高考数学试题分类汇编数列汇总

1、201 1 年高考数学试题分类汇编数列精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-35 -十、数列、选择题1 .(天津理4)已知an为等差数列，其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,0为*an的前n项和，n N ,则S'。的值为A. -110B. -90C. 90D. 110【答案】D2 .(四川理8)数列an的首项为3, 6为等差数列且bn an 1 an (n N *)若则 b32bio 12 则 比A. 0 B. 3 C. 8 D. 11【答案】B【解析】由已知知bn2n8,an1 an2n 8,由叠加法(a2 a1)(a3 a2) I"(a8 a7)6

2、42 0 2 46 0 a8 a133 .(四川理11)已知定义在0, 上的函数f(x)满足f(x) 3f(x 2),当x 0,2 时，f(x)x2 2x .设 f(x)在 2n 22n 上的最大值为 an(n N*) ,且an的前n项和为Sn,则nim Sn53A. 3 B. 2 C. 2 D. 2【答案】Df(x 2)【解析】由题意13 f (x)，在2n 2,2n上,1111,f(x) 1,n 2,f(x) -,n 3,f(x)(3川向(-)n 1 3331 (-)n& - 31lim Sn - 24 .（上海理18）设an是各项为正数的无穷数列，A是边长为ai,ai 1的矩形面

3、积（i 1，2，|）,则A1为等比数列的充要条件为A, an是等比数列。B, &，%，|"加 Ml 或 a2，a4，|，a2n，| 是等比数列。c. a1,a3,lll,a2n 1,111 和a2,a4,lll,a2nMi均是等比数列。D. a1,a3”,a2n 1, 和a2,a4,口,a2n,"l均是等比数列，且公比相同【答案】D5 .（全国大纲理4）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sk 2 Sk 24，则 kA. 8B. 7 C. 6 D. 5【答案】D6 .（江西理5）已知数列an的前n项和Sn满足：Sn Sm Snm，且a1=1.那

4、么 a10 =A. 1B. 9 C. 10 D. 55【答案】A7 .（福建理10）已知函数f （x） =e+x，对于曲线y=f （x）上横坐标成等差数列 的三个点A,B,C，给出以下判断：4ABC 一定是钝角三角形4ABC可能是直角三角形4ABC可能是等腰三角形4ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A . B.C.D.【答案】B二、填空题8 .（湖南理12）设Sn是等差数列an （n N），的前n项和，且a1 1，a4 7, 则 S9 =.【答案】259 .（重庆理11）在等差数列an中，a3 a7 37 ,则a2 a4 a6 a8【答案】74110 .（北京理11）在等比数列an中，

5、a1 = 2 , a4=-4,则公比一.a1 a2 . anoq=2? 2n 112.【答案】211 .（安徽理14）已知 ABC的一个内角为120。，并且三边长构成公差为4的 等差数列，则 ABC的面积为.【答案】15 312 .（湖北理13）九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下 各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则 第5节的容积为 开。6713 .（广东理11）等差数列an前9项的和等于前4项的和.若ai 1,ak a40 ,贝 U k=【答案】1014 .（江苏13）设1 a1 a2a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，

6、a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是3 、【答案】-3 三、解答题15 .（江苏20）设M部分为正整数组成的集合，数列an的首项a1 1 ,前n项和为Sn,已知对任意整数k M,当整数n印,Snk Sn k 2（Sn Sk）都成立（1）设 M 1，a2 2,求a5 的值；（2）设M 3,4，求数列an的通项公式本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考 查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分 16分。解：（1）由题设知，当n2日1Sn1Sn12（SnS1）,即(Sn1 Sn)(Sn Sn1) 2S1从而an 1 an2a12,又a2 2,故当 n 2时

7、，ana2 2(n 2) 2n 2.所以a5的值为8。（2）由题设知，当k M 3,4,且门 k 时,Snk Snk 2s 2Sk且 Sn 1 kSn 1 k 20 12Sk两式相减得 an 1 k an 1 k2an 1,即 an 1 kan 1 kan 1 an 1 k所以当 n8日, an 6, an 3 , an , an 3 , an 6成等差数歹，且 an 6 , an 2 ,an 2, an 6 也成等差数列从而当 n 8 时，2anan 3an 3 an 6 an6.(*)日 an 6 an 6 an 2 an 2,所以当n 8时,2烝an 2an 2即 an 2 an an

8、an 2 .于是当 n 9Bt ,an 3,anJajan 3成等差数列,从而 an 3 an 3 Hn 1 Hn 1故由(*)式知2an an 1 an1, 即 an1anan 1.当 n 9 时，设 d an an 1.当2 m 80寸,m 6 7 8,从而由（*）苴矢口 2am 6amam 122am 7am 1 am 13 .从而' 2(am 7 am 6)am 1am( am 13am 12)于是 am1am2d d d.因此,an 1 and对任意n 2都成立，又由Sn kSn k 2Sk 2Sk(k 3,4)可知(Sn kSn) (& &k) 2S故9d2

9、 s3 且 16d 2S4a4解得16.因此，数列an为等差数列,由a1所以数列an的通项公式为an 2n（安徽理18）在数1和100之间插入n个实数，使得这n1知 d 2.1.2个数构成递增的等比数列，将这n 2个数的乘积记作Tn,再令anlgTn, n>1（I ）求数列an的通项公式;(正)设 bn tanan|tanan 1 ,求数列 bn的前n项和Sn本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识, 考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力解：(I)设l1,12, ,1n 2构成等比数列,其中t11,tn 2100，则Tnt1 t2tn 1

10、 tn 2,日Tntn 1 tn 2t? L,邕2 /XD并利用 t1tn3i t1tn 2 10 (1 in 2),得-2，、，、，、，、Tn("n2)&tn1)(tn&)(tn2篦102(n 2)an 1g Tnn 2, n 1.nn(II)由题意和(I)中计算结果，知bntan(n2) tan(n 3), n 1.另一方面，利用tanl tan(k 1) k)tan(k 1) tank1 tan(k 1) tan ktan(k 1) tan ktan(k 1) tanktan11.nSnbk所以 k12tan(k 1) tan k3n 2(tan(k 1)k 3

11、 tan1tan(n 3) tan 3 n tan117.(北京理20)若数列 Ana1,a2,an(n 2)满足 an 1 &1(k 1,2，,n 1),数列 An 为 E数列，记 S(An) = a1 a2 an.(I)写出一个满足a1 as °,且S(As)0的E数列An；(H)若a1 12 , n=2000,证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;(m)对任意给定的整数n (n>3 ,是否存在首项为0的E数列An,使 得S人=0?如果存在，写出一个满足条件的 E数列An;如果不存在，说明理由。解：(I) 0, 1, 2, 1, 0是一具满足条件的E

12、数歹1A5。(答案不唯一，0, 1, 0, 1, 0也是一个满足条件的E的数列A5)(II)必要性：因为E数列A5是递增数列，所以 a- ak 1(k 1,2,1999).所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以 a2000=12+ (2000 1) X1=2011.充分性，由于a2000- a10000la2000- a1000<l a2 a1 0 1所以 a2000- a0 19999 即 a2000< a1+1999.又因为 a1=12, a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故 an1 an 10(k1,2,，1999)，即An是递增数列.综上，结论

13、得证(m)令 ckak 1 ak 1 0(k1,2, ,n 1),贝 Uca1.因为a2 a1G a1a1G c2an a1C1C2n(n 1)2所以 S(An)na(n 1)G (n 2R (n 3)c3Cn 1S(AJ 0,必须使n(L所以要使2 为偶数，即 4整除 n(n 1),亦即n 4m或n 4m 1(m N*)当 n 4m 1(m N *)时，E数列 An的项满足 a4k 1 a4k 1 Q a4k 21, a4k 1(k 1,2, ,m)时，有 &0,S(An) 0;a4k 1( k 1,2, ,m),a4k 10 时，有 & 0,S(An) 0;当 n 4m 1

14、(m N*)时，E数列 An 的项满足，a4k 1 a3k 3 0,a4k 21,当n 4m 2或n 4m 3(m N)时,n(m 1)不能被4整除，此时不存在E数列An,使得 a10,S(An)0.18.(福建理16)13已知等比数列an的公比q=3,前3项和S3= 3 0(I)求数列an的通项公式；x -(II)若函数f(x) Asin(2x )(A 0,0 p )在6处取得最大值，且最大值为a3,求函数f (x)的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。13 日4(1 33)13q 3£ 一信,解：(I)由31 33

15、1a1 二.解得 31 n 1 n 2an - 33 .所以 3(II)由(I)可知an3n2,所以 a33.因为函数f(x)的最大值为3,所以A=3x因为当 6时f(x)取得最大值,sin(2 )1.所以 60，故一.又6f(x) 3sin(2x所以函数f(x)的解析式为19.(广东理20)(1)设b>0,数列an满足a1=b,求数列an的通项公式;证明：对于一切正整数n,anbn 12nnban 11 2n1.2(n 2)解:a1b 0,知 an(1)由nban 1an 1 2n 2 n 12 n 10,-一anb b an 1An, A1令ani 12n25t, AiAn 1当bb

16、n 2cn 1"IIIrnr/Abbbbn 2 n 11 22 2bb2bn 1 bn .当b 2时,1b(1bn2nbn (b 2)b 2时,An -.当2nbn(b 2)ananbn2,2n,b 2(2)当 bnbn (b20.2时,(欲证2)bnbn 2n(2n 1 bn22nbn(bn n 、2 b (2an2n 11,只需证nbn1 bn2n) b222nbn (bbn2 日la。综上所述(湖北理已知数列anr R,r 1)IIIIII2)an19)(2nIII2nbn1 bn22nbn2n(2n 11)(bnb2nbn 12nn n2n 2 b2) 2nbn2n 11.b

17、n2n 1bn 12n 11.1.的前n项和为Sn且满足:(I)求数列an的通项公式;n n1"2bn 2 2n1)2n 12bIIIb2)2na11bna (a小 2n1bn 1°) an 1 rSn (n N*?1 Y ,（n）若存在k N对于任意的m N，且m,使得& 1, Sk, Sk 2成等差数列，是判断：对于任意的 m N*,且m 2 , am 1 , am , am 2是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及 特殊与一般的思想。（满分13分）解：（I）由已知an 1 rSn,可得an 2 r

18、Sn 1,两式相减可得an 2an 1 r(S1 Sn) ran1,即an2 (r 1)an 1,又a2ra1 ra,所以 r=0时,数列an为：a, 0,，0,当r 0，r1时，由已知a0,所以an0(n N ),an 2于是由an 2(r 1)an 1，可得an 1r 1(na2,a3,口,an注成等比数列,n 2 _当 n 2时anr(r 1) a.an综上，数列an的通项公式为anr (rn 1, 1)n 2a,n 2*（II）对于彳i意的m N ,且m2,am 1,am,am 2成等差数列，证明如下:am当r=0时，由（I）知，a,n 1,0,n 22,am1,am,am 2成等差数

19、列,当r 0, r 1时,S Sk 2 Sk ak 1ak 2, Sk 1ak 1.*若存在k N，使得SkhS'Sk2成等差数列,贝U Sk 1Sk 22Sk2Sk 2ak 1 ak 2 2Sk, 即 ak 22ak 1,由(I)知，a2,a3MI,am,| 的公比 r 12,于是对于任意的 m N 且m 2, am 12am,从而am 2 4am,am 1 am 2 2am，即 am 1,am,am 2 欣等:十:数歹.*综上，对于任意的m N ,且m ZamjaEam 2成等差数列。21.(辽宁理17)已知等差数列an满足a2=0, a6+a8=-10(I)求数列an的通项公式;

20、(II)求数列2n的前n项和.解:(I)设等差数列七的公差为d,由已知条件可得ai2aid 0,12d10,a11,解得d 1.故数列an的通项公式为an 2 n.2n 1(II)设数列2-的前n项和为SnSn,即aia22IIISna122a2所以，当n 1时,Sn2aia211 (21 (1IIIan21an 1 n 1On2n2n 12 n2nn2nSn所以n2n 1 .二的前n项和S综上，数列222.（全国大纲理20）1设数列an满足a1 0且1 an 1，1.1 an(D求an的通项公式;(n)记Snbn设解:由题设11an 111 an1,bk,证明：Sn 1.是公差为1又1 a1

21、1,故-1 ann.an所以(II)由(I)得n 1 、nbnnSn bkk 11 n11.12分23.(全国新课标理17)2已知等比数列an的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a39a2a6.(I)求数列an的通项公式.(II)设 bnlog 3 al log3 a2III log3an,求数列”的前n项和.解:(I )设数列an的公比为q,a； 9a2a6 彳日 a3田行219a2q9a4所以91q 由条件可知c>0,故 3由 2a13a21 得 2 a1 3a2qai所以故数列an的通项式为an=13n(R)bn log3a1log3 a2log3 an(1 2 . n) n(n

22、 1)1 故bn2n(n 1)2(1 n-1b1b21bn1 2(1 -)2(23)11(-)n n 12nn 1?所以数列bn的前n项和为2nn 124.(山东理20)等比数列an中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I)求数列an的通项公式；(n)若数列bn满足：bn an ( 1)lnan,求数列"的前n项和Sn.解：(I)当a1 3 *时，不合题意；当a1 2时，当且仅当a2 6,a3 18时，符合题意；当a1 10时，不合题意。因此 al 2

23、, a26,a318,所以公式q=3,故an2 3n(II)因为 bnan(1)nlnan3n(1)n(2 3n 1)S2n2(1当n为偶数时,Sn2ln3n n3-1n 3 1;2当n为奇数时,n n 131n32SnIn 21.n 1(In 2 1n3) (n)1n 32综上所述,Sn3n nln3 1, n为偶数23n- Lln3-ln2-1,n 为奇数225.(上海理22)已知数列an和bn的通项公式分别为an 3n 6 , bn 2n 7(n*N ),将集合x|xan,n N* Jx|x bn,n N )中的元素从小到大依次排列，构成数列G,c2,Q,|,CnJ| (1)求 ci,C

24、2,Q,C4； (2)求证：在数列Cn中.但不在数列bn中的项恰为a2,a4,|,a2n,| ;(3)求数列cn的通项公式。解：c19,c211,C3 12,c4 13.?任意n N3(2n 1)6n3 bk 2ka2n 1b3n 2假设a2n 6n6 bk 2k3n*N(矛盾)a2n bn在数列cn中.但不在数列bn中的项恰为a2,a4,|,a2n,| b3k 22(3k 2) 7 6k 3 a2k 1 ,b3k 16k 5a2k 6k 6 b3k 6k 76k3 6k56k 66k1时,依次有b1a1c1,b2 c2,a2 c3,b3 c46k3(n4k3)cn6k5(n4k2), k6k

25、6(n4k1)6k 7 (n 4k)26.(四川理20)设d为非零实数,1(C1d 2C2d2 HI (n 1)C/dn1 nC：dn(n N*)(1)写出a1,a2,a3并判断an是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；*、(II)设bn ndan(n N ) ,求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)a1 da2 d(d 1)2a3 d(d 1)an Cnd C：d2an1 d(1 d)nC2d3 | Cnn1dnd(1 d)n 1an 1an因为d为常数，所以an是以d为首项，d 1为公比的等比数歹I。 bnnd2(1 d)n 1Sn d2(1 d)0 2d2(1 d)1 3d2

26、(1 d)2 | nd2(1 d)n 1 d2(1 d)0 2(1 d)1 3(1 d)2 WW n(1 d)n1(1)(1 d)Sn d2(1 d)1 2(1 d)2 3(1 d)3 WW n(1 d)n(2)dSn(Dd21 (1 (1 d)n) 1 (1 d)d 2n(1 d)nd (d2n d)(1 d)nSn 1 (dn 1)(1 d)n27.(天津理20)已知数列an与bn满足:bnanan 1bn 1an 20,bn3 ( 1)n*2 nN ra1 2,a2 4(I )求 a3,a4,a5 的值;(n)设品*a2n1 a2n1,n N，证明：cn是等比数列;4n Sk*(“)设

27、Ska2 a4a2k,k N ,证明：k 1 ak7*(n N )6本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.解:由 bn MWbn可得1,n为奇数2,n为偶数又 bnanan1bn 冏 20,5；4.当n=1 时,a 1+a2+2a3=0,由a1=2,a 2=4,可得a33;当 n=2 时,2a 2+a3+a4=0,可得 a 当 n=3 时,a3+a4+2a5=0,可得 a(II)*证明：对任意n N ,a2n 1a2n 2a2n 10,2a2na2n 1a2n 20,a2n 1a2n 22a2n一

28、，得a2n 3.a将代入,可得 a2n 1 a2n 3(a2n 1a2n 1 )即cn 1*cn(n N )又 c1a1a31,故 Cn 0,cn 1因此cn1,所以cn是等比数列.(1)k(III)证明：由(II)可得 a2k 1 a2k 1于是，对任意k /且卜2,有a a3as)a5a71,1,1,(1) (a2k 3 a2k 1)1.将以上各式相加，得ka1 ( 1) a2k1(k 1),即 a2k 1 ( 1)k 1(k 1)此式当k=1时也成立.由式得a2k ( 1)k1(k3).从而 S2k (a2 a4)(%a8) |( (a4k 2a4k)k,S2k 1S2ka4k3.所以,

29、对任意n,n4n Skk 1 akn (S4m 3m 1 a4m 3a4m 2S4m1a4m 1n (2m 2 2mm 1 2m 2m2m 32m 1mf(2 m2)(2m 2)m 2 2m(2m 1)(2n 2)(2 n 3)m2 (2m 1)(2m 1)3(2n 2)(2n3)(、,11、) (5 7)HIA-1-)2n 1(2n 2)(2 n 3)2n 1 (2n 2)(2n 3)对于n=1,不等式显然成立.S1S2a1a2111S2n 1S2na2n 1a2nS3S4(-)a1 a2 a3a4III(S2n 1S2n )a2n 1a2n(1242 (42 1) M(1) (4n 1)(

30、4 A)224 (41)4n(4n 1)J 1、() n4 1228.(浙江理19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a (a R),设数列的前n项和为Sn,且a1 , a2 ,a4成等比数列(1)求数列an的通项公式及SnAn记1S1S2S3Snc 111Bnala2a22a2n ,当n 2时，试比较An与Bn的大小.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。(I)解：设等差数列an的公差为d,由(尹得 (a1 d)2a1(a1 3d)因为d 0,所以dan na1 , Sn a所以an(n 1)21(II)解：因为Sn六)A工工 1 n 5 S2S3*Sn-(1 a因为a2n 12所以Bn1a22lb a12