哈工大自动控制原理课件-第四章(精)

1、第四章 根轨迹法 起反馈系统的根轨迹 开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环系统特征方程 式的根在S平而内变化的轨迹称根轨迹(“刃 locus). 例.设有单位反馈系统如图所示5S*莎加 特征方程为 s2+2s + 2k = 0 两闭环极点为:s,=-l + /n2k s2 = -1- y/ -2k S) =-14-VT2k s2 =-1- Vl-2k 下面分析参数k从0到无穷变化对系统闭环极点分布的影响: k=o时 s,=0 S2=-2 闭环极点与开环极点相同 0 v k v 1/2时 S,均为负实数 S|=$2= Sa =-i jV2TT,实部相同 位丁垂一直与实轴的直线上 MATLAB标

2、准型式：l+kL(s)=O AX(s)=G(s); Us)必须是首丄的b K为开环增益。G(S) = -(k = 2K)； s(s + 2) 系统的闭环传函为=字=,于 尺($) S24-2S + 2Z: K为开环增益。G(S) = s(s + 2) (k = 2K)； 系统的闭环传函为(s)= c(5) 2k R(s) s2 +2s + 2k 竺) k = l/2 时 kI/2 时 kT00时 沿上述直线趋于无穷远. Si =-l+Vl-2k s? = 1 G(S) = 2k 5( (5 + 2) * -2 K 2根轨迹与系统性能 稳定性:根轨迹若越过虚轴进站半平面与虚轴交点处白 k即为临界

3、增益 稳态性能根据坐标原点的根绸定系统的型别RJ时可以 确定对应的静态误差羲 动态性能过阻尼0vkv05 临界阻尼k = 05 欠阻尼 k0.5 （S）= K（ - V H m 口（S PJ+K 口（S Z,） i=i j= J/?（$） s + 2s + 2R = y/2k; 2 做“ =2； 则 G（S）H（SK 口（s-zf）n（s-p） /-I y-i J 3闭环零极点与开环零扱之间的关系 十n 向皿二1 NT Se AA B 3HT 立也 C Z ncs-zjnts-z,） n（s-p,）n（s-p） 1 1 1 4 结论: （1闭环系统根轨迹增譜于开环系统前向通植轨迹 增益;对于单

4、位反馈系细环系统根轨迹的增就等于开 环系统根轨迹的增益 （2闭环零点由开环前向遵传递函数的零点和馈通路 传函的极点所组成时于单位反馈系鋼环零点就是开环 零点 （3闭环极点与开环零厨环极点以及根轨迹赠均有关 根轨迹法的基本任务 如何由已知的开环零极的分布及根轨迹增瀧过图解贰 方法找出闭环极点 （S）=心 严_乙）呼_弓）g（s）=心 n（s-）+/cn（s-z.） 4.根轨迹方程 根轨迹是所有闭坏极点的集合. ri(5-zz) T - ；H(S) = 1 +G(s)H(s) = () G(s)H(s) = -1 G(S)H(S)= (s- IG(s)H(s)l = 1 幅值条件 ZGH(s) =

5、 180 4-/360 (i = 0, l, 2,)相角条件 IG(s)H(s)l = m KU Is zl i=l 1=1 m n ZG(s)H(s)=工 Z(sZj) 工 Zg) 由于k=0oo,所以只 要满足相角条件的点 就一定是对应某一个 参变量k的特征方程的 根。即绘制根轨迹仅 需相角条件。 4.2 绘制根轨迹的基本规则 设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式: （S P1）（）（S-/?2） （S-几） 式中,Zf（1=1,2, 、Pt （i=l, 2 分别为开环零点与极点，它们既可以是实数，也可以是共轨复数 4.2.1绘制180根轨迹的基本规则 ZG($)H(s) = X

6、Z(s-)-Z(5-/?,) 绘制180。根轨迹的基本规则： 1. 根轨迹的分支数 若系统的特征方程为邢介，则有川个根，则必然存在反映这刃个 根随参变量R变化的川条根轨迹。 因此根轨迹的分支数等丁反馈系统 特征方程的阶数72,或根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。 绘制根轨迹的基本规则一： 根轨迹的分支数等于闭环极点的数目。 2. 绘制根轨迹的基本规则二： 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 3. 根轨迹的起点与终点 根轨迹的起点是指参变量d0时闭环极点在s平而上的分布位置, 而根轨迹的终点是指参变量Boo时闭环极点在S平而上的分布位置。G（M（心 D（r） （S） 相角条件: = 180 +/

7、360 , = n（$7） 1 kn（s-Zi） - = -T G（S）H（S）=器 - n（$-门） n（s-p.） 1=1 1=1 在R=0时，根轨迹方程的解为 s=Pi （Z=l, 2,n）,闭环极 点与开环极点相等， 即根轨迹起始于开环极点。 当k-oo时， 根轨迹方程的解为（z=h 2,，加）或soo o =勺：闭环极点与开环零点重合。 S-00：闭环极点分布在S平面上的无穷远处 绘制根轨迹的基本规则三：根轨迹起始于开环极点，终止于 开环零点，如果开环零点数目小于开环极点数目，则有（ 条根轨迹终止于平面上的无穷远处。 4.根轨迹的渐近线 当加VH时， 随oo有S*oo,将有 （加）

8、条根轨迹趋于S |人面 上的无穷远处。下面确定这讪）条根轨迹随-8 在S平面上无 穷远的方向。 上 G_ZJ（$_Z2）G_S）二 0卩）0/?2）（$一几） m in 理+(一乙”心+ + (-ZJ I i=l +丈(-口)严+冇(_?) 1=1 1=1 m n 1 严+ (乙) (-A) z=i ;=1 k或写成 长除法取前两项: kOO 将式（419）等号两边开（nw?）次方，得到 冷边开力项按一项式定理展开，略去1/S 一次以上的高次项，得 考虑到2/+1）時.1 （/=o, 1, 2,.），上式可写成 加 H 工（-）-工（-门）_1_ 严+ $ T _ _ k n-m . e ”-

9、m nm kfg； soo; /=0, 1, 2,，n-m-1 上式表明，当koo时,对于加。的系统，（H-/H ）个闭环极 点在S平面上的处标可通过向量和来确定。其中一个是位于实轴 上的常量向量 E（口）-乞匕） b = - - a n m 工（-石）-工（-只） | i=l i=l m-n / m-n 8, S00 绘制根轨迹的基本规则四: 若加,有 kfg 时有nm条根轨 工（-zj-工（-P） m n （_1）迹趋于s平面的无穷远处，其渐近 线与实轴共交与一点，坐标为：%, jo；渐近线与实轴 方向的夹角为： _ （2/ + 1）7T 小、小 八 ;（/ = 0,1 2 n m 1）

10、n m 例41设某负反馈系统的开环传递函数 G(s)H(s)= 试绘制该系统的根轨迹图。 s(s + l)(s + 2) 给定的开环传递函数具有标准形式，其开环极点为pl=o, p2=l,p3=2,无有限开环零点。 根据基本规则1、2,给定系统有3条随*变化的対称于实 轴的连续根轨迹曲线。 根据基本规则3： 3条根轨迹分别起始于平面的点( (0, jO), ( (1, jO)及( (2, jO),并随参变量koo, 3条根轨迹都将 趋于s平面上的无穷远处。 根据基本规则4： 3条渐近线与实轴的交点坐标为 渐近线与实轴正方向的夹角分別是: 7T / = 0；仝=匹=80。 n m 3 0 n m

11、 5龙 竺= 300 3-0 0 + (_1) + (-2)_0 30 6根轨迹与实轴的交点 对于某些反馈系统，当参变量k取值较小时，闭 环极点中的全部或一部分为实数；当参变量k超过某值 后，闭环极点中原有实极点中的一些变为共轨复极点, 原处于实轴上的根轨迹分支将离开实轴而进入复平面。 由实轴过渡到复平面的根轨迹分支在分离处垂直于实 轴，包括根轨迹由复平面进入实轴时的会合点也是垂 直于实轴的。这种分离（会合）点的坐标就是在参变 量取某一特定值时山反馈系统特征方程解出的实数等 根。 H 设反馈系统特征方程的实数等 根为a。用待定实数a代换复变 量S,这时的特征方程为 n 一 Pi) i 一 k

12、m n -乙) i= 绘摯銮藝詡基本规则五：在实轴上任意取一点, 为奇数, 瞬蠶蠶勰聽 图44开环极点与零点分布 绘制根轨迹的基本规则六: 根轨迹与实轴的交档坐标是 d fl （s-P） 一 J=1 _ ds yy （ 、 11 （s-乙） 1 j= m ；=/+! 為=0 -/36(J + 工 /(门一令)一工 Z(pz-z.)-工 Z(A-z.) ;=| ;=1 ;=/+! 心02 4.3 典型反馈系统的根轨迹举例 例412设某反馈系统的开环传递函数为 给定系统的开环传递函数己具有标准形式。 S(S + 2 73)3+2S + 2) 1. 规则1：该根轨迹共有四个分支。 2. 规则2：根轨

13、迹四个分支都在s平而上连续且对称于实轴。 3. 规则3：根轨迹的四个分支起始于四个开环极点， 即p产0, p2=-l+j, p3= -1-j, p4= -2.73,该控制系统的有限开环宏点数Flm =0,所以当koo时，均伸向无穷远。 4. 规则4： n-m=4,根轨迹的4条渐近线与实轴正方向的夹角 分别是 (2吁 1) = 45。； 135 ;Q = 0,1,2, 3;料一加一1) n-m Z S)-工(乙)_4 73 6= - = -1.1 &只计算实部就可以了 n m 4 G(s)H(s) = k 心+ 2.73府+2$ + 2) 试绘制该系统的根轨迹图。 给定反馈系统的根轨迹方

14、程为 $(& + 2.73)($2 +2$ + 2) 5规则5：实轴上0,273J线段属于180根轨迹 规更6:根轨迹离开实轴处坐标的数值为 fl 一 pj V I n (r ) L 规则7：计算根轨迹离开开环共轨复数极点P2、3的出射角。 m n &PI =-(180 +,360 ) +工Z(巧一ZJ-工Z(刁一巧)；心0,1,2, 7=1 僞 9p2 = 一(180 +Z3600) Z(p2 P|)- Z(/?2 - p3) - Z(/?2 - p4) =+180 -135 - 90 - 30 = -75； Op3 = 75 规贝！）8:始于开环复数极点卩2、3两个分支与虚

15、轴交点的坐标。解 实部与虚部方程，得虚部32、3=107，临界值kc=7.28、一a = 5(5 + 2.73)(” + 2s + 2)|$ = a = 0；得a = -2.045 ds 图4-13例412反馈系统的根轨迹图 例13：若开环零.极点个数均为偶数，且左右对 称分布于一条平行于虚轴的直线， 则根轨迹一定 关于该直线左右对称。 k _ s(s + 4)(52 + 45 + 20) k s(s + 4)(5 + 2 + J4)(5 + 2 丿 4) !1! 个极点关于 Re=-2对称。 Root Locus 8 .22v 5126 4 2 0 2 4 Real Axis G（5）H（5

16、）= 例14：带开环零点的二阶系统， 若能在复平面上画出根轨迹，贝U G(S)H(S) = 极点： 复平面根轨迹一定是圆或圆弧。 k(s + 2) s2 + 2$ + 3 例16附加零点的作用 -1+j& 零点：2 开环附加零点可改进控制系统的稳定性及其它性能。 G(s)H(s) = 52( (5 + 10) 无零点: k s2(s + 5) % + io) 有零点 ba：取 b=10, a=5: s2(s-5) % -12 -10 -8 Real Axi 0 2 4 0864202468 1 Rml Axi3 k(s + 2) 有零点bva：取 b=2, a=5: s2(s + 5)

17、 4.3.2非最小相位系统的根轨迹 最小相位系统:反馈系统的全部开坏极点均位丁S平而的左半部 非最小相位系统:S平而的右半部具有开环极点和（或）零点 例设小相位系统的开环传递函数为 片=0 P2 =-2 j2V3 Zj =-3 Z2 =1 &P3 = +53 623 = 土3.14 9k = 3.07G(S)H(S) = k(-S22S + 3) S$ + 4S + 16) 试绘制该系统的根轨迹图. 解： d2S + 3) S(S2 +4S + 16) 标准化处理为 kCS2 +2S-3) S(S2 +45 + 16) 21兀 n &P2 = 53 三时滞系统的根轨迹 1时滞系

18、统 2时滞系统的根轨迹 特征方程为1 + G(S)H(S) ) F =0 根轨迹方程为G(S)H(S)e =1 幅值条件 g ArnjS-Zj PJ5-FJ 相角条件 m n 为 Z(SZJZ(S Pi) )+ ZeF =180 + 360 i=I i=l 话=e-r(a+j69) )_ -ra-Jvr Z e ” = COT (rad) = 51.3COT () m n 故有 Z(S Zj) Z(S Pi) = 180 + G(S) H(S) (1) 实轴上的根轨迹 在实轴上由于 Q = 0,所以相角条件变为 -ZS + l = 180 +i360 故与绘制180。根轨迹的相角条件相同 (2) 复平面上的根轨迹 令心0,则相角条件写成:-Z(s + l) = l80 4-513CDT Z(s + 1) = -180 - 573勿=180 - 57珈 现在在复平面寻找满腮角条件的总= b + j a在虚轴上选一点血 V，并过点(0J)做实轴的平行线 b过开环极点=-1做一条与实轴正方向癖为180-57.3啲 直线，两直线的交馭=6 便是满足相角条件的点即满足 + jcox +1) =