高等数学B教案第九章

1、名师精编精品教案第九章 多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数

2、极值 存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的 最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。§9多元函数的基本

3、概念、教学目的与要求:名师精编精品教案1 .理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2 . 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。二、重点(难点)：二元函数极限的定义与连续性三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、平面点集n维空间1 .平面点集由平面解析几何知道.当在平面上引入了一个直角坐标系后.平面上的点P与有序二元实数组(x .y)之间就建立了一一对应 ，于是.我们常把有序实数组(x.y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐 标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x.y)的全体.即R2 =rxrg(x.y)|x.y三R就表示坐标平面,坐标平面上具有

4、某种性质P的点的集合.称为平面点集.记作Ex.y)| (x.y)具有性质P.例如.平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C=(x y)| x2 y2，.如果我们以点P表示(x .y),以|OP|表示点P到原点O的距离.那么集合C可表成C=P| |OP卜二r,邻域设Po(xo .yo)是xOy平面上的一个点.碍某一正数.与点Po(xo.yo)距离小于6的点P (x.y)的全体.称 为点Po的发B域.记为U (P0.6即U(F0,6)=P|PPM<6或U(F0,6)=(x, y)| v；(xxo)2+(y y。)2 <6 .邻域的几何意义：U (Po ©表示xOy平

5、面上以点Po(xo .yo)为中心、d>0为半径的圆的内部的点P (x.y)的全体.<5点Po的去心 螂域.记作U(PO, 8),即 aU(Fo,、)=P|o ：|FoP|：、.Q注：如果不需要强调邻域的半径6.则用U (Po)表示点Po的某个邻域.点Po的去心邻域记作U(P).点与点集之间的关系任意一点PWR2与任意一个点集 EUR2之间必有以下三种关系中的一种：内点：如果存在点P的某一邻域U(P).使得U(P尸E.则称P为E的内点；(2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P).使得U(P)E=0,则称P为E的外点；(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点.也有不属于E的点

6、.则称P点为E的边点，E的边界点的全体.称为E的边界.记作cE ,E的内点必属于 E E的外点必定不属于 E ；而E的边界点可能属于 E.也可能不属于 E . 聚点 a如果对于任意给定的 &>o .点P的去心邻域U (P,6)内总有E中的点.则称P是E的聚点,由聚点的定义可知.点集E的聚点P本身.可以属于E.也可能不属于 E，例如.设平面点集名师精编精品教案_ 22 一EX(x .y)|L：x y 立.满足1<x2为2蛭的一切点(x.y)都是E的内点；满足x2+y2=1的一切点(x .y)都是E的边界点.它们都不属 于E ；满足x22=2的一切点(x.y)也是E的边界点.它

7、们都属于E；点集E以及它的界边 史上的一切点 都是E的聚点.开集：如果点集E的点都是内点.则称E为开集, 闭集：如果点集的余集Ec为开集.则称E为闭集， 开集的例子 E4(x y)|1<x2 y2<2.22闭集的例子E=(x ,y)|1步y女,集合(x.y)|1<x2七2立既非开集.也非闭集.连通性：如果点集E内任何两点.都可用折线连结起来.且该折线上的点都属于E.则称E为连通集区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域,例如E=(x.y)1<x2旬2<2,闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域,例如E = (x,y)|1<x24y2<

8、2.有界集：对于平面点集E.如果存在某一正数r.使得EuU(O.r).其中。是坐标原点.则称E为有界点集,无界集：一个集合如果不是有界集.就称这集合为无界集.例如.集合(x .y)|1a2句2 M是有界闭区域；集合(x.y)| x+y>1是无界开区域； 集合(x.y)| x可用是无界闭区域,2 m维空间设n为取定的一个自然数.我们用Rn表示n元有序数组(xi .x2, .xn)的全体所构成的集合.即Rn出XRM XR4xi .x2 ,.xn)| xiWR .i=1 .2 .n,Rn中的元素(xi.x2,，.xn)有时也用单个字母x来表示.即x =(xi.x2.xn).当所有的xi(i=1

9、.2 .，n)都为零时.称这样的元素为 Rn中的零元.记为0或O，在解析几何中.通过直角坐标.R2(或R3)中的元 素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应.因而R n中的元素x =(xi.x2. . . . .xn)也称为R n中的一个点或一个n维向量内称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量，特别地.Rn中的零元0称为 Rn中的坐标原点或n维零向量.为了在集合Rn中的元素之间建立联系.在Rn中定义线性运算如下：设 x =(xi .x2. h .xn) .yXyi .y2. .yn)为 Rn 中任意两个元素、九WR .规定x y =(xi,yix2y2 .xnyn).x =(

10、9; xi. 'x2, ，工xn).这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间，Rn中点x =(xi .x2.xn)和点y =(yi皿.Tyn)间的距离.记作自x .y).规定：(x, y)飞(K-yi)2 872广(xn-yn)2 .显然.nT .2 .3时.上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至Rn中元素x =(xi.x2 .，.xn)与零元0之间的距离P(x .0)记作|x|(在屋、R2、R3中.通常将ixil记作|x|).| x|= .,x2 x2 ,x2 .采用这一记号.结合向量的线性运算.便得II x-y|二 ,(x -y)2 (x2 f)2(xn - y

11、n)2 = ：( x, y)'在n维空间Rn中定义了距离以后.就可以定义Rn中变元的极限：设 x"(xix2,：，xn).a =(ai22an) -R n.如果IX-aII >0.则称变元x在R n中趋于固定元a.记作口a , 显然xa= xiai X2- a2. - xn- an .在Rn中线性运算和距离的引入 .使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念.可以方便地引入到n(n >3)维空间中来.例如.设a qaia,an)三R n,配某一正数.则n维空间内的点集U(a ,、)= x | x R n . R x a) ：;就定义为Rn中点a的於B域.以邻域为基础

12、.可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 .以及开集、 闭集、区域等一系列概念二,多元函数概念例1圆柱体的体积 V和它的底半径r、高h之间具有关系V = r2h这里.当r、h在集合(r . h) | r>0 ,h>0内取定一对值(r . h)时V对应的值就随之确定,例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系RT其中R为常数，这里.当V、T在集合(V T) | V>0 ,T>0内取定一对值(V .T)时.p的对应值就随之确定 例3设R是电阻Ri、R2并联后的总电阻.由电学知道.它们之间具有关系C和2RR2这里.当Ri、R2在集合( Ri.R2)|Ri&

13、gt;0. R2>0内取定一对值(Ri. R2)时,R的对应值就随之确定.定义1设D是R2的一个非空子集.称映射f ：Dt R为定义在D上的二元函数.通常记为z4(x .y). (x .y)WD (或 z4(P) .P£ D)其中点集D称为该函数的定义域.x.y称为自变量.z称为因变量,上述定义中.与自变量x、y的一对值(x.y)相对应的因变量z的值.也称为f在点(x.y)处的函数值.记 作 f(x .y).即 z4(x .y),值域:f(D)=(z| z4(x .y) .(x .y)eD.函数的其它符号：z=z(x .y) .z=g(x .y)等,类似地可定义三元函数u=f(

14、x .y .z). (x .y .z)三D以及三元以上的函数,一般地.把定义i中的平面点集 D换成n维空间Rn内的点集D .映射f :Dt R就称为定义在 D上 的n元函数.通常记为u=f(xi .x2 .xn) .(xi .x2 . , ' , .xn)=D . 或简记为u =f( x) x =(xi x2xn) D也可记为u=f(P) P(xi .x2,xn) D .关于函数定义域的约定 ：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时.就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域，因而.对这类函数.它的定义域不再特别标出例如函数zMx4y)的定义域为(x

15、 .y)|x力>0(无界开区域)；函数z=arcsin(x24y2)的定义域为(x ,y)|x2 4y2W1(有界闭区域),二元函数的图形：点集(x.y .z)|z(x.y). (x .y)WD称为二元函数z=f(x.y)的图形.二元函数的图形 是一张曲面例如z总x4by 4c是一张平面.而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面 , 三,多元函数的极限与一元函数的极限概念类似.如果在P(x.yHP0(xo.y0)的过程中.对应的函数值f(x.y)无限接近于一个确定的常数 A ,则称A是函数f(x .y)当(x .y为风,yo)时的极限,定义2设二元函数f(P)J(x.y)的定义域为D Fo

16、(x0.yo)是D的聚点.如果存在常数 A,对于任意给定的正数色总存在正数6、使得当P(x,y)WDcU(P0,6)时.都有|f(P)K=|f(x y)K；成立.则称常数A为函数 小)当仅)万仇)0)时的极限.记为町 f(x,y) = A .或 f(x.y/A (x .yH (xo.yo).(x,y)_(x),y0)也记作lim f (P) = A 或 f(p)T A(Pt po), pt。、,上述定义的极限也称为二重极限例 4.设 f (x,y) =(x2+y2)sin万.求证 lim f(x, y)=0.x y(xy) K0,0)证因为|f(x，y) -0H(x2 黄河表-0| =|x2

17、ylx_171Mx2 y2可见Vo>0 .取d =y!Z .则当0 .(x-0)2 (y -0)2即 P(x,y)wDcU(O,6)时.总有|f(x y)-0| ：；.因此 lim f(x, y)=0,(x, y)T0,0)必须注意(1)二重极限存在.是指P以任何方式趋于Po时.函数都无限接近于 A .(2)如果当P以两种不同方式趋于Po时.函数趋于不同的值.则函数的极限不存在讨论一，尸x2 y2 :0函数f (x,y) =，x2+y2在点(0.0)有无极限？0x2 y2 =0提示：当点P(x .y)沿x轴趋于点(0 . 0)时.lim f (x,y) = lim f(x, 0) = l

18、im 0 =0(x, y)-；(0,0)Jx-0x一,0当点P(x .y)沿y轴趋于点(0 .0)时.lim f(x, y)=lim f (0, y) = lim 0 =0 ,(x,y)-；(0,0) ' J，y0y-；0当点P (x.y)沿直线yx有xykx2klim 22 = lim -o2-=2 ,(x,y),(0,0)xyx0xk x 1 ky -kx因此.函数f(x.y)在(0 . 0)处无极限,极限概念的推广：多元函数的极限,多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似 .例 5 求 limS«.(x,y)T0,2)xsin(xy)sin(xy)、，sin(xy)

19、斛 limlimy = limlim y =1 2=2(x,y) >(0,2)x (x,y) 乂0,2)xy(x,y) >(0,2)xy (x,y) >(0,2) J四,多元函数的连续性定义3设二元函数f(P)=f (x.y)的定义域为D.P0(x0.y。)为D的聚点.且P°WD，如果lim f (x, y) = f (x°, y°).(x,y).(x0,y0)则称函数f (x.y)在点P0(x0.y°)连续.如果函数f (x .y)在D的每一点都连续.那么就称函数f (x.y)在D上连续.或者称f (x.y)是D上的连续函数二元函数的

20、连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去，例6设f(x,y) =sin x .证明f(x .y)是R2上的连续函数、证 设P0(x0.y0)W R2"益0.由于sin x在x0处连续.故三3>0.当囚美|时.有|sin x-sin x0| :;.以上述&乍P0的御域U(P0 .6).则当P(x .y产U(P0,5)时.显然|f(x ,y) T(x。y0)| =|sin x -sin x0| ：；.即f(x .y)=sin x在点P0(x0.y0)连续,由P0的任意性知.sin x作为x.y的二元函数在 R2上连续,2证对于任息的Po(x0 .y0) = R ,因为l

21、im 、f(x,y)= lim、sinx=sinx0 = f(x0,y0).(x,y)(x0,y0)(x,y)(x0,y0)所以函数f(x,y)=sin x在点P0(x0.y0)连续，由P0的任意性知.sin x作为x .y的二元函数在 R2上连续，类似的讨论可知.一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时.它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f(x.y)的定义域为D.P0(x0.y。)是D的聚点.如果函数f(x.y)在点P0(x0.y。)不连续.则称P0(x0.y0)为函数f(x.y)的间断点.例如x2 y2 =0x2 y2 =0xy函数 f (x, y) = x2 y2 ,0

22、其定义域D火2.O(0. 0)是D的聚点仅.丫)当仅)修(0. 0)时的极限不存在.所以点O(0.0)是该函数的一 个间断点又如.函数z=sin 2 12一 .其定义域为D=(x.y)|x2七，1.圆周C=(x.y)|x24y2=1上的点都是 D x y -1的聚点.而f(x . y)在C上没有定义.当然f(x, y)在C上各点都不连续.所以圆周C上各点都是该函数的 间断点注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数：与一元初等函数类似 .多元初等函数是指可用一个式子所表

23、示的多元函数.这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的2.2一 一 一例如 2 . sin(x4y) . ex "也都是多元初等函数1 y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性.如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限.而该点又在此函数的定义区域内.则lim f(P) = f(P0).pp0例 7 求 lim-,(x,y) >(1,2) xy解：函数f(x, y) = x+y是初等函数.它的定义域为 xyD <(x .y)|x；0 y-0.P0(1 .

24、2)为D的内点.故存在P0的某一邻域U(P0)二D .而任何邻域都是区域.所以U(P0)是f(x.y)的一个 定义区域.因此 一 3(x,y)m(1,2)f(x，y) = f(1,2)=2般地.求lim f(P)时.如果f(P)是初等函数.且P0是f(P)的定义域的内点.则f(P)在点P0处连 P-；P0于是limP-F。f(P) =f(R)xy 1 -1求 lim (x,y) >(0,0)xy解Hm/1 -1 = lim (凶1 - 1Kxy 1 D = im 1(x,y) )(0,0)xy (x,y) 乂0,0)xy(*xy -1 1)(x,y)(0,0) ,xy 1 12多元连续函

25、数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界I区域D上的多元连续函数.必定在D上有界.且能取得它的最大值和最小值性质1就是说.若f(P)在有界I区域D上连续.则必定存在常数M>0 ,使得对一切PWD .有|f(P)区M ；且存在P1、P 2三D ,使得f(P1)=maxf(P)|P D . f(P2)即inf(P)|P D.性质2 (介值定理)在有界闭区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值,§9. 2 偏导数一、教学目的与要求：1 .理解多元函数偏导数概念，偏导数的计算。2 . 了解高阶偏导数的定义和算法。二、重点(难点)：偏导数计算三、教学方式：讲

26、授式教学结合多媒体讲授内容:、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zJ(x .y).如果只有自变量x变化.而自变量y固定.这时它就是x的一元函数.这函 数Kx的导数.就称为二元函数zJ(x,y)对于x的偏导数,定义 设函数z J(x .y)在点(x0 .yo)的某一邻域内有定义.当y固定在y0而x在处有增量Ax时.相 应地函数有增量f(xo ：=x .yo)-f(xo yo).如果极限limLx.0f(X0 lx, y0)- f(X0, y0)一二 z存在.则称此极限为函数z=f(x .y)在点(xO )0)处对x的偏导数.记作x0 . zxx .或 fx(x0,y0) .例如y =y0y =y

27、0fx(x0,y0) = lim.x；0f(x0x, y。)- f (x0, y0)lx类似地记作zz.T-x =x0 。y寸0y xn。y=y0lim.J0f(x0,y0y)-f (&,丫0).或 fy(x0 .yc),.函数zd(x.y)在点(x0.y°)处对y的偏导数定义为偏导函数如果函数z4(x.y)在区域D内每一点(x.y)处对x的偏导数都存在.那么这个偏导数就是孕.f . 4 .或 fx(x, y). x exf (x ：x,y)-f(x,y)x、y的函数.它就称为函数z=f(x.y)对自变量x的偏导函数.记作偏导函数的定义式fx(x,y)=lim.x0类似地.可

28、定义函数z-f(x .y)对y的偏导函数.记为3 . f .zy .或 fy(x, y), .y二 y偏导函数的定义式fy(x,y) = lim。f (x,y y)-f(x,y)：:ff求 工时.只要把y暂时看作常量而对 x求导数；求，时.只要把x暂时看作常量而对 y求导数，二 xcy讨论：下列求偏导数的方法是否正确？xq , yf0fx(x0 , y0) = fx(x, y) X =0 . fy(x0, V0 = fy(x, y)y=y0fx(xo,y0)=；df(x,y0)x3 . fy(xo,y0)=-df(x0,y)yo. dXy偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f

29、(x. y. z)在点(x.y. z)处对x的偏导数定义为f(x . x, y,z)-f(x,y,z)fx(x, y, z)= lim 32r2.x >0x其中(x ,y .z)是函数u(x .y .z)的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求z=x2+3xy勺2在点(1 .2)处的偏导数,解 乌=2x+3y .华=3x+2y ,0 xi =2 1+3 2 =8 .旦 x=3 1 + 2 2 = 7 ,汉yJ故 y=2yj y=2例2求z，2sin 2y的偏导数,解 专=2xsin2y 号=2x2cos2y .例 3 设 z=xy(x>0,x#1).求证：H0+

30、工_=2z， y :x In x 二y证= yxy J z =xy In x .二 x二 yx ；z 1fz x y 11 y. y y 。=yxy xy In x =xy xy =2z . y 二x In x y y In x例4求r = jx2 +y2 +z2的偏导数，-Y x_x _/r y y：x. x2 y2 z2 r 7 . x2y2z2r例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数).求证书Mi”证因为P理，膏=噂；V=RT P.V _R：T p立.VRT 一 pv-p R所以：P ：V 订=_RT R V 二V 1 二p V2 p R例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记

31、号.不能看作分子分母之商.二元函数z=f(x .y)在点(x0 .y。)的偏导数的几何意义：fx(x0 .yO)中(x .y0)x是截线z=f(x.y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.fy(x0 -y0) =f(x0 .y)y'是截线z=f(x0,y)在点MO处切线Ty对y轴的斜率.偏导数与连续性：对于多元函数来说.即使各偏导数在某点都存在.也不能保证函数在该点连续例如xy f (x,y) = x2 y20x2 y2 =0x2 y2 =0在点(0 . 0)有&0 . 0)田fy(0 .0)田，但函数在点(0 . 0)并不连续.提示f(x,0) =0 , f (0, y) =0

32、fx00)=dxf(x,0)=0fy(0，0)手f(0，y)oP(x .y)沿x轴趋于点(0 .0)时,有lim f (x,y) = lim f(x, 0) = lim 0 =0(x, y)(0,0)x >0x >0P(x .y)沿直线y*x趋于点(0 . 0)时.有. xylim 0°(x,y):(0,0) x2 - y2 y =kx.kx2=hm2 - _ 2 .x 0 x2 k2x2 1 k2因此.lim f (x,y)不存在.故函数f(x.y)在(0.0)处不连续, (x,y) >(0,0)类似地.可定义函数z=f(x .y)对y的偏导函数.记为：:z开至苗

33、z 或 fy(x，y)-偏导函数的定义式 (x, y)=lim f(x,y y) f(x, y) y' , y >0：y,高阶偏导数设函数z-f(x.y)在区域D内具有偏导数三三 fx(x,y) = fy(x,y).xy那么在D内fx(x .y)、fy(x .y)都是x.y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在.则称它们是函数z4(x.y)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=f(x .y)在区域D内的偏导数fx(x.y)、fy(x .y)也具有偏导数.则它们的偏导数称为函数z4(x .y)的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数二 2

34、二 二 二 2= fxx(x, y)3(啜)=盆=fxy(x, y)2二/ Z- z一(一)一一 二fyx(x, y) .x 二 y二y ：x二 y,：2_节=fyy(x, y) .其中三凸y jx；2z一X Fyfxy(X，y):XZ2z)= yy :x= fyx(x,y)称为混合偏导数-2_-2_-2_-2_：z、z ：z、 z ,：Z z ：z、 z.(-) ,21.： - (- )- - - (-)- - - (一),、2x .x 二 x 一 y 二 x .x y .x 二 y 二 y-x 二 y 二 y ；y同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数3

35、 232zC3z12z 2z例 6 设 z=x y 4xy «y4l .求 _ 2、 . 3、和二，二 x二 x二 y：x二 x：y解 =3x2y2-3y3-yz =2x3y - 9xy2 - x二 xcy-23_会=6xy2|=6y2.:x.x；i=6x2y-9y2-1；:2zy f x= 6x2y - 9y2-1 ,由例6观察到的问题；y：:x Fxfy：2：2定理 如果函数zT(x.y)的两个二阶混合偏导数工z及工z在区域D内连续二y：x ;x.y,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z=ln，x2+y2满足方程证 因为z=l

36、nx2+y2 =2m仪2 +黄)：z =xJz = y-:x x2 y2：:y x2 y2；:2z(x2 y2) -x 2x y2 -x2：:x2(x2 y2)2(x2 y2)2-2-2二z二z。:x2:y2.所以因此：-2z (x2 y ) -y 2yx2 -y-2 =/ 222= / 22.21-y(xy ) (xy )-2-22222：z . 22z _ x -y, y -x =2： 2 - 2 2 . 2、2 / 2 . 2、2 一x :y (x y ) (x y )例8.证明函数u =-22i 1满足方程2 r三/2u:y其中 r = .,x2 y2 - z2.同理因此提示.:u1j

37、r1x xx一 r2*=jx一”厂不；：2u13x2 r1 3x2；:x2r3T -Vr4r，一.x.一 73 Ts- r r.2二 u-.,2一 .3¥,：2u12 -3证二 2二 2二 2"'U-'U-'U-2- 2- 2一 x 一 y 一 z-2-U二一(3.(.堂r3 r5_A.3(x!r372y2 z2)r5r6)(-1 3z r3 r53 3r23 =0r3r5rrr"x3rUr6§9 .3全微分及其应用一、教学目的与要求：1 .理解多元函数全微分的概念，会求全微分。2 . 了解全微分存在的必要条件和充分条件。二、重点

38、(难点)：多元函数连续、可偏导及可微分之间的关系三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系.有偏增量与偏微分f(x £x y) -f(x y) ： fx(x .y)-x .f(x+Ax .y) T(x .y)为函数对x的偏增量f x(x .y)Ax为函数对x的偏微分； f(x y y)-f(x y) fy(x y) ：y .f(x .y+Ay) T(x .y)为函数)对y的偏增量f y(x .y)Ay为函数对y的偏微分， 全增量：z=f(x ： =x y ： =y) -f(x y).计算全增量比较复杂.我们希望用 小、a的线性函数

39、来近似代替之定义如果函数z(x .y)在点(x ,y)的全增量lz= f(x lx y Ly) -f(x y)可表不为z = A.汉 B =y o( P) (D =、,( x)2 ( ：y)2 ).其中A、B不依赖于歆、也而仅与x、y有关.则称函数zJ(x.y)在点(x.y)可微分.而称AixWy为函 数z4(x y)在点(x,y)的全微分.记作dz,即dz=A.x B .y ,如果函数在区域D内各点处都可微分.那么称这函数在 D内可微分,可微与连续：可微必连续.但偏导数存在不一定连续,这是因为.如果zd(x.y)在点(x.y)可微.则lz - f(x lx y Ly) -f(x y) -Al

40、x By o(：?).lim . ：z =0从而：.0lim f (x lx, y Ly) = lim f (x, y) lz = f (x, y),(.x,.y)-；(0,0)0因此函数z=f(x ,y)在点(x .y)处连续,可微条件定理1(必要条件)l-X如果函数z=f(x .y)在点(x .y)可微分.则函数在该点的偏导数 ' 字必定存在.且函数z=f(x.y)在二 x :y点(x.y)的全微分为dz = "|zAx + 4zAy ,二 x二 y是.对于点P的某个邻域内的任意一点P '(x+Ax .y+Ay).有证 设函数z=f(x .y)在点P(x .y)可

41、微分,于&*4珀可尤(9，特别当Z=0时有f (x ex y) f(x .y) =Alx o(|x|),上式两边各除以 及.再令改T0而取极限.就得lim.x0f(x：x,y)-f (x,y)从而偏导数 存在.且=A，同理可证偏导数 学存在.且 B ,所以二 x二 x二 y二 ydz = x y .x二 y简要证明：设函数zq(x .y)在点(x.y)可微分.于是有&z*Ax+BAy%(P),特别当Ay=0时有 f (x- x y) -f(x .y)=A x o(| x|),上式两边各除以 及.再令&t0而取极限.就得f(x ：x,y)-f(x,y)从而z存在.且 名

42、= A，同理 名存在.且z B ,所以dz - -Tzx *z&y ,x偏导数三、xyy孕存在是可微分的必要条件.但不是充分条件，:y例如_xy_函数 f (x,y) = Jx2 + y20x2 y2 = 0在点(0.0)处虽然有£*(0.0)田及£丫(0.0)4.但函数在(0.0)x2 y2 =0不可微分.即iz-fx(0 . 0)由4fy(0 . 0)Ay不是较 脸阶的无穷小 这是因为当(ix,Ay)沿直线y +趋于(0. 0)时.：z-fx(0,0) ：x fy(0,0) ：y .k'y .:x.：x1 n = ¥ 0 .( *x)2 (；：

43、y)2 (. ：x)2 ( ：x)2 2定理2(充分条件)如果函数zW(x.y)的偏导数 叁、且在点(x.y)连续.则函数在该点可微分. ex 二 Y定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯.&、3分别记作dx、dy.并分别称为自变量的微分.则函数z4(x.y)的全微分可写作dz = dx dy 二 xcy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上的函数.例如函数u=f (x,y,z)的全微分为du = dx dy dz . ex二 ycz例1计算函数z4y与2的全微分，解因为=2xy . 4z=x2+2y . e

44、x二 y所以 dz 以xydx (x2 2y)dy .例2计算函数z=exy在点(2 .1)处的全微分.解因为 牛 = yexy . ¥=xexy .二 x二 y与x=2=e2 . §x=2=2e2 . CxyTWy4所以dz=e2dx 2e2dy .例3计算函数u =x+sin'+eyz的全微分， 2解因为曳=1 .四Jcos?十zeyz .包= :xcy 22；z所以 du =dx (2cosy zeyz)dy yeyzdz .§9 4多元复合函数的求导法则一、教学目的与要求：1 .掌握多元复合函数导数的求法。2 . 了解全微分形式的不变性。二、重点(

45、难点)：多元复合函数导数的求法三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：设z4(u .v).而ud.v=¥(t).如何求dz ?dt设zJ(u .v).而u母x .y) .v=W(x y).如何求，和孕?ex二 y1，复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数u=卬(t)及v=中(t)都在点t可导.函数z=f(u.v)在对应点(u.v)具有连续偏导数.则复 合函数z司中)W(t)在点t可导.且有dz = :z du 2z dvdt ；:u dt ：:v dt简要证明1 :因为z才(u .v)具有连续的偏导数.所以它是可微的.即有z z4dz =du dv .二 u名师精编

46、精品教案又因为u，P及v3(t)都可导.因而可微.即有, dudv .du dt dv dt dtdt代入上式得dz二江黑出之名出=(红黑上d>；:u dt2V dt ；:u dt；:v dt，从而 dz = N du上变dt ju dt N dt简要证明2：当t取得增量&时.u、v及z相应地也取得增量 Au> Av及Az .由z=f(u.v)、u=9(t)及 v=Wt)的可微性.有：z = N . ：u * . ：v o(P) =du . t o( t) -dv.t 0Gt) o(P) u 二v二u dt二v dt(-)o( t) o(). :u: v-：z . ；：z)

47、o(. ：t) , o( 7).：u三 vLt Lt=(N du .卫 dV)寸 :u dt；v dt，二z ；z du ；z dv / i-t- (Lt fu dt 2V 出令&T0 .上式两边取极限.即得dz ；z du dvdt ：:u dtV dt '注翱。7四却巧产二。哥哥=0推广：设z+ (u ,V ,w) .uJP,v4(t) ,w=0,则z=肚W(t)网对t的导数为：dz ；:zdu . Jz dv . ：:z dw dt fu dt N dt w dt上述dz称为全导数.dt3 .复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数u=9(x .y) .v=W(

48、x.y)都在点(x.y)具有对x及y的偏导数.函数z=f(u. v)在对应点(u.v)具有连续偏导数.则复合函数zdW(x.y) W(x.y)在点(x.y)的两个偏导数存在.且有z；z：u：zv：z =二 z二 u: z二 v:xfuXvfx：:y ：:uFy2Vfy推广：设 zq(u .v.w ) ,u*x ,y) ,v芈x .y) ,w*(x .y).则Jz = &1.三久,互也三 =JzFu. ：:zFv . ：:z：:w:x ：:u：:x v ：:x .:w .x：:y ：:ufy ；:vfy w；:y讨论(1)设 z=f(u .v) .u=4x .y) .v=W(y).则字=

49、? = ?二 x二y掉一 z _ ；z ： u ：z =Jz ；:u . ；:z dvx 二 u 二x二y二u 二y 二v dy(2)设 z=f(u .x .y) 且 u/P(x,y),则 gz = ? = ?:xt y名师精编精品教案七曰一:zf ：:uf：:zFf；u：:f:x；:u ；xjxfy；:uNy这里 且与 f是不同的.是把复合函数z=f%x. y), x. y中的y看作不变而对x的偏导数.是把:x :xFx:xf(u .x .y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数，与0f也朋类似的区别.二 y 二 y4 .复合函数的中间变量既有一元函数.又有多元函数的情形定理3如果函数u=%x

50、 .y)在点(x.y)具有对x及对y的偏导数.函数v=W(y)在点y可导.函数z=f(u.v) 在对应点(u .v)具有连续偏导数.则复合函数z4%x.y) ,(y)在点(x,y)的两个偏导数存在.且有.z；zju；z：:zFu；:z dv1 *"*IT -:x；:ujx；:y；:uyv dy'例 1 设 z=eusin v.u=xy .v=x .求 且 和，z ,jx二 yz：:z ；:u ：:z v用牛=二 x二 u 二x二 v 二 x=eusin vy eucos v 1xy=e y sin(x y) cos(x y).:zz .u . 一z 二vzz + -i + .

51、L、f-,.y二 u 二 ycv t y=eusin vx eucos v 1xyw x sin(x y) cos(x y),例 2 设 u = f (x,y, z) =ex24y2 2 ,而 z=x2sin y ,求生和包二 x 二 y解Fx Fx:z Fx=2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y =2x (1 2x2sin2 y)ex2 y2 x4sin2 y.:u f . ；f ：:z I .:y：:yFz ：:y=2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cosy=2(y x4sinycosy)ex2 y2 x4sin2y .例 3 设 z=uv4s

52、in t .而 u=et .v=cos t.求全导数 dz dtdz：:zdu:zdvFzdt二udtcvdt：t=v et u (-sin t) cos t Aetcos t-etsin t cos t p'cos t -sin t) cos t .二 ：2例4设w 4（x4y电,xyz） ,f具有二阶连续偏导数.求及w w；:x一x-z解 令 u=xy也.v=xyz ,则 w J(u .v),引入记号：fiTf(u'v) , fi2 = cf(u,v);同理有 f2 fl f,等. 二 u二 u 二 v. / .也.四.包二fl .yzf2:x 二 u 二 x 二v ；xC2wc:x ；z:z=(fl yzf2)=打钉 开2yf2yz一z二 z=f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22=f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22 .注 Ji = J1 6 .2 = f11 xyf12 .%=f 包选取=f21 xyf22 .z 二 u 二 zt v cz: z二 u t z : v ； z例5设uT（x .y）的所有二阶偏导数连续.把下列表达式转换成极坐标系中的形式学2苧会今解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u=f（x .y）=f（%os。、氏in 0