数学归纳法的理论思考及应用推广

1、数学归纳法的理论思考及应用推广 2015-2016年度课程论文写作题目：数学归纳法的理论思考及应用推广论文类别：高等数学研究作者姓名：指导老师：班级：学号：联系电话： 中文摘要 数学归纳法是数学中一个比较重要的数学方法,在数学的各个分支中都有应用,有关的数学论文和文献也是不计其数.在数学的各种考察中,数学归纳法往往会渗透在题目的中.而同学们在解决这些问题的时候,往往会由于各种方面的原因而遇到障碍,比如对数学归纳法的理解不足,又或者是技巧使用的不恰当,等等.为了使学生加深对数学归纳法的理解与提高学生的解题能力,我们结合课本知识,以及参考相关的文献,力求能够剖析数学归纳法的证题方法与技巧.在本论文

2、中,我们先介绍了有关数学归纳法的理论来源以及推广形式,并对其加以理论的解释,然后通过数学中相关的例题来加深对数学归纳法的理解以及提高解题能力,以便为学生的解题提供一些支持. 关键词：理论思考，数学归纳法，应用推广1.预备知识（数学归纳法的理论来源）三个基本原理及其关系初探 1.1归纳原理 1.1.1原理的叙述归纳原理是由皮亚诺提出的关于正整数的五条原理中的第五原理:设,如果下列条件成立: （一）, （二）如果,那么，则.在证明论中归纳原理是皮亚诺算术系统的一个公理，按照证明论的表述可写为:其中为的后继,不在或中出现,是注意项.称为归纳公式. 归纳原理的意思是,如果我们可以证明对自然数有性质,且

3、任一数有能推出后继有性质,那么对于任一项都有性质.而数学归纳法正是归纳原理的特殊情况,可表示为:.数学归纳法一般用来证明有关自然数的问题.1.1.2归纳原理与数学归纳法的关系数学归纳法的理论基础正是归纳原理.然而,归纳原理的建立是在19世纪末才完成的一项工作,而数学归纳法的思想可以追溯到公元6世纪的毕达哥拉斯学派.数学归纳法漫长的发展史对后来的自然数公理化体系产生了深刻的影响.1889年,意大利数学家皮亚诺在确立自然数公理体系时，把数学归纳法思想作为归纳原理确立起来.由此,我们不难得出结论,归纳原理的提出,源自于数学归纳法的萌芽和发展,反过来,归纳原理又为数学归纳法的证明提供必要的理论依据.1

4、.2最小数原理1.2.1原理的叙述所谓最小数原理，指的就是：自然数集的任何一个非空子集必有一个最小数,即存在自然数,使得对任意的,都有.1.2.2归纳原理与最小数原理的关系最小数原理和归纳原理是自然数公理体系中的两个最基本的原理.实际上,这两个原理是等价的.(一)用归纳原理证明最小数原理证明:（1）若非空子集不含0元素,则为正整数集的非空子集. 若只含一个元素时,这个元素就是最小数. 假设正整数集的非空子集含个元素时, 具有最小数.对于元集,新加入的元素和中的最小数相比较.若新加入的元素不大于,则新加入的元素为元集的最小数;若新加入的元素大于,则仍为该元集的最小值.于是,由归纳原理,可知此种情

5、况下的最小数原理成立.（2）若非空子集含0元素,则0为的最小数.综上所述,可知,最小数原理成立.（二）用最小数原理证明归纳原理证明:由条件可知,成立,且成立可导出成立.于是对于一切的,都有成立.否则,假设对于若干个正整数,都不成立.由最小数原理,可得这个正整数必有最小数,不妨设为,则不成立.显然,必存在一个自然数,使得,并且成立.而由条件,可知成立,但与不成立相矛盾,所以假设不成立,则归纳原理成立.由上述的研究，可以发现，归纳原理与最小数原理是等价命题的.可是我们经过更进一步的研究发现,归纳公理的研究范围是正整数集合,而最小数原理的研究范围是自然数集,从这个角度,我们又可以认为最小数原理是归纳

6、原理在等价条件下的一个推广原理.最小数原理引导我们从极端出发讨论问题，蕴含了“退”的思想，退到最简单而又不失本质的地方去思考.1.2.3最小数原理的推广推广原理叙述：在有限个实数组成的集合中,必存在最小的一个实数.1.3最大数原理1.3.1原理的叙述所谓最大数原理,指的就是：非正整数集的任何一个非空子集必有一个最大数,即存在非正整数,使得对任意的,都有.1.3.2最大数原理与最小数原理的关系我们同样可以从最小数原理出发，进而证明最大数原理,具体证明过程如下:设,且,显然.而由,可得.令,则.由最小数原理,知存在,使对于任意的,都有.也就是存在,使得对于任意的,都有,最大数原理得证.最小数原理和

7、最大数原理,只是在不同的条件下所使用的两个不同的原理.而由上述的证明过程中,我们可以很清晰地发现,最大数原理可以看成是最小数原理的一个反面,当我们需要使用其中的一者时,往往可以采用从反面入手的方法,从另外一者出发,进而达到解决问题的目的.实际上,最大数原理和最小数原理都是来源于归纳原理的,是归纳原理在不同条件下所产出的两个不同的原理.而最小数原理与最大数原理则更进一步地促进了归纳原理在数学中的应用.1.3.3最大数原理的推广推广原理叙述：在有限个实数组成的集合中,必存在最大的一个实数.1.4这几个基本原理的关系图2.数学归纳法分类2.1数学归纳法基本形式2.1.2第一数学归纳法2.1.2.1文

8、字叙述 设是关于正整数的一个命题（性质）.如果下列两个条件成立： （一）当时, 成立; （二）假设当时,成立,可以推出成立.那么,对于任意的,都成立.2.1.2.2第一数学归纳法证明证明 设,则为的子集.显然.而由条件,可知若,可以推出,因此由归纳原理,可知,也就是对于任意的,都成立.2.1.2.3第一数学归纳法分析实际上,第一数学归纳法与归纳原理是等价的.归纳公理是针对正整数而言的,而第一数学归纳法则是针对有关正整数的命题（性质）而言的,其本质都是由正整数所导出的解决问题的方法.对于初学者来说,要接受第一数学归纳法的含义和正确性并不难,但要正确地用好第一数学归纳法却不是一件容易的事.第一数学

9、归纳法中的两步缺一不可.验证是奠基,就比如多米诺骨牌一样, 唯有在我们去推第一块骨牌这个条件满足下,后面的情况才会有可能发生.同样地,对于整个命题（性质）的证明起到了决定性的作用.而利用归纳假设结合有关数学知识证出成立是递推的依据,就好比如多米诺骨牌中,每两块的骨牌之间的摆放方式要满足一定的条件,才能发生骨牌连续倒下的事情.可见,第一数学归纳法中的两个条件是相辅相成、缺一不可的.接下来,我们就从几个比较简单的例子入手,对第一数学归纳的使用作进一步的说明.2.1.3第二数学归纳法2.1.3.1文字叙述 设是关于正整数的一个命题（性质）.如果下列两个条件成立： （一）当时, 成立; （二）假设对一

10、切小于的正整数,都成立,可以推出成立.那么,对于任意的,都成立.2.1.3.2第二数学归纳法证明证明 设,则由成立,可知成立.当时,显然成立.现设成立,即对所有成立.由ii）知成立,所以,对,都成立,从而成立.于是,由第一数学归纳法,可知对任意,都成立,进而成立.第二数学归纳法获证.2.1.3.3第二数学归纳法分析有时候,我们在处理一些问题,往往会发生仅仅利用第一数学归纳法的归纳假设条件也解决不了题目的情况.正是因为这样,才引发了我们对第一数学归纳法的归纳假设条件的思考.第二数学归纳法是第一数学归纳法的推论.它的区别就在于,我们在假设的时候,需要假设对若干个正整数,不妨设为,命题都成立,进而利

11、用归纳假设推出命题对也成立.实际上,当时,第二数学归纳法就成为了第一数学归纳法.由此可见,我们对第一数学归纳法的归纳假设条件强化之后,就得到了第二数学归纳法.2.2数学归纳法的推广形式我们在实际处理问题的时候,仅仅采用上面的两个数学归纳法来解决问题往往会比较难入手.这时,我们就需要采用数学归纳法的推广形式.2.2.1无穷递降法2.2.1.1文字叙述 设关于正整数的命题满足: （一）若当时,成立; （二）可以推出存在且,使得成立.那么对于任意的,都不成立.2.2.1.2无穷递降法证明无穷递降法实际上就是最小数原理的一种等价形式.接下来,我们就用最小数原理来证明递降法.证明 用反证法证明.假设存在

12、某些正整数,使得命题都不成立.那么我们令.显然是正整数集的非空子集,故中必有最小数,不妨设为.因此当时,成立.由条件,得存在且,使得成立.那么由成立,可得.但是与为的最小数相矛盾.所以假设不成立.于是无穷递降法成立.2.2.1.3无穷递降法分析无穷递降法,是来源于不定方程的求解,它一般用于证明方程的无解,比较著名的就是,证明方程没有正整数解.而无穷递降法还有另外一种表述:“若命题对某些正整数成立,设是使得成立的最小正整数,则可以证明存在,使得成立”,进而导出,都不成立.无穷递降法,大体上可分为两个形式,普通形式和变形形式.变形形式指的就是构造无穷递降过程,实现无穷递降法的应用.而普通形式,指的

13、就是在解题过程中,直接使用最小数原理.接下来,我们就用几个例子来对这两个形式进行研究.2.2.2螺旋式归纳法2.2.2.1文字叙述 设关于正整数的命题和满足: （一）当,命题和都成立; （二）由成立,可以推出成立;由成立,可以推出成立.那么对任意的,命题和都成立.2.2.2.2螺旋式归纳法证明对两个命题分别使用第一数学归纳法就可以证明对应的命题是成立的,进而证明螺旋式归纳法,我们在这里就不做严格的论证了.2.2.2.3螺旋式归纳法分析 由螺旋式归纳法的文字叙述,我们可以很容易看到螺旋式归纳法是第一数学归纳法的一种推广形式,只是第一数学归纳法是关于一个命题的论证,而螺旋式归纳法是关于两个命题的论

14、证.螺旋式归纳法往往适用于论证关于两个命题（或者可以划分为两个命题）的问题,只是这两个命题之间需要存在一定的关系,以至于满足螺旋式归纳法的第二个条件.而螺旋式归纳法的第二个条件的作用就在于,为归纳假设提供了多一个条件,进而解决一些更为广泛的问题.2.2.3倒推归纳法2.2.3.1文字叙述 设关于正整数的命题满足: （一）对无穷多个正整数,都成立; （二）由成立,可以推出成立.那么对于任意的,命题都成立.2.2.3.2倒推归纳法证明证明 用反证法证明.假设存在,使得不成立.于是由条件,可知,对于任意的,命题都不成立.否则若命题成立,那么可以推出也成立,进而与假设不成立,相互矛盾.可是若对于任意的

15、,命题都不成立,那么就可以推出,至多存在有限个,命题都成立,这由于条件,对无穷多个正整数,都成立,相矛盾.所以假设不成立,因此倒推归纳法成立.2.2.3.3倒推归纳法分析前面谈到的各种归纳法都是在命题对较小的自然数成立的前提下进而推出命题对较大自然数也成立的.但是在某些情况下,如果我们已经证的当在某一个无限递增的正整数列中取值时,命题成立,这时的递推方向就可以反过来,从推出命题成立.2.2.4有界归纳法2.2.4.1文字叙述 设关于正整数的命题满足: （一）使得成立的正整数均不大于某个确定的正整数; （二）满足之前介绍的各种归纳法的条件.那么对于任意的,命题都成立.2.2.4.2有界归纳法证明

16、由于有界归纳法只是在上述归纳法条件满足的情况下,再限制了一个条件,而这对我们之前对各种归纳法的证明思路没有影响,所以我们可以直接使用之前相应归纳法的证明方法,就可以证明有界归纳法了,这里我们就不做详细的论证了.2.2.4.3有界归纳法分析在某些问题里,自然数并不能够取得所有的自然数,而只能在不超过某给定的自然数的约束下取数.这时,我们照样可以对进行归纳,只不过是在条件下进行的,而所得的使得命题成立的自然数也是在的约束下的.2.2.5广义归纳法前面介绍的四种归纳法的推广形式,都是适用于有关自然数的,而对于有关整数的问题,我们只需要做一些简单的变换,比如可以利用负整数的相反数为正整数这个东西，就可

17、以利用上面的归纳法啦.其实,数学归纳法不仅可用于含有整数变元的命题,经推广后,还可用于含有某些其他集合上的命题.这种集合,称为归纳集.对于一个含有某个归纳集上的变元的待证明题,所用的归纳法称之为广义归纳法。2.2.5.1文字叙述:我们先来定义一下归纳集.设有一个集合,如果它满足下面三个性质: （一）是集合的元素. （二）如果是中元素,则也是中的元素;如果是中元素,则也是中的元素;如果是中元素,则也是中元素.（三）中元素仅限于此. 则称之为归纳集,为该集的开始元素,称为该集的生成函数.按照上述的定义,自然数集是归纳集,它的开始元素是0,生成函数是.接下来,我们给出广义归纳法的文字描述. 在证明含

18、有某个归纳集上变元的待证明题时,可用如下的广义归纳法: （一）若为的开始元素,则成立; （二）若对于的所有对于中的任何元素,如果成立,则也成立.2.2.5.2广义归纳法的分析其实广义归纳法,只是基本归纳法的推广形式.虽然它看上去有点难懂,但是它在计算机程序上却有着挺广泛的应用,接下来,我们就结合一道计算机的程序题目来说明一下.3.应用举例数学归纳法是一种很有用的证明方法,对于我们的数学学习有着很大的帮助.对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解,是掌握这种证明方法的关键.要熟练地掌握及应用数学归纳法,首先必须准确地理解其意义和熟练地掌握其证明格式. 其实,我们在中学数学的学习之中,就已经知道了数学

19、归纳法可以用来证明一些代数恒等式,不等式,几何问题等.而接下来,我就主要介绍各种数学归纳法在数学中的应用,来更加清晰地认识到数学归纳法的奇妙作用.3.1基本形式的应用举例3.1.1第一数学归纳法的应用举例3.1.1.1证明题例1 设是个不同的正整数.求证:.证明:不妨设,接下来用第一数学归纳法证明. （一）当时, ,因此,所以命题对成立. （二）假设当时,有.那么当时,仅需要证明.这等价于证明（*）.注意到,所以,.所以,要证明（*）,只需证明对任意的恒成立.这等价于证明对任意的恒成立,即要证明对任意的恒成立.而由于,所以.所以命题对也成立.综上所述,命题对任意的都成立.说明 例1中, 我们在

20、开始就假设了,这是我们根据题目条件:是个不同的正整数而做出的,这是因为正整数是有序的,这个数中的任意两个数之间必然存在大小关系,再由于它们之间不强调顺序性.由此,我们知道,在解决数学问题的时候,是需要根据题目的条件并结合已有的数学常识的.例2 设,.求证:.证明:用第一数学归纳法证明. （一）当时, ,所以命题对成立. （二）假设当,有. 那么当时,有 .注意到, ,其中,令,则.而,所以.那么我们有,即.故命题对也成立.综上所述,命题任意的都成立.说明 例2的证明中,运用了均值不等式、三角代换等方法,涉及多方面的知识内容,表现了第一数学归纳法应用的广泛性.此外,在这里,我们采用了第一数学归纳

21、法的一个简单推论,那就是: 设是关于正整数的一个命题（性质）.如果下列两个条件成立：（一）当时, 成立;（二）假设当时,成立,可以推出成立.那么,对于任意的,都成立. 这就是说,我们在使用第一数学归纳法的时候,不一定要从这一项开始,因为在一些问题中,命题成立的初始项就不是,所以我们这时就需要根据题目要求来正确地使用第一数学归纳法了.例3 求证:设是的最大公因式,则必然存在,使得.证明:用第一数学归纳法的简单推论证明（一）当时,则由多项式最大公因式定理,可知命题对成立;（二）假设当时,命题成立,即设,则可知存在,使得.那么当时,由,所以,则由一,存在,使得. 故 ,故命题对也成立.则综上所述,命

22、题成立.说明 这个定理,是多项式最大公因式定理的一个比较自然的推广.虽然在我们实际生活中没有很大的应用,但是它对于我们后面的理论数学的学习有比较大的作用,因为有相当数量的代数定理的证明或多或少地会用到这个定理. 例如对于这个命题:设,则互素的充要条件是存在多项式,使得.这个命题,可直接使用例1的结果,然后进过简单的过程,就可以得到证明.我们在这里就不做详尽的说明,留给读者思考.例4 求证:向量组线性无关,向量组可由向量组线性表示,那么,而且在中存在个向量由替换后的向量组与等价.证明:对用第一数学归纳法. （一）当时,由线性无关,可得且.于是,使得.由,知.不妨设,则,于是.由(A)(B),可知

23、与等价. （二）设,对中个向量,结论成立.令.由线性无关,可知线性无关.因为可由线性表示,可由线性表示,所以可由线性表示.则由归纳假设,知,且在中存在个向量(不妨设为),由替换后的向量组(设为)与等价.由条件,可知可由线性表示,则存在个常数,使得.因为线性无关,所以,即,也就是.并且.不妨设,则.考虑与,由(C)(D),知与等价,又与等价,得与等价.所以结论对也成立.综上所述,可知结论成立.说明 向量组是我们用来研究向量空间的一种事物.向量组是最基本的数学概念之一，它的理论和方法渗透到自然科学，工程技术的各个领域。而在向量组这个知识点内，有很多比较抽象定理的证明都是较为复杂的，但是却离不开数学

24、归纳法。例5 求证:设,若的所有主子式都大于零,则为正定矩阵.证明:用第一数学归纳法证明该命题. （一）当时,则为正定矩阵. （二）设,且对阶矩阵满足条件,命题成立. 而,则为实对称矩阵且的所有主子式都大于零.由归纳假设,知为正定矩阵,则存在阶可逆矩阵,使.令,易知为可逆矩阵.而,其中.令,有,则.令,则,故.而由于,则,即,则正定.综上所述,命题成立.说明 实际上,这个命题是一个充要条件来的,即实对称矩阵为正定矩阵当且仅当它的所有主子式都大于零.上面是它充分性的证明,而它必要性的证明如下:设,且为正定矩阵.假设存在的一个阶主子式小于等于零,即不妨设.令,则为实对称矩阵,即不是正定的,那么存在

25、,使得.令,则,那么不是正定的,与条件为正定矩阵相矛盾.故假设不成立,所以它的所有主子式都大于零的所有主子式都大于零.实际上,这个命题给了我们一种证明某个矩阵不是正定矩阵的方法,就是只需要说明它的某个主子式不大于零即可.这样的计算量会相对于直接使用非正定矩阵的定义会简单很多.3.1.1.2计算题例1 计算行列式.解:. 因,故猜想:. 接下来用第一数学归纳法证明. （一）当时，显然猜想成立. （二）假设当时,猜想成立,即,则当时,由,有.所以猜想对成立.综上所述,可知猜想成立.即.说明 在这道题中,我们经过对该阶行列式的观察,发现它不能经过简单的运算就得到结果.而这时,通过对该行列式的几个特殊

26、情况的研究,进而得到我们的猜想.其实在计算行列式的时候,我们往往会借助数学归纳法得到所需答案,因为阶行列式的计算往往会很复杂.在实际处理的时候,我们往往是先通过递推法,建立起与的递推关系式,逐步推下去,进而得到的值.有时也可以找到与,的递推关系式,最后利用,得到的值.注意,用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构.如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能用此方法.例2 计算行列式.解:, 则有递推式.由于,有, .由此猜想 . 下面用第一数学归纳法证明. （一）当时，显然猜想成立. （二）假设当时,猜想都成立.当时,由,有,所以猜想对成立.综上所述,可知猜想成立.所以.说明 此外,在

27、这道题目中,我们除了可以利用数学归纳法得到结果,还可以利用特征方程法,得到如下结果: 由,有特征方程为,即,解得或者,即可设,再通过,得到的值,进而得到的值.这样计算起来,会相对简单一点.例3 计算3阶矩阵.解:利用不完全归纳法,可猜想.下面用第一数学归纳法证明. （一）当时,所以猜想对成立. （二）假设当时,猜想成立,即. 那么当时,则猜想对也成立.综上所述,可知猜想成立.即.3.1.2第二数学归纳法的应用举例3.1.2.1证明题例1 求证:任意一个凸边形都可以被它的三条边张成的三角形或它的四条边张成的平行四边形所覆盖.证明:对归纳. （一）当时,结论显然是成立的; （二）当时,如果该四边形

28、是平行四边形,则结论也是成立的,如果它不是平行四边形,则有一组对边不平行.将它们延长相交后，总可以用另外两条边中的一条合成一个三角形,它覆盖这个四边形; （三）当时,如右图所示.显然,对于任意一个凸五边形,它都可以用一个三角形来将其覆盖,也就是命题对成立. （四）假设对任一凸边形,结论成立.取凸边形的任意一条边,除去及与相邻的边外,还有至少两条边.这两条边中必有一条边与不平行（因为至多只能有一条边与平行）,设为.延长与,设它们相交于点,如右图所示.现在用折线代替被覆盖的直线、折线和直线,于是我们便得到了边数少于并将覆盖的凸多边形,对用归纳假设,可得命题对也成立. 因此由第二数学归纳法,可知命题

29、对所有的都成立. 说明 例3中,我们对,和分别进行了相应的研究,这是由于我们在后面的归纳假设中,需要从开始假设,因为这样才能够保证直线的存在.其实,我们还可以证明一个强化的命题:若凸不是平行四边形,则他可以被有其三条边张成的三角形所覆盖.具体的证明,可以参考本例的证明,这里就不做详细的论证了.例2 求证:中的每一个次多项式都可以分解成的不可约多项式的乘积.证明:用第二数学归纳法证明 （一）当时,则为一次多项式,且是不可约多项式,可知命题对成立; （二）假设时,对,命题都成立,接下来对是否可约进行分类讨论. （1）若为不可约多项式,则命题成立. （2）若为可约多项式,则,使,且.由归纳假设,可知

30、,其中为上的不可约多项式.同理,有,其中为上的不可约多项式.于是可以分解成的不可约多项式的乘积.则由（一）（二）,可知命题成立.说明 这个定理是多项式两大因式分解定理中的一个,而因式分解定理更是高等数学中的最为基础的几大定理之一,对于解决很多代数问题具有举足轻重的地位. 例3 设是反对称矩阵.求证:合同于矩阵. 证明:用第二数学归纳法证明. （一）当时,有合同于,命题对成立.当时,.若,则合同于,命题成立.若,对的第一行与第1列均乘以,得,即相当于对作合同变换:. （二）设对,命题成立.对情形.若中最后一行元素全为零,则由归纳假设知命题成立.否则,经过行列的合同变换,使,再将最后一行与一列都乘

31、以,将化为.则由归纳假设,知与的矩阵合同,从而与矩阵合同.将最后两行两列对换到前面就证得命题在时也成立. 综上所述,对任何反对称矩阵,命题都成立.说明 这道题,表面上关于矩阵的问题.可是我们却需要借助二次型里面的合同这一个知识点并结合第二数学归纳法才解决.3.1.2.2计算题例1 整数列满足: 求的通项公式.解: 先确定数列的递推公式.假设,其中为待定的常数.试算该数列的前面几项,可知.猜测.下面用数学归纳法证明该猜想. （一）当时,上述猜想成立. （二）假设对时,均有成立.则对的情形,我们有, 注意到.由前面的归纳假设,易知,所以,利用为整数,且,可知.所以,即,于是猜想对也成立.综上所述,

32、猜想成立.接下来由数列通项的特征方程法,可得该数列的通项公式为:.说明 题设的递推式是比较难确定,所以我们就从我们比较熟悉的常系数线性递推式入手,猜测,其中为待定的常数.然后,我们再利用题目的条件,进而确定的值,最后再使用特征方程的方法,解决这个题目.从这个例子中,我们可以比较深刻地体会到,猜测这一能力对于解决数学问题来说,是一个比较有用的方法.而猜想能力的提高,是与我们日常对知识的归纳总结所相关的.而我们在这里提供一个猜想的途径,就是将题目往我们所熟知的情况进行大胆推测,然后用严格的数学理论来进行证明.3.2推广形式的应用举例3.2.1无穷递降法的应用举例3.2.1.1证明题 例1 求证:是

33、无理数.证明:用反证法证,即假设,使得.则方程有形如的解,其中.此外由于,我们有,.令满足条件的所构成的集合为,显然为自然数集的非空子集,于是故中必有最小数,不妨设为,.而必为2的倍数,于是令,其中.将代入方程,有,则也为方程的解.所以也为的元素,与的最小性相矛盾,故假设不成立.所以是无理数.说明 这是无穷递降法形式变形形式的一种应用,我们就是在证明过程中,通过一些技巧,构造出了递降的过程,进而利用起无穷递降法.例2 求证:不定方程没有正整数解.证明:用反证法证明.假设有正整数解,我们取使最小的那组解.这时设的最大公约数为,记为.则,故,进而.所以（否则也为的解,与的最小性相矛盾）,因此为方程

34、的一组本原解,不妨设为偶数,则可知存在,一奇一偶,使得.由为偶数,知为奇数,进而由,可知存在,一奇一偶,使得.则此时,由,知,于是,均为平方数.这样,设,就有,其中,与的最小性相矛盾.所以没有正整数解.说明 在本例中,我们使用了无穷递降法中的普通形式,那就是最小数原理的直接使用.3.2.1.2计算题例1 正五边形每个顶点对应一个整数,使这五个整数的和为正.若其中三个相连的顶点对应的整数为,且.则要进行如下操作：换为,只要所得五个整数至少还有一个为负时，这种操作就继续进行。问是否这种操作进行有限次后,必定终止？解:设五顶点数顺次为.令,则.显然,在题设操作下,不变.作目标函数:.不妨设,则,那在

35、一次操作后成为.而目标函数改变量为 这表明,每经过一次操作,目标函数的值至少下降2,但.故操作只能进行有限次即终止.说明 本例是通过构造目标函数,进而不断地向一个极端零推进，最后得出结论.这是无穷递降法中变形形式中的一种比较常见的形式.3.2.2螺旋式归纳法的应用举例3.2.2.1证明题例1 已知数列满足:且,其中.令为数列的前项和,求证: （1），（2）.证明:（一）当时,故,因此（1）和（2）对都成立.（二）假设当时,（1）成立,即,那么由,可得,即（2）成立; 假设当时,（2）成立，即. 那么由,可得,即（1）成立.综上所述,由螺旋式归纳法,可知对于任意的,（1）和（2）都成立.说明 螺

36、旋式归纳法对于证明数列问题往往会起到比较重要的作用.3.2.2.2计算题例1 若有一个数列,满足,计算,的通项公式.解:由条件,有,.故可猜想.同理,可猜想.接下来用螺旋式归纳法来证明猜想:. （一）当时,显然猜想成立. （二）假设当时,.那么由,有. 假设当时,.那么由，有. 故由螺旋式归纳法,知猜想成立.即,.说明 螺旋式归纳法对于数列计算题的应用一般是在于先使用不完全归纳,得到两个具有相互关系的猜想,然后再进行证明.3.2.3倒推归纳法的应用举例例1 求证:设是个正实数,则(*)证明:首先证明当,(*)成立.用第一数学归纳法证明.（一）当时,.由基本不等式,可得,也就是(*)对 成立.（

37、二）假设当时, (*)成立.那么当时, ,则(*)对也成立.故由第一数学归纳法,可知对任意的,(*)成立.接下来,证明对任意的,(*)成立.用递推归纳法证明.（一）由上面的证明过程,我们易知,存在无穷多个正整数,使得(*)成立.（二）假设(*)对成立,那么对于的情形,令,则.由归纳假设,有.则,因此.综上所述,(*)对任意的都成立.说明 实际上,本例中采用了一种“补漏洞”的思想.我们先证明命题对某些正整数成立,然后采用倒退归纳法,进而证明命题对所有的自然数都成立.这正是倒推归纳法的基本应用.3.2.4有界归纳法的应用举例例1 从个元素中任取,组成对,每对2个.设配对的方法共有种.求证: （1）证明:让固定,对进行归纳. （一）当时,从个元素中任取两个元素便能构成一对,于是,于是（1）对成立. （二）假设当时,（1）成立,即.那么当时,首先任选个元素组成对,选法共有种,然后从剩下的个元素中任选2个,组成一对,共有种方法,将这一对的选法添进去,便得对的选法.