高等数学公式定理整理

1、高等数学公式定理整理1.01 版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理红色为公式三角函数恒等公式： 两角和差cos(a B) cosa?cos0 sin a?sin B cos( a- B = cos a OS a+Sin a in a S sin( a±B = sin a in 巾 ±COSa OS a s ,/、 (tan a+tan0atan( a+ B =(1-tan a an a tatatan( a- B = (tan a- tan B an+3tan a an a和差化积sin a+sin (3= 2sinsin a-si

2、n (3= 2cos(a+2(a+2cosa+ cos B= 2cos(«+ Bcosa-cosB= -2sin2(a+2cos-sin-(«- B.2 -«- B,2积化和差sin a in a =esin( a+ B +sin( a- (3 )cos a os a =rsin( a+ B -sin( a- (3 )cos a os a =1、ecos( «+ B + cos( a- B )一 _ 1sin a in a=-cos( a+ (3 -cos( a- (3 )倍角公式(部分)：很重要！sin2 a= 2sin q sin =(tan a+

3、cot a o2. 222cos2 a = cos a-sin a= 2cos a-1 = 1-2sin q,c 2tan a tan2 a=2-1-tan 乜、函数函数的特性:1.有界性：假设函数在D上有定义，如果存在正数M使得对于任何的xS D都满足|f(x)| WML则称f (x)是D的有界函数。如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。2 .单调性设f (x)的定义域为 D,区间I Do X1, x26 I ,那么，如 果x1<x2,那么就是单调增加函数；如果x1>x2,那么就是单 调减少函数。3 .奇偶性如果f(-x)=f(x), 那就成为偶函数，如果 f(-x)=

4、-f(x),那就是奇函数。4.周期性设函数的定义域为 D,若存在不为零的数T,使得任一 x 6 D有(x±T) 6 D,且f (x±T) =f (x)总是成立，就称该函 数为周期函数，如sin x , cos x ,它们就是以2兀为周期的 周期函数。反函数：就是用自变量X来表示原函数Y,如下列式子：原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f(x)=x-5 ; 复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：哥函数(xa)，指数函数(ax),对数函数(log ax, lg x log iox , In x log ex),三角 函数(sinx , cosx

5、, tanx , ctnx , secx , cscx),反三角函 数(常见反三角 函数为 arcsinx , arccosx , arctanx ) 复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x 一 x0 f (x) =A如何得知一个函数有极限？算由左极限和右极限。并且左右极限相等。极限运算法则lim xfxo f (x) ± g(x)=limx-x。f (x) ± lim x-x。g (x) =A± Blim x-x。f

6、(x)lim x-x。cf (x) =clim x 一 x0 f (x) =cAlim x-x。g (x) =lim x-x。f (x) g (x)lim f ( x)xx。lim=- (Bwg ( x ) Bxx。二A-Blim f ( x ) x x。g ( x )。)lim n limf(x)n f(x)nAnxx。xx。lim ； l lim一n f(n) nf(x) nAx x。 xx。重要！：两个重要极限1.夹逼准则如果 xn , yn, Zn ?两足 xnWynWZn那么lim yn lim Znlim xn a这就是夹逼准则2. xlim sin x /或者lim.1sin 一

7、 x图1如图 1, /AOC=x(0<x<2/Tt)面积< AOC面积，于是有：,由于 |BD|=x ,弧 BC=x, |CA|=tan x 且4OBC面积扇形 OBC1-11-sinx - x - tanx222化简 sinx x tanxxtanx xsinx （两边同时除以 sinx1 即1 cosx即cosx 1sin x sin xsin xx根据夹逼准则得出limlim sin xcosx x 0 x 0 xlimx 0所以lim sinx x 0 xlim /、° elim /1、x3 .0（1 x）x e或丫11e （这是标准公式,x 0xx题目有类

8、似的把它转换成标准公式即可)4 .无穷大量和无穷小量(1)性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量(2)性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量(3)性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量定理1,在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。定理2, b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o (a)定理 3,设 aa' ,bb'且 limb' /存 在，则 lima/b=lima ' /b '无穷小量的比较：limb 0高阶无穷小lim9低阶无穷小 limb C 0同阶无穷小aaalimb 1等价无穷小a其中等价无穷小可

9、运用到极限运算中(加减关系不能用，乘除关系可以用，且x趋于0)等价公式：当 x-0时，sinxx , tanxx,arcsinxx ,arctanxx ,1-cosx(1/2)* (xA2)secx-1,(aAx) -1x*lna ( (aAx-1)/xlna) ,(eAx) -1x , ln(1+x)x ,(1+Bx)a-1aBx, (1+x)1/n-1 ( 1/n ) *x , loga(1+x)x/lna ,(1+x)a-1ax(aw0),5 .连续定义 设函数f (x)在x0的某个去心邻域内有定义，若 lim(x-0) A y=0,则称函数f (x)在x0这个点连续条件：(1) f (

10、x0)有定义，有数值；(2) lim (x-x0)有极限，(3)且左右极限相等；才连续。左右连续和左右极限相同，如图：limx x0f ( x)f (x)limx x0f ( x)f (x)就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。( 1)间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。跳跃间断点： 左右极限存在却不相等， 在该点有 (无) 定义。震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。闭区间连续函数的性质：1、 a,b 区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、函数f (x)在a,b区间连续，则在

11、a,b必定有界；3、若函数f(x)在a,b连续，且f(a户A,f(b尸B,又AwB, C是介 于A, B的一个值，则必定存在一个点七,使得 f ( E ) =C ;4、若函数f(x)在a,b连续，且f(a), f(b)异号，则一定存在 一个 x0 6 ( a, b),使得 f (x0) =0；三、导数导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率;求某一点的导数f'(x)lim f(x) f(X0)xxoXX。连续不一定可导，可导一定连续;导数的求导公式：1 .y=c(c 为常数)y'=02 .y=x n y'=nx3 .y=a x y'=a y=ex y&#

12、39;=e x(n-1)xlnay=lnx y'=1/x5 .y=sinx y'=cosx6 .y=cosx y'=-sinx7 .y=tanx y'=1/cos8 .y=cotx y'=-1/sin9.y=arcsinx y'=1/Vl-x 210.y=arccosx y'=-1/Vl-x 2函数的求导法则:f(x) g(x)' f(x) g(x)'f(x)g(x) f(x)'g(x) f(x)g(x)f(x), f(x)'g(x) f(x)g(x)g(x)g(x)2复合函数求导法则：链式法则:dy或也依

13、次循环dx du dxf(x) ex1f'(x) ex 1?(x 1)'例：x 1f'(x) ex1隐函数求导法：(1)两端同时求导22x y25d / 22、 d。二(xy )25dxdxd x2d y2 25整理dx dx2x 2ydy 0求导dx2y 包 2x dxdyxdxy(2)等式两端取对数1.先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；参数方程求导法：罗尔定理：a,b连续，(a,b)可导，且f(a户f(b),则有一个数E ,使得( 士)二0。拉格朗日定理：a,b连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点 E ,使得 f(b)-f(a)=f'(七)

14、(b-a)即亚9b a罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如色或者一的未定0式，可以直接对分子分母求导运算。如果是 0 8时可通过0 - 01 1 来求。如果是 0-0或8 -8可以通分来求。0函数的单调性和极值：四步走：1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二 阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。二阶导 为正数则是凹，为负数则是凸；四、不定积分不定积分和导数是逆运算关系；不定积分求法分三种：直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用一cos2xdx个字母代替变量，如：

15、cos2xd2x）;第二类换元积分法（当 sin 2x c被积函数中有诸如 Jax bx这样的根式,可令根式为u,然后依次往下，带入原式）；分部积分法：udv uv vdu五、定积分1 .求定积分上限函数和下限函数上限函数x12tdt 2x（x）下限函数12tdt 2x （x'）x就是求下限积分时，把符号倒过来变成上限积分；2 .牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数c)3 .广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）（1）积分区间的无穷区间即求广义积分的敛散性，如果xdxaxdxaxdx lim xdx mxx如果他们极限存在，则 可以称为收敛，反之,axdx则是发散；如例题

16、:ex 1 1口是偶函数） x1l*1x 0e xdxlim e xdx lim e x00x 0x所以这个积分是收敛的；（2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分）1讨论广义积分 3dx勺敛散性；1 x这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f （0）外连续，在1（。）处无定义lx”/,所以x=0是被积函数的无穷间断 点；于是:1 10 12dx2dx(因为函数1 x1 x0 1 , r 1lim fdx lim 一 1x 01 x2 x 0 x '所以，该函数是发散的 六、微分方程1 .可分离变量的通解，直接计算2 .齐次方程通解，用 u代替yx3 . 一阶线性非齐次方程的通解形如 y'

17、; p(x)y q(x)备注q(x) 0p(x)dxp(x)dxy e q(x)?e c附：一阶线性齐次方程的通解p(x)dxy e c4 .可降解二阶微分方程通解y'' (x)连续积分两次，注意，要有两个常数cl, c2y'' (y',x)令y' u, yr u',依次降阶计算y'' (y',y)令y' u, y'' udu,依次计算 dx5 .二阶线性齐次方程通解形如 y'' p(x) y' q(x)y 02 r p(x)r q(x) 0参数方程求法 解一元二次方程组，得ri, r2;如果ri , r2是不相同的两个实数根(单根)，那么r1x c r 2 xyCie C2e如果ri , r2是两个相同的实数根(重根)，那么y(Ci C2x)erx如果ri , r2是两个非实数根(共辗复数根)，那么r a biy eax(Cicosbx C2sinbx)二阶线性非齐次微分方程的通解二阶线