高考数学(文)培优二轮全国通用：专题八数学思想、数学核心素养与数学文化第2讲

1、第2讲函数与方程、数形结合思想数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量 之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数 学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决 问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程 （组），进而通过解 方程（组）求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想， 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 数形结合思想的应用包括以下两个方面：（1） “以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭

2、示数学问题的本质；（2） “以 数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确酎热点析应用热点聚焦分类突破热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】 设0<a<1, e为自然对数的底数，则a, ae, ea1的大小关系为（）A.ea1<a<aeB.ae<a<ea 1C.ae<ea1<aD.a<ea1<ae（2018湖南六校联考）已知函数h（x） = xln x与函数g（x）=kx 1的图象在区间-1, e1上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）a. ",e-1B. 111+iC.（1, e- 1D.（1,

3、+oo）解析 (1)设 f(x) = exx 1, x>0,则 f'xl= ex- 1>0,f(x)在(0, +oo)上是增函数，且 f(0)=0, f(x)>0,ex 1>x,即 ea 1>a.又y= ax(0<a<1)在R上是减函数，得a>ae,从而 ea1>a>ae1(2)令 h(x)= g(x),得 xln x+ 1 = kx,即 x+ln x= k.令函数f(x) = ln x+x,若方程xln x-kx+ 1 = 0在区间£, e1上有两个不等实根，则函数f(x) = ln x+x与y=k在区间e, e上

4、有两个不相同的交点，f'x)：' x2,令1 3= 0可得x=1,当xCg1"f'x)<0,函数是减函数；当xC(1,e)时,f'x)>0, x x_e/函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1) = 1,而f?)= 1 + e, f(e)=1+ 1,又一1 + e>1 + L所以，函数的最大值为 e 1.所以关于x的方程xln x- kx ee+ 1=0在区间e上有两个不等实根，则实数k的取值范围是(1, 1+21答案(1)B (2)B探究提高1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.

5、2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练11 (1)设函数f(x)=|cos x,则方程f(x)=R有实根的和为()冗冗3兀A.0BqegD.2(2)(2018石家庄质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a 1|)>f(-V2),则a的取值范围是.解析(1)由 f(x) = xcos x = j,得2 4= cos x,人 x 九冗 .2, 0 .令丫= 2-a y=c

6、os x.在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点、 一兀兀方程f(x)=4的实根之和为2.由f(x)是偶函数且f(x)在区间(一8, 0)上单调递增可知，f(x)在区间(0, +oo)上单调递减.又因为 f(2|a-1|)河啦)，f(V2)=f(V2),113所以21</，即|a1|<2，解得2<a<2.答案(1)cg 2) 应用2函数与方程思想在数列中的应用【例2】 已知数列an是各项均为正数的等差数列.(1)若a1 = 2,且a2, a3, a4+1成等比数列,求数列an的通项公式an；111在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn,设bn =+ +

7、 +,若对 Sn+1 Sn+2S2n 、 、 .任意J勺nCN ,不等式bn&k恒成立，求头数k的取小值.解 (1)a1 = 2, a3=a2(a4+1),又an是正项等差数列，故d>0,. .(2+2d)2=(2+d)(3 + 3d),得 d= 2 或 d= 1(舍去)，数列an的通项公式an= 2n.S=n(n+1)，则Sn=n (n1.111。十2n+1=2n2 + 3n+1 =。 12n+0+ 31 max= 6.人一1一，1.令 f(x)=2x+X(x>1),则 f'x)=2底>0恒成立, f(x)在1, +oo)上是增函数，当 x=1 时，f(x)

8、min=f(1) = 3,即当 n=1 时，(bn)要使对任意的正整数n,不等式bn&k包成立，1则须使k>（bn）max 6, 实数k的最小值为1.6探究提高1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第（2）问利用裂项相消求bn, 构造函数，利用单调性求bn的最大值.2.数列的本质是定义域为正整数集或具有限子集的函数，数列的通项公式与前项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值 （范围）问题的方法如下：（1）由其 表达式判断单调性，求出最值；（2）由表达式不易判断单调性时，借助 an+1 an的正负判断其单调性.【训练2】（2018长沙调研）已知数列an为等差数列，其中a2 + a

9、3=8, a5=3a2.求数列an的通项公式；22 018（2）记bn=,设bn的前n项和为Sn.求最小的正整数n,使得 除石器.anan+12 0 19a1 = 1,、d = 2,解（1）设等差数列an的公差为d,依题意有2a1 + 3d=8,解得a +4d = 3aI + 3d,从而an的通项公式为an=2n1.(2)因为bn =anan+1 2n 1 2n+1'所以Sn =汨)+ G-5；=+ + 1 2n+ 1.'=1 12n+1'12 0182n中靠，解得n>1 009.故取n的最小值是n= 1 010（n N*）.应用3函数与方程思想在几何问题中的应用

10、【例3】设椭圆中心在坐标原点，A（2, 0）, B（0, 1）是它的两个顶点，直线y= kx（k >0）与AB相交于点D,与椭圆相交于E, F两点.(1)若ED = 6DF,求k的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.2解(1)依题意得椭圆的方程为X4- + y2=1,直线AB, EF的方程分别为x+2y = 2, y= kx(k> 0).如图，设D(xo,kxo),E(x1,kx),F(x2,kx2),如中x1<x2,且x1，x2满足方程(1+ 4k2)x2= 4,故 x2 = x=由 ED = 6DF 知 xo x1 = 6(x2x0),/曰 J 、510得 xo=-(

11、6x2 + x1)=-x2 =f 2；777 1 + 4k由 D 在 AB 上知 x0+2kx0 = 2,2 萌210行 x0=> G .所以/2,1+2k 1+2k 7A/1+4k2化简得 24k2 25k+6 = 0,2一33- 00(2)根据点到直线的距离公式和式知，点E, F到AB的距离分别为|xi + 2kxi 2| 2 (1 + 2k+ l + 4k2)»一 布 一、5 (1+4k2)'M + 2kx22| 2 (1 + 2k-/l+4k2)h2=一连一二用在码 .又 |AB|=22+12 =限所以四边形AEBF的面积为-1,S= 2AB|(h1+h2)1

12、I- 4 (1 + 2k)_ 2 (1 + 2k)2 5 «5 (1+4k2) V1 + 4k2/l+4k2 + 4k/4厂当且仅当4k2=1(k>0),即当k=2时，上式取等号.所以S的最大值为2版 即四边形AEBF面积的最大值为2成.探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求 解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这 是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.22【训练3】(1)(2018邯郸调研)已知双曲线E:3b2=1(a>0, b&

13、gt;0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB, CD的中点为E的焦点，且2AB| = 3|BC|,则双曲线E 的离心率是.已知正四棱锥的体积为32,则正四棱锥的侧棱长的最小值为 3解析(1)如图,由题意知|AB|=2b, |BC|=2c.a /又 21AB|=3|BC|, 2b2口门2所以 2X-0-=3X2c,即 2b2 = 3ac,所以 2(c2a2)=3ac,两边除以a2,得2e23e 2 = 0,解得e=2.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积 V=1a2h3人162 E ,16令 f(h) = R + h ,则 f h) = h2 + 2h=2h3

14、 16h，令 f'h) = 0,解得 h = 2.显然当h(0, 2)时，f'h)<0, f(h)单调递减；当 hC (2, +oo)时，f，h)>0, f(h)单调递增.所以当h = 2时，f(h)取得最小值*2)=126+ 22=12,故其侧棱长的最小值i=>/T2=2乖.答案(1)2 (2)2,3热点二数形结合思想应用1在函数与方程中的应用【例4】(1)记实数X1,X2,，Xn中最小数为minX1,X2,，Xn,则定义在区问0, +8)上的函数 f(x) = minx2+1, x+3, 13 x的最大值为()A.5B.6C.8D.10x, x< m

15、,(2)已知函数f(x)= |x2_2mx+ 4m x>m 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x) = b有三个不同的根，则m的取值范围是.解析(1)在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1, y = x+ 3, y=13x的图象如ffl:由图可知，在实数集 R上，minx2+1, x+ 3, 13 乂为y= x+ 3上A点下方的射 线，抛物线AB之间的部分，线段BC,与直线y=13x点C下方的部分的组合 图.显然，在区间0, 十°°)上，在C点时，y=minx2+1, x+3, 13-x取得最大 值.y=x+ 3，解方程组彳得点C(5, 8).j=1

16、3x所以 f(x)max= 8.作出f(x)的图象如图所示.当x>m时，x2 2mx+ 4m=(x m)2 + 4m m2.二要使方程f(x) = b有三个不同的根，则有4m-m2<m,即m2 3m>0.又m>0,解 得 m>3.答案(1)C (3, +oo)探究提高 1.第题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第 (2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，

17、数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】若函数f(x) = |2x2| b有两个零点，则实数b的取值范围是解析 由f（x）= |2x 2| b有两个零点,可得|2x 2|=b有两个不等的实根,从而可得函数y=|2x 2的图象与函数y= b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b<2.答案（0, 2）应用2数形结合求解不等式与平面向量问题若点P是 ABC所在平面内的一【例5】 已知ABAC, |AB户;，AC|=t,点，且AP=AB" + 4AC,则PB PC的最大值等于 A B| |A C|A.13B.15C.19D.21（2018西安调研

18、）已知变量xx+2y> 0,y满足约束条件m mx- y< 0,若z= 2x- y的最lx2y+ 2>0,大值为2,则实数m=（）A.- 1B.-2C.1D.2解析（1）以点A为坐标原点,AB, AC的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则有 A(0, 0), B：, 0 i, C(0t),fAB 4AC-由AP = +=可知 P(1, 4),那么PB=：t, 4 ；, PC=（i, t4）,故PBPC=1一1, -4）（1, t 4）= ； 4t+17< -24t + 17=13.,1 一 1 当且仅当f = 4t,即t=2时等号成立.（2）将目

19、标函数变形为y=2x z,当z取最大值时，直线y= 2xz在y轴上的截距一， 一， 1 ,取小，故当m0 2时，不辆足题息./ x+ 2y> 0,1当m>2时，作出不等式组< mx y<0,表示的平面区域，如图阴影部分所示（含边 x-2y+ 2>0界）.y=2x z过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z= 2x y取得最大值.易求点 Bm-f 2m- 1.最大值为 z= 2Xp- jm=2,解得 m=1.答案（1）A （2）C探究提高1.平面向量中数形结合关注点：（1）能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；（2）重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解

20、.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选 择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关 系解决问题.【训练5】 当xe (1, 2)时,(x1)2<logax恒成立,则实数a的取值范围是(2)已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a c) (bc)=0,则|c|的最大值是()A.1B.2C. 2D.半解析(1)由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y=(x1)2, xC(1, 2)及 y=logax 的图象.若 y= logax 过点(2, 1),得 loga2=1,所以 a= 2.根据题意，函数y= logax, x(1, 2)的图象包在y= (x-1)2, x (1, 2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1, 2.(2)因为(a-c) (bc)=0,所以(ac)，(bc).如图所示，设OC = c, OA=a, OB =b, CA=a c, CB=b c,即ACBC.又因为OA±OB,所以O, A, C, B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.2.答案(1)(1, 2 (2)C应用3圆