高考理科数学(全国二卷)真题

1、第14页共15页2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷n)6月 7 日 15: 00-17: 00注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。号证考准 二二二二二二二二二二二名姓4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。-.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是

2、符合题目要求的。(1)设集合 M = 0,1,2, N=x|x23x+200,则 M A N=()(A) 1(B) 2(C) 0,1(D) 1,2(2)设复数Z1, z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1 = 2+i,则Z1Z2=( )(A) -5(B) 5(C) -4+i(D) -4-i(3)设向量 a, b 满足| a+ b| =J10), | a- b| =J6,则 a b=()(A)1(B)2(C)3(D) 5(4)钝角三角形ABC的面积是2, AB= 1, BO V2,则AC=()(A)5(B)乖(C)2(D) 1(5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.7

3、5,连续两大为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为 优良的概率是()(A) 0.8(B) 0.75(C) 0.6(D) 0.45(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 (表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得至L则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()(A)1727(B)(C)1027(D)(7)执行右图程序框图，如果输入的(A) 4(B) 5(。6(D) 7x, t均为2,则输出的S=(8)设曲线y = ax-ln(x+ 1)在点(0, 0)处的切线方程为y=2x,则a=()(A) 0(

4、B) 1(C) 2(D) 3x y 7< 0(9)设x, y满足约束条件x 3y 1<0 ,则z= 2x- y的最大值为()3x y 5)> 0(A) 10(B) 8(C) 3(D) 2(10)设F为抛物线C: y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A, B两点，O为坐标原点，则4 OAB的面积为()3.39,3639(A) 4(B) 8(C) 32(D)4(11)直三棱柱 ABGA1B1C1 中，/ BCA= 90° , M, N 分别是 A1B1, AiCi 的中点，BC= CA= CC,则BM与AN所成的角的余弦值为( (12)设函数

5、f(x)=V3sin mx,若存在f(x)的极值点刈满足x02+f(x0) 2<m2,则m1 (A)记2(B)530(C)市2 (D)名的取值范围是(A) ( oo, 6) U(6, + oo)(C)(一巴2) U (2, + oo)B B) ( °°, 4) U (4, 十 °°)(D) (8, 1) U(1, + OO)本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题第21题为必考题，每个试题考生必须 做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13) (x+a)10的展开式中，x7的系数为15,则a =

6、.(用数字填写答案)(14)函数 f(x) =sin(x+2 小)-2sin(|)cos(x+ 小)的最大值为.(15)已知偶函数f(x)在0, + 8)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范 围是.(16)设点M (xo, 1),若在圆O： x2 + y2=1上存在点N,使得/ OMN = 45° ,则 xo的取值范围是:三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)已知数歹!J an满足 a1 = 1, an+1 = 3an+ 1.、1 一一.(I)证明an + 2是等比数列，并求an的通项公式；(H)证明： 工 + +&

7、lt;3.a1 a2an 2(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA，平面ABCR E为PD的中百 八、(I )证明：PB/平面AEQ(H)设二面角 D-AEC为60° , AP= 1, AD=m，求三棱锥E-ACD的体积.PCDE(19)(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(I )求y关于t的线性回归方程；(II)利用(I)中的回归方程，分析

8、 2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：ntiF yi yb 二, j? ybT ._ 2ti ti 1(20)(本小题满分12分) x2 y2设Fi, F2分别是椭圆C:系+衣=1 (a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且 MF2与x轴垂直，直线MFi与C的另一个交点为N.3(I )若直线MN的斜率为分，求C的离心率；(H)若直线 MN在y轴上的截距为2,且| MN| =5| FiN|，求a, b.(21)(本小题满分12分)已知函数 f(x) =ex-ex

9、-2x.(I )讨论f(x)的单调性；(H)设 g(x)= f(2x)-4bf(x),当 x>0 时，g(x)>0,求 b 的最大值;(m)已知1.4142</< 1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10)选修41:几何证明选讲如图，P是。外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与。相交于点B, C, PO2PA, D为PC的中点，AD的延长线交。于点E.证明：(I ) BE= EC;(n) AD DE= 2PB2,、(23)(本小题满分10

10、)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的，一，一、一一冗极坐标万程为 -2cos仇 长0,2.(I )求C的参数方程；(H)设点D在C上，C在D处的切线与直线l: y=J3x+2垂直，根据(I) 中你得到的参数方程，确定 D的坐标.(24)(本小题满分10)选修45:不等式选讲设函数 f(x)=|x+ -| +| x-a| (a>0).a，(I )证明：f( x) >2;(H)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国 卷II )理科数学试题参考答案一、选择题(1) D . N =

11、 x| x23x+ 200= x| 1 < x< 2,.MnN= 1, 2,故选：D.(2) AZ1 = 2+i对应的点的坐标为(2, 1),;复数Z1, Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，. (2, 1)关于虚轴对称的点的坐标为(一2, 1),则对应的复数，Z2= 2+i,M 4及=(2+i) (2+i) =i2 4= 14= 5,故选：A.(3) A v |a+b| =10, |a-b| =6,.分别平方得 a2+2a?b+b2=10, a2 2a?b+b2 = 6,两式相减得4a?b=106=4,即a?b=1,故选：A.1_(4) B =钝角三角形 ABC的面积是2, AB

12、=c= 1, BO a=J2,11_2 . S= 2ac sinB= 2,即 sinB= 2 ,当 B 为钝角时，cosB= ，1sin2B= 2 ,利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2 2AB?BC?cosB= 1 + 2+2 = 5,即 AC= 乖，工当 B 为锐角时，cosB= 41sin2B= 2 ,利用余弦定理得：AC2=AB2+ BC2-2AB?BC?cosB= 1 + 2 2=1,即 AC= 1,止匕时AB + ACFmBC2,即 ABC为直角三角形，不合题意，舍去，WJAC=乖.故选：B.(5) A设随后一天的空气质量为优良的概率为P,则有题意可得0.75X P= 0.6,解

13、得P=0.8,故选：A.(6) C几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2, 一个是底面半径为2,高为4,组合体体积是：3262 + 22冗?4 = 34冗.底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：327tx 6=54冗.切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：54一纥=10 .故选：C.5427(7) D 若乂= t=2,则第一次循环，102 成立，则 M=1XQ2, S= 2+3 = 5, 12_.一_,、k= 2,第二次循环，202成立，则M=2X攵2, S= 2 + 5=7, k= 3,此时3< 2不成立，输出S= 7,故选：D.(8) D y'= a-

14、 -, /. y (0) = a-1 =2, /.a=3.故答案选 D. x 1(9) B作出不等式组对应的平面区域如阴影部分 ABC.由 z=2x y 得 y=2x z,平移直线 y=2x z,由图象可知当直线v= 2x-z经过点C时，直线y= 2xz的截距最小，此时z最大.x y 7= 0x= 5由 x 3y 1= 0 uuuu uur uuuuBM AN一cos. BM , AN-uuuuuutu | BM | | AN | 解得 y= 2 5即C (5, 2),代入目标函数z= 2x-y,得 z=2X5 2 = 8.故选：B.(10) D.直线 AB: y= F(x 3)，代入抛物线方

15、程可得4y21273y 9= 0, 设 A (x1，y1)，B (x2, y2),则所求三角形面积S= - X 3 X而y2)4y1y2 =9 ,故选：D. 244(11) C 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴建立空间向量坐标系,则设 CA= CB= 1,则 B (0, 1,0) , M (2 , ： , 1) , A (1, 0, 0) , N (，0, 1),urnui11uur 13_4 _ 6 - 522 BM =( , - 1 , 1), AN=(-00, 1),(12) C23,- f (Xo)一 .3 cosX0 mm0,. X0m?kz即 |&| m|k1

16、 , 1,21 21X012-2X0 f(X0)3,而已知Xo* 22f X0、选择题3,23m42,故选：C(13)2(14)(15) (1, 3)(16) 1,1三、填空题(17) (I)由an3an+1 得 a1 + 3( an + ) o22又a132，所以公比为3的等比数歹上1 an 2因此an的通项公式为ann )31o2因为当n1时,3n 1 2 3n于是- a1a2an13n 12(1JA - o3n2所以工+工十+工9an2aa2(18) ( I )连接BD交AC于点O,连结EQ因为ABCD为矩形，所以。为BD的中点。又E为PD的中点，所以EO/ PREO 平面AEG PB

17、平面AEC 所以PB平面 AEC(H)因为PA 平面ABCR ABCD为矩形，所以AR AD、AP两两垂直。建立空间直角坐标系A xyz,则D (0, 73, 0) , E (0,uuirAE =(0,设 B (m, 0, 0) (m>0)，则 C (m, 60)UUIT,AC =0)。设n1 =(x,y, z)为平面ACE的法向量，则niuuur AC uuu AEmx 、. 3y,31y - z22可取n1 =又n2 =(1,0, 0)由题设cos(n,n2)|高2,解得B-x0E为平面mniC mDAE的法向量,D *因为E为PD的中点,所以三棱锥E ACD的高为12三菱锥E AC

18、D的体如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长,积 V=1 23 2(19) (I)由所给数据计算得1 c cc 、t - (1 + 2 +3+ 4+5 +6+7)=41/CCCCCCy- (2.9+ 3.3+ 3.6+ 4.4+ 4.8 + 5.2+ 5.9)= 4.37_(t1t)2 = 9+ 4+ 1 + 0+ 1 + 4+ 9= 28t 17_(tt)( y1y)t 1=(3)X( 1.4)+( 2)X( 1)+( 1)X( 0.7)+0X0.1 + 1 X0.5+2X0.9+3X1.6= 14,(t t)( yiy)t 172(tlt)2t 114280.5 ，$

19、 y $t 4,3 0.5 4 2.3。所求回归方程为y 0.5t 2,3。(H)由(I)知，b = 0,5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均 纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5千元。将2015年的年份代号t = 9带入(I)中的回归方程，得y 0.5 9 2.3 6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为 6.8千元(20)b2(I )根据 c Ja2 b2 及题设知 M (c, ) , 2b2 3ac。a将b2 a2 c2代入2b2 3ac,解得* 1 , -2 (舍去)。a 2 a故C的离心率为1。2(H)由题意，原点。为F1F2的中点，MF2 y轴

20、，所以直线MF1与y轴的交点b2D (0, 2)是线段MF1的中点，故 ab2 4a 由 MN 5 F1N 得 DF12 F1N。设N ( % , y)，由题意知y1 <0,则3c,即 x12c,y11代入c的方程，得£ 4 1。4a b2将及c ，a2 b2代入得9(a产)4a2( c X1)2必214a解得 a 7, b2 4a 28,1,第16页共15页故a 7, b 2"。(21)(I ) f '(x) = ex e x 2 0 ,等号仅当x 0时成立。所以f(x)在(8, + OO)单调递增。(H) g(x) = f (2 x) 4bf(x) e2x

21、 e 2x 4b(ex ex) (8b 4)xg'(x) = 2 e2x e2x 2b(ex ex) (4b 2)= 2(ex ex 2)(ex ex 2b 2)(i)当b 2时，g'(x) >0,等号仅当x 0时成立，所以g(x)在(一oo, 十°°)单调递增。而g(0) =0,所以对任意x>0, g(x) >0;(ii)当 b>2 时，若 x满足 2< ex + e x<2b-2,即 0<x< ln(b 1 +b2 2b)时，g'(x) <0O 而 g(0) = 0,因此当 0Vx< ln(b1+、b2 2b)时,g(x)<0。综上，b的最大值为2。(m)由(H)知， g(ln V2) 3 272b 2(2b 1)ln 2 0 2当 b = 2 时，g(ln&) 3 472 61n 2 >0; ln2 > % 3 >0.6928;当 b 32 1 时，ln