机械类高等数学定积分PPT课件

1、第七章定积分 本章中将讨论积分学的另一个基本问题定积分问题我们先从几何问题与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法关于定积分的应用，将在第八章讨论第一节定积分概念 本节通过两个实例的分析，给出定积分的定义，指出定积分的几何意义一、两个实例引例曲边梯形的面积 ABab yfxOxy图7.1第1页/共63页第2页/共63页 根据以上分析，曲边梯形面积可按如下四个步骤求得：0121nnaxxxxxb图7.2Oxy yfx0axnbx1x2x1ixix动画演示第3页/共63页,11021,nnx xx xxx它们的长度依次为1102211,.nnnxxxxxxxxx(1,2, )iA

2、 in( )1,2,iiiAfxin第4页/共63页111,2,nniiiiiAAfxin（ ）01limniiiAfx（ ）可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限 引例变速直线运动的路程.第5页/共63页我们知道，对于等速直线运动，有公式： 路程= =速度时间具体计算步骤如下：第6页/共63页0121nnatttttb01121 , , , , nnt tt ttt各个小段时间的长记为11,2,iiitttin 相应地，在各段时间内物体经过的路程为1,2,isin( )1,2,iiisvtin第7页/共63页1( )niiisvt01lim( )niiisvt可见，变速直线运动的路程也是一个和

3、式的极限 二、定积分的定义第8页/共63页01211,iinnaxxxxxxxb 1niiifx第9页/共63页 01dlimnbiiaif xxfx 根据定积分的定义，前面两个例子可以分别写成定积分的形式如下： dbaAf x x第10页/共63页 dbasv tt dddbbbaaaf xxf ttf uu第11页/共63页三、定积分的几何意义 第12页/共63页 dbaf x xA 或 dbaAf xx 图7.3 Oxyab yfx图7.4 Oxyab yfxcd1A2A3A第13页/共63页( )bOxy图7.5 123dbaf xxAAA总之，定积分的几何意义是其值是曲边梯形面积的代

4、数和 例7.17.1用定积分表示图中阴影部分的面积200( )ddaaAf xxxx221dAxx2yx212yxa图7.5( )aOxy第14页/共63页dbaAx022210(1)1d(1)1dAxxxx( )cOxy1y ab( )doxy12211yx第15页/共63页思考题7.1练习题7.11利用定积分的几何意义说明下列各式成立.1201d4xx1 2220cos d2cos dx xx x2 2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正还是负（不必计算）. 20sin dx x1 20sin cos dxx x2 第16页/共63页第二节 定积分的性质 这一节我们讨论定积分的性质

5、和如何利用定积分的几何意义来计算函数的定积分一、定积分的性质 下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均不加限制；其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积. . 性质1 1函数的和( (差) )的定积分等于它们的定积分的和（差），即 dddbbbaaaf xg xxf xxg xx证 01dlim ( )( )nbiiiaif xg xxfgx0011lim( )lim( )nniiiiiifxgx第17页/共63页 ddbbaaf xxg xx注：这个性质可以推广到有限多个函数的情形 性质2 2 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前面，即 ddbbaakf xxkf xx dddbcb

6、aacf xxf xxf xx dbaf xxba第18页/共63页 d0 ()baf xxab dd()bbaaf xxg xxab ( )( )d0bag xf xx再由性质，便得要证的不等式 注：这个性质说明，若比较两个定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可第19页/共63页证因为( )( )( )f xf xf x所以由推论和性质可得( )d( )d( )dbbbaaaf xxf xxf xx即 ddbbaaf xxf xx d()bam baf xx M baab第20页/共63页 d()baf xxfbaab这个公式叫做积分中值公式.图7.6oxy yfxab f动画演示第21页

7、/共63页1100e d2dxxxx第22页/共63页22102eed2xxx二、利用定积分的几何意义计算定积分图7.77.7 oxy1121yx122011d (1)44xx第23页/共63页3120119(1)d(2 5)(1 1)222xxAA思考题7.21yx3,23图7.8 Oxy-111A2A第24页/共63页1.1.利用定积分性质, ,确定下列积分的符号: :(1) 0sin dx x112ln d .x x(2) 2.2.利用定积分的几何意义求下列定积分: : (1) 526dx (2) 42(1)dx x2224dxx(3) 练习题7.2第25页/共63页第三节微积分基本公式

8、 应用定积分的定义去计算定积分，尽管被积函数很简单，也是一件比较困难的事所以，需要寻找简便而有效的方法这就是牛顿莱布尼茨公式.一、变上限定积分 d ()xaxf tt axb第26页/共63页变上限定积分有下面重要性质： dxaxf tt d( )d()dxaxf ttf xaxbx第27页/共63页 dxaxf tt0cos 21 d xtt cos(21)x 第28页/共63页230d2ddxyttx2322()xx622xx622xx200cos dlim2xxttx20cos1lim22xx第29页/共63页二、牛顿(Newton)(Newton)莱布尼茨(Leibniz)(Leibn

9、iz)公式引例变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系21( )dttv tt21( )( )s ts t2121( )d( )( )ttv tts ts t第30页/共63页下面我们给出定积分的计算公式：牛顿莱布尼茨公式. dbaf xxF bF a ()F xxC axb第31页/共63页 dxaf ttF xF a dbaf ttF bF a即 dbaf xxF bF a dbbaaf x xF xF bF a第32页/共63页2244sin dcosx xx 2coscos242 解 e13lndxxx e13lnd 3lnxx2e113ln2x1716922第33页/共63页222

10、22222200022ddd111xxxxxxxx222222200112d 1d211xxxx 12222220012 12arcsin2xx 2122 解 思考题7.3第34页/共63页练习题7.33.计算下列定积分： 2110dx 20231 daxxx 9431dxxx 204cossin daxx x 21d521xx 21206edttt第35页/共63页第四节 定积分的分部积分公式 我们在学习了微积分基本公式的基础上，本节讨论定积分的分部积分法和分段函数的定积分的解法一、定积分的分部积分公式由上一章知道，不定积分的分部积分公式是ddu vuvv u于是( ) ( )d( ) (

11、)d bbaau x v xxu x v xx ( ) ( )( ) ( )d bau x v xv x u xx ( ) ( )( ) ( )dbbaau x v xv x u xx简记为 ddbbbaaauv xuvvu x或 ddbbbaaau vuvv u这就是定积分的分部积分公式第36页/共63页 注：定积分的分部积分公式的应用原则和所适用的积分类型类似于不定积分4411lndln d2xxxxx44211lndxxxxx解 414ln222 2ln2 1x 1100e dd exxxxx1100ee dxxxx10ee1x解2222220200arcsin darcsind1xx

12、xxxxx解第37页/共63页222021ln 182x21ln282二、分段函数的定积分 我们在定积分的计算中，有时会遇到分段函数的定积分，对于这类定积分的计算，关键是根据被积函数在积分区间上的不同表达式和定积分的迭加性质把定积分分成两个或更多个积分和的形式，然后进行计算1ee1e11elnd( ln )dln dx xxxx x1e11eln lnxxxxxx 12 1e解 第38页/共63页 2202110dded1cosxxf xxxxx202210211ded()2cos2xxxx202012tane2xx41112tane222解 第39页/共63页12131) dxxx（0122

13、10(31) d(31) dxxxxxx012210(21) d(41) dxxxx0133101 11 1(21)(41)2 34 3xx113231333解 思考题7.4第40页/共63页练习题7.41求下列各定积分： 101e dxxx求下列各定积分： 12101arctan d21dx xxx 202sin dxx x第41页/共63页第五节 定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法2211dcosd1cos2 d2xxt ttt21111sinarcsin12422ttCxxxC第42页/共63页其次应用牛顿莱布尼茨公式得11220011d(arcsin1)24xxxxx 显然，这样

14、的计算过程太麻烦，如果能把两个过程合在一起就简便多了为此，我们给出下面的定理 ddbaf xxfttt第43页/共63页420012dd22txttx20221d2tt2022ln 2832ln2tt于是第44页/共63页2510144401001cossin ddd55txx xtttt 于是224400cossin dcosdcosxx xxx 250cos5x 11055 第45页/共63页ln20e1dxx211220021 1d2d11ttttttt 12012(1)d1tt1022arctan 22tt于是二、奇（偶）函数定积分 0d2daaaf x xf x x第46页/共63页

15、 00ddaaf x xfuu 00ddaafuufxx 000ddddaaaaaf xxf xxfxxf xfxx 2f xfxf x从而 0d2daaaf x xf x x第47页/共63页 d0aaf x x请读者仿照偶函数的证明方法自己证明注：这两个结论可以当作公式使用图7.9给出了奇偶函数在对称区间上定积分的几何意义. 图7.9OxyaaOxyaa第48页/共63页第49页/共63页2244222220233d2d11xxxxxx4420sin6cos d1 sintt tt2444001 cos26sind6d2tt tt2401116cos2cos 2d424ttt44001 1

16、111 cos46 sin2 d4 42242ttt40333 1193sin4822 28162tt第50页/共63页思考题7.51用换元积分法求定积分时应注意什么？练习题7.51求下列各定积分： 3221e20ed11d21 lnxxxxx2利用函数的奇偶性，计算下列积分： 21252142252arcsinsin1d2d11xxxxxxxx第51页/共63页第六节广义积分 一、积分区间为无穷区间的广义积分图7.1021yx1bOxy第52页/共63页21111d1bbxxxb 211limdlim(1)1bbbxxb第53页/共63页 dlimdbaabf xxf xx第54页/共63页

17、 dlimdbbaaf xxf xx第55页/共63页 df xx即 dddccf xxf xxf xx limdlimdcbacabf xxf xx0220ddlimlim11baabxxxx第56页/共63页00lim arctanlim arctan22baabxx111dddlimbpbxxxxxx1lim lnlim lnbbbxb 11ddlimbppbxxxx1111lim1111pbbpxppp第57页/共63页二、无界函数的广义积分 0limdbaf xx 0dlimdbbaaf xxf xx第58页/共63页 0limdbaf xx存在，则定义 0dlimdbbaaf xxf xx都收敛, ,则定义第59页/共63页 dddbcbaacf xxf xxf xx 1200limdlimdcbacf xxf xx121210122211000d11l