小生数学学习心理分析(鲍建生)

1、1小学生数学学习的心理小学生数学学习的心理分析分析鲍建生鲍建生华东师范大学数学系华东师范大学数学系以学定教以学定教2如果我必须把所有的教育心理学理论化约如果我必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学习的一个最重要的因素，即是学习者已经习的一个最重要的因素，即是学习者已经知道的事。知道的事。-奥苏伯尔奥苏伯尔斯根普讲的一个故事 一所英国的中学和一所美国的中学约定在周末一所英国的中学和一所美国的中学约定在周末举行一场举行一场football比赛。两所学校都作了非常充分比赛。两所学校都作了非常充分的准备。到了周末，双方高高兴兴地来到球场，

2、却的准备。到了周末，双方高高兴兴地来到球场，却发现根本没法比赛。因为，英国人认为发现根本没法比赛。因为，英国人认为football是是足球，而在美国人眼里足球，而在美国人眼里football是橄榄球。是橄榄球。 斯根普用这个故事告诉我们，有时候斯根普用这个故事告诉我们，有时候教师和学生都以为明白了对方的意思，但教师和学生都以为明白了对方的意思，但实际上，他们想的却是两码事。实际上，他们想的却是两码事。一、概述4老师适合做什么样的研究老师适合做什么样的研究1. 自上而下（自上而下（演绎法演绎法）自下而上（自下而上（归纳法归纳法）2. 理论研究（理论研究（改变理论改变理论） 实证研究（实证研究（检

3、验检验假设假设） 设计研究设计研究/案例研究案例研究/行动研究行动研究/教学教学实验（实验（教学设计教学设计, 典型案例，典型案例，改变行为改变行为，提，提升经验升经验）走进课堂，解决，解决教与学教与学中的实际问题！中的实际问题！ 聚焦课堂教学聚焦课堂教学课堂教学.目标定位任务设计过程与行为监控与调节教学的有效性.知能结构发展阶段研修方式行为跟进教师专业发展案例研究行动研究设计研究设计研究的基本流程设计研究的基本流程研究者与实践者合作分析实践中的问题在现有设计原理的基础上探讨创新设计通过反思改进设计原理并推动设计的应用在实践中对设计进行反复的试验与修正对问题、策略、途径及设计原理的调整基本的研

4、究假设（一） 数学教学的根本目的是学生的理解；数学教学的根本目的是学生的理解； 数学学习有其自身的特点数学学习有其自身的特点（数学的思维方法是蕴含（数学的思维方法是蕴含在数学知识中的，属于知识丰富领域的问题解决；在数学知识中的，属于知识丰富领域的问题解决；小学：关系推理，比例推理，类比推理，小学：关系推理，比例推理，类比推理，）； 学生对数学的理解存在于自己的头脑中（学生对数学的理解存在于自己的头脑中（黑箱黑箱）；）； 可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解理解（需要合适的研究工具）（需要合适的研究工具）； 学生对数学概念的内部理解无论在质

5、量上还是在数学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征量上都超过其外部的行为特征（信度与效度）（信度与效度）； 学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平同的水平（层次与差异）（层次与差异）； 适当的教学可以改进学生的理解水平适当的教学可以改进学生的理解水平（教学的有效（教学的有效性）性）。基本的研究假设（二）基本的研究假设（二）1. 良好（良好（相互联系的、有深度的相互联系的、有深度的）的认知结构在问题解决）的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移）中有重要的作用（迁移理论迁移理论）；）；2. 结构化的

6、知识需要有层次的推进结构化的知识需要有层次的推进(教学层次论教学层次论)3. 典型例题（样例）是数学认知结构的重要成分（典型例题（样例）是数学认知结构的重要成分（样例学样例学习习）；）；4. 同化与顺应是改进认知结构的基本途径同化与顺应是改进认知结构的基本途径(认知冲突认知冲突/心理心理挣扎挣扎).5. 在情境中获得的知识（在情境中获得的知识（情境认知情境认知）带有许多附加的信息）带有许多附加的信息，这些信息有积极的成分，也有消极的成分；，这些信息有积极的成分，也有消极的成分；6. 技能精熟有助于解决复杂问题技能精熟有助于解决复杂问题, 而练习是技能精熟的必而练习是技能精熟的必要条件（要条件（

7、精致练习精致练习）；）；7. 不同的任务不同的任务需要需要/引发引发不同的认知活动；不同的认知活动；8. 数学的数学的 “天赋基因天赋基因”在低年级就会打开，但如果没有及时在低年级就会打开，但如果没有及时的强化，这扇门会慢慢关上（的强化，这扇门会慢慢关上（资优教育资优教育）。）。理论与经验的互动理论与经验的互动经验经验理论理论z 支持预测；支持预测；z 为研究提供分析框架；为研究提供分析框架；z 具有解释的能力；具有解释的能力；z 能应用于广泛的现象；能应用于广泛的现象；z 有助于对复杂现象的思考；有助于对复杂现象的思考；z 作为资料分析的工具；作为资料分析的工具；z 提供一种深层次交流的语言

8、。提供一种深层次交流的语言。z 源于实践；源于实践；z 实用；实用；z 个人化；个人化；z 嵌于特定的情境之中；嵌于特定的情境之中；z 比较模糊，不易表征、比较模糊，不易表征、把握和传授；把握和传授；z 难以跨领域的交流。难以跨领域的交流。解释解释建构建构11二、数学学习的理论思考二、数学学习的理论思考环境、经验、评价问题解决技能训练概念理解数数与与运运算算测测量量几几何何代代数数概概率率与与统统计计微微积积分分元认知、情感与态度数学学习的理论探讨数学学习的理论探讨新书简介新书简介 本书分上下两篇：上篇重点介绍五个经典的、对数学学习有较高理论价值的研究成果；下篇从微观的角度去探讨学生学习数学的

9、心理基础与过程。 本书对近二十年来国际数学教育心理研究领域的主要成果和研究方法进行了梳理和剖析，其目的是：帮助读者拓展眼界，了解当帮助读者拓展眼界，了解当代数学教育的研究前沿；代数学教育的研究前沿；提供研究的观点、框架、方提供研究的观点、框架、方法、案例和问题。法、案例和问题。为教师的数学课堂教学提供为教师的数学课堂教学提供理论支持，帮助他们解释教理论支持，帮助他们解释教学中的疑难与困惑，提高教学中的疑难与困惑，提高教学的效率。学的效率。数学教学设计研究13教学设计教学设计目标分析目标分析学情分析学情分析任务分析任务分析背景分析背景分析导入设计导入设计问题设计问题设计情境设计情境设计活动设计活

10、动设计逻逻辑辑过过程程历历史史过过程程心心理理过过程程聚焦：数学学习的认知过程14认知认知过程过程概念理解概念理解技能习得技能习得解决问题解决问题认知层次认知层次错误概念错误概念学习困难学习困难任务任务分析分析心理心理分析分析教教学学设设计计目标目标设计设计目标设计：定位目标设计：定位+ +途径途径+ +评价评价本节课的本节课的教学目标教学目标如何帮助学生从如何帮助学生从已有层次过渡到已有层次过渡到目标层次目标层次脚手架设计脚手架设计如何激发认知冲如何激发认知冲突，形成新的知突，形成新的知识识/ /认知结构认知结构问题情境设计问题情境设计任务设计任务设计教学层次教学层次本节本节/块教学内容可以

11、块教学内容可以划分为哪几个层次，划分为哪几个层次，目前学生处于哪个层目前学生处于哪个层次？这堂课的结束后次？这堂课的结束后希望达到哪个层次？希望达到哪个层次？能力能力可以培养哪些可以培养哪些能力能力/素养？素养？情感情感/ /态度态度/ /价价值观？值观？知识知识/ /认知结构认知结构新知识的引入是否新知识的引入是否会导致知识结构的会导致知识结构的改变？如果改变的改变？如果改变的话，如何达到新的话，如何达到新的平衡？平衡？三、数学学习心理研究的基本问题1617（一）认知层次1. 加涅的学习层次理论加涅的学习层次理论2. 脚手架与铺垫脚手架与铺垫 有层次的推进有层次的推进 脚踏实地脚踏实地 目标

12、驱动目标驱动 途徑途徑单一单一, ,进度不同进度不同 跳来跳去跳来跳去 风险大风险大 活动驱使活动驱使 多种途徑，多种进度多种途徑，多种进度概念表征的三个阶段(bruner)教材层次：教材层次：几何中的量几何中的量实际生活中的量实际生活中的量依存关系依存关系对应关系对应关系函数关系函数关系离散变量离散变量连续变量连续变量有关系有关系的变量的变量数字表示数字表示符号表示符号表示图形表示图形表示口头表示口头表示（二）错误概念（概念混淆）（二）错误概念（概念混淆）寻错寻错析错析错改错改错防错防错现现状状调调查查课堂观察课堂观察作业作业考试考试类型类型原因原因差异差异教学策略教学策略效果检测效果检测信

13、信念念态态度度类型类型原因原因差异差异概念概念混淆混淆规则规则误用误用计算计算错误错误: :资优生资优生与后进与后进生的差生的差异异男女男女生的生的差异差异概念概念没有没有理解理解规则规则没有没有掌握掌握技能技能不熟不熟练练日常日常经验经验影响影响粗心粗心大意大意教学教学原因原因聚焦一个核心内容聚焦一个核心内容例1: 如果位值概念掌握不好如果位值概念掌握不好, 学生可能会犯什么样学生可能会犯什么样的错误的错误?1. 学生会在心理上把小数分成整数部分和纯学生会在心理上把小数分成整数部分和纯小数部分，例如把小数部分，例如把148.26近似为近似为150.3;2. 学生会认为学生会认为“更多位更多位

14、”就意味着一个数更就意味着一个数更大，例如，大，例如，0.1814比比0.385和和0.3都大。都大。聚焦一个核心内容例例2: 分数概念学习中出现的错误及其原因分数概念学习中出现的错误及其原因.研究研究问题问题: 1.分数的哪种含义（分数的哪种含义（连续量（如图形）中的整体连续量（如图形）中的整体-部部分关系；子集分关系；子集-集合关系；等分除的商；小数；数集合关系；等分除的商；小数；数轴上的一点；比轴上的一点；比/比值比值）容易导致学生的错误）容易导致学生的错误?2.分数概念的发展阶段：教学层次及其关键因素。分数概念的发展阶段：教学层次及其关键因素。3.分数概念学习中常见的错误和主要困难。分

15、数概念学习中常见的错误和主要困难。4.分数概念教学的基本策略。分数加法的错误类型分数概念教学的基本策略。分数加法的错误类型可大约归纳为以下六类：可大约归纳为以下六类：（1）带分数转换假分数）带分数转换假分数的错误；（的错误；（2）整数转换为等值分数的错误；（）整数转换为等值分数的错误；（3）通分时转换等值分数的错误；（）通分时转换等值分数的错误；（4）求公分母的）求公分母的错误；（错误；（5）加法程序的错误；（）加法程序的错误；（6）不会化减或）不会化减或约分。约分。（三）困难解析251. 多数（有理数概念的）发展都产生于重要的认多数（有理数概念的）发展都产生于重要的认知改组的初期（即从具体运

16、算到形式运算思维知改组的初期（即从具体运算到形式运算思维的过渡）。的过渡）。2. 重要的质变不仅发生在基本概念的结构中，而重要的质变不仅发生在基本概念的结构中，而且也在那些用来描述这些结构并使其模型化的且也在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征系统中产生。表征系统中产生。3. 表征系统的作用是迥异不同的，而且常按有趣表征系统的作用是迥异不同的，而且常按有趣的心理方式相互作用，这是因为，表征和作业的心理方式相互作用，这是因为，表征和作业特征都是关键。特征都是关键。4. 有理数概念包含了一大套整合了的子结构和加有理数概念包含了一大套整合了的子结构和加工过程，而且有许多基本而有深奥的概念有关工过程

17、，而且有许多基本而有深奥的概念有关（例如，测量、概率、坐标系、制图等）。（例如，测量、概率、坐标系、制图等）。小学生笔算乘法的困难分析小学生笔算乘法的困难分析1. 笔算是一种程序性知识。笔算是一种程序性知识。学生的许多错误是因为学生的许多错误是因为算法程序不熟悉。程序性知识的教学的基本步骤算法程序不熟悉。程序性知识的教学的基本步骤：认知定向，具体化模仿，言语化模仿，内化。：认知定向，具体化模仿，言语化模仿，内化。2. 算术问题的难度分析算术问题的难度分析：早期研究除了排列各种算：早期研究除了排列各种算式难度等级外，还试图确定能解释各种算式相对式难度等级外，还试图确定能解释各种算式相对难度的因素

18、，后来的研究重点转移到问题的结构难度的因素，后来的研究重点转移到问题的结构特征或问题提出的条件，并开始从内部的认知过特征或问题提出的条件，并开始从内部的认知过程去分析学生解题中遇到的困难与障碍。程去分析学生解题中遇到的困难与障碍。3. 关于问题表征的研究关于问题表征的研究：在解题过程中，学生常常：在解题过程中，学生常常需要将一种表征形式转化为另一种表征形式，或需要将一种表征形式转化为另一种表征形式，或者在内部表征和外部表征之间相互转化，这需要者在内部表征和外部表征之间相互转化，这需要较高的抽象能力。较高的抽象能力。关于小学算法的研究关于小学算法的研究在小学阶段强调算法（有固定程序的算法）的理由

19、：在小学阶段强调算法（有固定程序的算法）的理由：1. 在世界各国，算法都是小学数学课程的传统内容；在世界各国，算法都是小学数学课程的传统内容；2. 算法可以解决一类问题，特别是运算涉及多个数字算法可以解决一类问题，特别是运算涉及多个数字或者超出记忆负荷时，一般化的算法显得很有用；或者超出记忆负荷时，一般化的算法显得很有用；3. 算法是一种经过压缩的、一般化的解题程序；算法是一种经过压缩的、一般化的解题程序；4. 算法可以可以弥补知识的不足。算法可以可以弥补知识的不足。5. 算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况算法是自动化的，即使在不知道其背后原理的情况下，仍可以掌握和使用；下，仍可以掌

20、握和使用；6. 算法是目标指向的，而且是高效率的；算法是目标指向的，而且是高效率的；7. 算法可以为计算过程提供书面的记录，便于教师和算法可以为计算过程提供书面的记录，便于教师和学生发现其中的错误；学生发现其中的错误；8. 算法是可教的；算法是可教的；9. 对于教师来说，算法易于处理与评价。对于教师来说，算法易于处理与评价。但是算法程序的过早教学也有一些不利，其中包括算法程序的过早教学也有一些不利，其中包括: 1. 算法程序常常与人们的习惯思维不一致（有关算算法程序常常与人们的习惯思维不一致（有关算法可以训练思维的论点缺乏证据）；法可以训练思维的论点缺乏证据）；2. 算法的运用会诱使学生放弃他

21、们自己的想法，不算法的运用会诱使学生放弃他们自己的想法，不利于利于“原创思想原创思想”的培养；的培养；3. 算法不利于数意识的形成；算法不利于数意识的形成；4. 算法使得学生习惯于依赖数字的空间排列；算法使得学生习惯于依赖数字的空间排列；5. 算法会使学生盲目接受运算的结果；算法会使学生盲目接受运算的结果；6. 在实际生活中，书面算法很少使用（特别在计算在实际生活中，书面算法很少使用（特别在计算器普及的情况下）。器普及的情况下）。（四）数学推理与思维29如何培养小学生的关系性思维如何培养小学生的关系性思维什么是关系推理？什么是关系推理？关系推理的一组测试题关系推理的一组测试题问题问题/ /任务

22、对关系推理的影响任务对关系推理的影响1. 问题的型态问题的型态。许多学生解决关系推理问题时，能根。许多学生解决关系推理问题时，能根据前提条件，建立初始模型，最终获得结论，但却据前提条件，建立初始模型，最终获得结论，但却不能验证模型。不能验证模型。2. 问题的难度问题的难度。难度越大，涉及的关系越复杂，具有。难度越大，涉及的关系越复杂，具有的前提条件越多，所需要的认知容量也就越大。的前提条件越多，所需要的认知容量也就越大。3. 问题的表征问题的表征。由于关系推理是通过直接表征呈现前。由于关系推理是通过直接表征呈现前提（图画、操作物、符号等），因此，一方面能够提（图画、操作物、符号等），因此，一方

23、面能够减缩认知容量的负荷，有利于前提条件的整合减缩认知容量的负荷，有利于前提条件的整合; 另另一方面也有助于对问题的理解与解释。然而，采用一方面也有助于对问题的理解与解释。然而，采用直接表征有时也会引发知觉反应（即根据感知觉，直接表征有时也会引发知觉反应（即根据感知觉，而不是前提条件进行推理），而产生图画效应。而不是前提条件进行推理），而产生图画效应。算术思维与代数思维解决实际问题的区别中间量运算运算背 景实际问题已知量实际结果未知量算术思维解决问题模型算术思维解决问题模型算术思维与代数思维解决实际问题的区别代数模型代数模型方程、不等式、函数方程、不等式、函数数学结论数学结论方程和不等式的解、

24、函数值方程和不等式的解、函数值去情境去情境用符号表示用符号表示符号符号变换变换代数代数推理推理解释意义解释意义还原情境还原情境求解求解背背景景实际问题实际问题已知量、未知已知量、未知量量实际结果实际结果未知量未知量代数思维解决问题模型代数思维解决问题模型代数和算术思维之间的对照 算术思维算术思维代数思维代数思维通过已知量的运算得出未知通过已知量的运算得出未知的量；的量；通过一系列的、连续的运算通过一系列的、连续的运算得出答案；得出答案；未知量是暂时的，表示中间未知量是暂时的，表示中间过程；过程；方程（如果有的话）被看作方程（如果有的话）被看作是用于计算的公式，或者是是用于计算的公式，或者是对数

25、的产生的一种描述；对数的产生的一种描述；中间量有明确的含义。中间量有明确的含义。同时操作已知量和未知量；同时操作已知量和未知量；进行一系列的等价或者不等进行一系列的等价或者不等价的符号变换；价的符号变换；在整个问题解决过程中，未在整个问题解决过程中，未知量是设定的、固定的；知量是设定的、固定的；方程被看作是对不同量之间方程被看作是对不同量之间的某种关系的描述；的某种关系的描述；中间量不一定有明确的含义中间量不一定有明确的含义。算术思维向代数思维的过渡算术思维向代数思维的过渡基兰认为，从算术思维向代数思维的过渡需要满足基兰认为，从算术思维向代数思维的过渡需要满足以下的条件：以下的条件：1. 聚焦

26、关系，而不仅仅是数值运算；聚焦关系，而不仅仅是数值运算；2. 聚焦运算和逆运算，及设而不求的思想；聚焦运算和逆运算，及设而不求的思想；3. 聚焦对问题的表征及解决过程，而不只是答聚焦对问题的表征及解决过程，而不只是答案；案；4. 聚焦字母符号，而不只是数字；聚焦字母符号，而不只是数字；5. 重新认识等号的意义。重新认识等号的意义。(kieran, 2004）(五)学习差异数学资优教育36问题的提出一些研究认为：一些研究认为：中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数

27、学问题；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？你同意上述观点吗？你同意上述观点吗？（相关研究：brenner, herman, ho, & zimmer, 1999; cai, 1995, 1997, 1998, 2000; gu, 1997; miura et al., 1988; stevenson, lee, chen, & lummis, 1990; stigler & perry, 1988; wang, j and lin, e., 2005）存在的

28、问题：青浦新世纪行动数学认知水平测试数学认知水平测试17年前后比较年前后比较（青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）存在的问题：课程因素39教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）40存在的问题：课堂教学1. 小步子：学生缺少数学探究的机会小步子：学生缺少数学探究的机会2. 赶进度：学生缺少数学探究的空间赶进度：学生缺少数学探究的空间3. 套题型：学生缺少数学探究的意识套题型：学生缺少数学探究的意识4. 重技巧：学生缺少数学探究的策略重技巧：学生缺少数学探究的策略5. 看分数：学生缺少数学探究的动力看分数：学生缺少数学探究的动力6. 牵着走：

29、学生缺少数学探究的氛围牵着走：学生缺少数学探究的氛围数学资优生的鉴定对资优生的评估与鉴定，目前一般也采用多维框架和多种途径。如美国的分流方案（project stream）构建了一个“才能鉴定矩阵”（tim），其中列举出各种各样的能力；韩国的大学资优教育中心（gec）采用的是“基于数学创造力或高等数学思维能力的评估体系”（lee et al., 2003）。对数学资优生来说，最常用的仍然是能力测试（如斯坦福大学epgy 资优生数学选拔测试等）。影响资优生发展的主要因素研究表明，影响资优生发展的因素包括：研究表明，影响资优生发展的因素包括： 课程水平。普通课程会使资优生失去兴趣、降低学习动课程水

30、平。普通课程会使资优生失去兴趣、降低学习动机，因而影响学习成效。机，因而影响学习成效。 区分教学。由于资优生学习速度快，课堂上的内容很快区分教学。由于资优生学习速度快，课堂上的内容很快听懂，甚至没教就都会了，因此需要各种形式的区分教听懂，甚至没教就都会了，因此需要各种形式的区分教学。学。 教师期望。教师有可能因未发掘学生潜能而期望过低，教师期望。教师有可能因未发掘学生潜能而期望过低，使学生感受到老师认为自己不行。使学生感受到老师认为自己不行。 同伴影响。同伴影响。 教学风格。如果教师的教学风格适应学生的学习，就能教学风格。如果教师的教学风格适应学生的学习，就能帮助学生发挥最大的学习效果并提升学

31、生的学习兴趣帮助学生发挥最大的学习效果并提升学生的学习兴趣 教学策略。资优生通常需要较少结构性、较少指导、较教学策略。资优生通常需要较少结构性、较少指导、较少的规定和练习，但需要较多机会让他们去寻找或使用少的规定和练习，但需要较多机会让他们去寻找或使用自己的策略和结构。自己的策略和结构。数学资优生的特点概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的能力）；能力）；心理过程的灵活性；心理过程的灵活性；力求找出最简洁明了的解题方法；力求找出最简洁明了的解题方法；对一般化的关系、推理的模

32、式和解答典型问题对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良好的记忆力；的方法有良好的记忆力；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；推理过程的缩短和减少推理的个别环节；对周围环境有一个初级形式的对周围环境有一个初级形式的“数学数学”直觉直觉许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱镜折射出来的镜折射出来的克鲁切茨基克鲁切茨基智优教育方案1. 充实。充实意味着课程内容深度和广度上的拓充实。充实意味着课程内容深度和广度上的拓展这就是说要比标准的课程更加详细地探索展这就是说要比标准的课程更加详细地探索专题以及更加深刻的理解，如提供专题学习的专题以及更加深刻的理解，如提供专题学习的方式以及提供在常规课程中没有涉及的课题方式