u(x0,6)(或 x > m )时，g(x) e f (x) £ h(x)ii

27、)lim g(x) = a,lim h(x) = a则limf(x) = a. ( xt°o时，结论同样成立) x_f111 一，一例11人=十下十,求力的极限n2 1 n2 2n2 n解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xnxn又因为 lim n =lim ，n =1n：n2 n n：n2 1所以，lim xn =1nf：注意 当在连加或联乘的极限里，可通过各项或各因式的放大或缩小来获 取所需的不等式.单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯一.利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列 的通项递推公式求极限.例12证明下列数列的极限存在，并求极限.%

28、 = a, v2 =、；aa,y3 "aa a, l|l,yn = a a iii 、a 证明从这个数列构造来看yn显然是单调增加的.用归纳法可证又因为 y2 = .a ' y，y3 = . a ' y2h,yn = , a ' yn，所以得 yn2 ua+yn/ .因为前面证明yn是单调增加的，两端除以yn得 < +1yn因为 yn 之 y1 = ja,则-a m ja, 从而+1 < va +1ynyn即yn是有界的.根据定理rn 有极限,而且极限唯令 lim_yn=l,则 lnmyn2 =nm( yn+a)则l2 =l +a.因为yn a0,

29、解方程得l =174a +1 2所以“mh1. 4a 1二 l 二注意由于单调递增数列必定有下界，因此对于单调递增数列只要证明数 列有上界，该数列就一定收敛，同样的对于单调递减数列只要证明该数列 有下界就可以了(三)利用导数的定义求极限导数的定义 设函数y= f(x)在u(x0)有定义，在x0自变数x的改变量是ax，相应函数的改变量是ay = f (x0+&x) - f (x0),如果7lxmo-xvlxmof (xo：x) - f (xo)x存在，则此极限就称函数f (x)在点xo的导物、口* j,f (xox) - f (xo) 6数，记为 f (xo),即 f (xo) =lxm

30、jo履.在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)，然后把所求极限f(x)表 示成在定点xo的导数.例 13 求极限 lim j pp(p >o,q >o)xo.x q：q分析 在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子 针对本题的特征，对分子分母进行有理化便可求解.但在学习了导数定义 之后，我们也可以直接运用导数的定义式来求解.解：令 f(x) = jx + p2,g(x) = jx +q2则 lim l2?p x 0 ,x q2 -qf(x) -f (0) limx- x w g(x) -g(0)x -0f (0) qg (0) p（四）运用定积分的定义计算函数极限

31、bn定积分定义是一个和极限：f （x）dx = lim £ f （与世为，如果所求极限 ai 1能够化成定积分的和式形式，则所求极限可以是为某一区间上的定积分.例 14 求1im工 ji +cos三 +,1 +cos +|（ +/ +cos解：把此极限化为某个积分和的形式，并转化为计算定积分.limn承:二 ,2 二1 cos.1 cos一 一111 n 二.11 cos 1 nk 二=lim 1 cos二1 cos二 xdx1 二1 二 2 t二0二0! ：1 costdt 2cos -dt五e t/ 2妞.t ' =£ cos-dt =sin-n七 2 冗 20

32、2 2（五）利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为 方便,使得原来的极限问题转化成多项式或有理分式的极限.下列为xt 0时在h =0点局部的麦克劳林公式：1、nx / n、二(x ) n!2、35sinx =x hmi (_1)n，3!5!2nx/ 2n、二(x ) (2n -1)!3、242ncosx =1 - - + + huii +(-1)n +o(x2n 书)2!4!(2n)!4、ln(1 x) =x - - lw ( (-1)nj 二(xn)5、(1+""一巴2 +|也-1川似-n+1)xn+o(xn) 2!n!上述展开式中

33、的符号o(xn)都有:limx ,0n、3:0nxx2e 2例15求极限lim x_0cosx - 24 x分析 当xt 0时，此函数为“0”型未定式，满足洛必达法则求极限.0若直接用洛必达法则就会发现计算过程十分复杂，稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开，再求极限就会简洁得多,x2 24e2 =1 + + +o(x4)22824角单：cosx=1-x-二(x4)2! 4!x24x 因止匕，e2 - cosx -2 = 一6(x4)2xe2 cosx - 2=limx 042 二(x4)=16注意此方法必须熟记基本初等函数的展开式，才能灵活的运用-11 v角单：lim(sincos-)x-

34、 jx,.11、xln(sin-cos )=lim e x xx_ :二（六）对数法如果函数（或数列）的极限比较难求，可以先考虑取此函数（或数列） 的对数，求出此函数（或数列）的对数的极限，然后求出原来函数（数列） 的极限.711 vj' x例 16 求极限 lim(sin - +cos)h11而 lim xln(sincos)11 ,、=lim xln 1 (sin cos- -1).x 二x x、l11设 a(x) =sin +cos-1 .当 xt 时.a(x)t0.11,、lim xln 1 (sin 一 cos- -1) x :x x= lim xln 1 a(x) 1x_i

35、 ：ln 1 a(x) 1=lim xa(x)i： a(x)=lim xa(x)x_ l 二=limx l 二,. 11/、x(sin - cos- -1)xx.11,、=lim x(一 cos- -1) xf： x x1=lim x(cos 1) 1x _ x11lim( x 2 +1) = lim(1 一)=1x一：2x2x广：2x 于是,原式 =lim(sin - cos) x = e1 = e.x x x(七)利用级数和数列的关系求极限这是应用级数理论中某些结论求极限的方法.我们知道lim un =0n .是级数z un收敛的必要条件.并且对于数列un ,对应一个级数£ un

36、 ,如 n 4n=1果能判断此级数是收敛的，由级数收敛的柯西收敛准则得出lim un = 0 ,用 n .此法的关键是求出的极限是0,换句话说，若一个数列的极限不是0,就不能用此法.例17求极限limn-i 二2n n!oo解:考虑级数zn=12n n!nnun 12n22 a因为 lim 一 = lim - = lim二一 < 1nunn (n 1) n(i . 1)n enoo故级数'n 12nn!收敛,从而limn ?二n2 n!=0.(八)利用中值定理求极限1、微分中值定理 若函数f(x)满足1)在la,b连续.2)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点"

37、;使f'" f(b)fb。a2 aa例 18 求 lim n (arctan -arctan ). (a#0)n-'nn 1解：设f (x) = arctanx ,在ia,a上用中值定理，_n 1 n得:a a 1a aa a、f(-)-f(-) = -2(-)(其中 f<:<一), n n 11，：nn1n 1 n故当nt=o时，0,可知：原式=lim n2 22an ：:1 n(n 1)二 a2、积分中值定理 设函数f(x)在闭区间ja,b】上连续；g(x)在a,b上不变号且可积，则在a,b上至少有一点七bb使得f(x)g(x)dx = f e)1 g

38、(x)dx (a«t«b) aa3t例 19 求 lim 4 sinnxdxn ： 0角室lim /sinnxdxn -0= limsin xnl -0 i 1 0 < t <(n“v4j i. 4 jn. n行 nmsin二0(九)利用压缩性条件求极限原理 设仅满足：xn-xn| <k xn -xn1 , 0 <k <1,n =2,3川则 kn收 敛.1 ,、.例 20 设 x1 >0,xn+ =,(n 之 1),求 lim xn2 xnn解：首先证明lim xn的存在: n 3)由已知条件：xn 1 -xn12xn12xnxn1 -

39、xn(2 xn)(2 xn)1又显然 0 :二 xn - ,(n -1)于是(2 xn)(2 xn)_4故 xn 1 - xnxn -xn,于是lim xn存在,记为an一j 二则在上式中求极限：a= 1 ，即a=v2±1-1 ,1又 0<xnw,故 0 <a <22于是：lim xn = x/2-1 (舍去 v2 + 1).网 n ：(十)利用递推公式求极限理论 我们常常见到一些数列满足 xn = f(xn),我们可以利用f(xn)的规律性来推得某些关系再结合其他求极限的方法，可求得4的极限.例 21 fibonacci 数列 a0 =a>0,an. = a

40、n书 +an,n = 0,1,2,3111那么 limans =-5二n 二 an 2证明：记必=9 贝tjbo=1,bn=1+,，n=1,2lllanbn 1则bn 1 -bn =(1 1)-(1 j)=bn bnbn 4bnbn q由可得：bnbn4 =bn1于是，bn14二打显然 bn _1,n =0,1,2|n于是: bn+ -bnbn bnw-'lb11潴足压缩性条件，故>收敛于b,在中两端取极限，b=1 + -, b且由b>1,可知b=y5±12an 15 1lim =lim bn = b =n 二 an n 二2(十一)换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂时或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求.例 22 lix21 x - e x解：令 x = 1 ，贝 uxt -uyy-0有li2x1 d-x一 e = lim _ex x j "ln(1 -')二x=lim ey-0 'ln(1 y)-y2yln(1 y) - y1 = liml yo2 y=limy ' 2y(1 y)x2所以li1 r e = ex（十二）用stolz定理计算数列极限定理i 4型）设是5趋近于零的数列，0是单调减