直线与圆培优讲义

1、培优讲义一、概念理解：1、倾斜角：找：直线向上方向、x轴正方向； 平行：=0°； 范围：0°180° 。2、斜率：找k ：k=tan （90°）； 垂直：斜率k不存在； 范围： 斜率 k R 。3、 斜率与坐标： 构造直角三角形（数形结合）； 斜率k值于两点先后顺序无关； 注意下标的位置对应。4、 直线与直线的位置关系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直时：<1> ； <2> 斜率都存在时： 。 平行：<1> 斜率都存在时：； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 重合： 斜率都存在时：；

2、二、方程与公式：1、直线的五个方程： 点斜式： 将已知点直接带入即可； 斜截式： 将已知截距直接带入即可； 两点式： 将已知两点直接带入即可； 截距式： 将已知截距坐标直接带入即可； 一般式： ，其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式： 两点间距离： 点到直线距离： 平行直线间距离： 4、中点、三分点坐标公式：已知两点 AB中点： AB三分点： 靠近A的三分点坐标 靠近B的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题 已

3、知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P（x，y），则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp的中点坐标在已知直线上。3、 解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）： 建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； 依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；yxo 将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。2、 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、 直线必过点： 含有一个参数-y=

4、(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必过点(-2,3) 含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)4、 易错辨析： 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） 直线到两定点距离

5、相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程 其中圆心，半径.当时，方程表示一个圆，当时，方程表示一个点.当时，方程无图形.第二种：圆的标准方程.其中点为圆心，为半径的圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程：（为参数）注：圆的直径方程：已知3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆外4. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；时，与相交；，

6、时，与相离. 5、 圆的切线方程： 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F

7、2）=0过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*R2-d2 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点

8、与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。9.圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则

9、|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、 2.【2015高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于M，N两点，则( )A2 B8 C4 D103.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或4.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或5.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 6.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且（）圆的标准方程为 ；（）过

10、点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：； ； 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）7.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 8.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由14.（2013·新课标全国高考文科·20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线

11、的距离为，求圆的方程。作业一、选择题1. （2013·重庆高考文科·4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 22.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A. B. 1 C. 2 D. 3.（2013·安徽高考文科·6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（ ）A.1 B.2 C.4 D. 4. （2013·重庆高考理科·7）已知圆：，圆：，、分别是

12、圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 5.（2013·广东高考文科·7）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ ） A BC D6. （2013·陕西高考文科·8）已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 ( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定7. （2013·江西高考理科·9）过点（，0）引直线l与曲线 相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）A.B. C. D.8. （2013·山东高考理科

13、3;9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 （ ）A.2x+y-3=0  B.2x-y-3=0  C.4x-y-3=0      D.4x+y-3=0二、填空题9. （2013·山东高考文科·13）过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为_10.(2013·浙江高考文科·T13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.11. （2013·江西高考文科·14）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 .12. （2013·湖北高考文科·14）已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .三、解答题13.(2013·江苏高考数学科·T17) 如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线