2016年普通高等学校招生全国统一考试天津卷理数

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理数一、选择题1. (5 分)(2016?天津)已知集合 A=1 , 2, 3,4 , B=y|y=3x - 2, xA，则 A AB=()A. 1 B. 4 C. 1 , 3D . 1 , 42. （ 5分）（2016?天津）设变量 - 3d-2>0满足约束条件- 6>0，则目标函数3x+2y- 9<0z=2x+5y的最小值为（A.3.A.4.）-4 B. 6C. 10（5分）（2016?天津）在1 B. 2C. 3D. ABC 中，若 AB13, BC=3，/ C=120 ° 则 AC=()D. 417（5分）（2

2、016?天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）=16.（ 5 分） （2016?天津）已知双曲线- -（b>0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 则双曲线的方程为（）D四点，四边形ABCD的面积为2b,5. （ 5分）（2016?天津）设an是首项为正数的等比数列，公比为q，贝U q< 0堤 对任意的正整数 n, a2n- 1+a2n< 0”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件22D.：打=14122 2 2 .2A . =1 B. -=1 C.7. （5分）（20

3、16?天津）已知 ABC是边长为1的等边三角形，点 D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F,使得DE=2EF，则人的值为（）& （ 5分）（2016?天津）已知函数(x)x2+ (4a _ 3) x+3d x<0 log. (x+1) +11(a> 0,且 a力)' B.1C.D.18848在R上单调递减，且关于 x的方程|f （x） |=2 - x恰好有两个不相等的实数解，贝Ua的取值范围是（）A .( 0, I】B .，1uu- D.-二、填空题9. （ 5分）（2016?天津）已知a, bR, i是虚数单位，若（1+i） （1 - bi） =a,

4、贝U “的值b为.10. （5分）（2016?天津）（X2- ） 8的展开式中x7的系数为 （用数字作答）11. （5分）（2016?天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所 示（单位：m）,则该四棱锥的体积为12. （ 5分）（2016?天津）如图，AB是圆的直径，弦 CD与AB相交于点E, BE=2AE=2 , BD=ED，则线段 CE的长为.13. （5分）（2016?天津）已知f （x）是定义在 R上的偶函数，且在区间（- 汽 0） 上单调 递增，若实数a满足f （2|a-1|） f （-心0,贝U a的取值范围是 .14. ( 5分)(2016?天津)设抛物线，

5、( t为参数，p > 0)的焦点为F,准线为I，过,y=2pt抛物线上一点 A作I的垂线，垂足为B,设C( p ,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF| ,2且厶ACE的面积为3二，贝U p的值为.三、计算题15. (13 分)(2016?天津)已知函数 f (x) =4tanxsin (-一 - x) cos ( x - 一)-'.23(1 )求f (x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x)在区间-,上的单调性.4416. (13分)(2016?天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次 数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4,现从这

6、10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈 会.(1 )设A为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期 望.17. (13分)(2016?天津)如图，正方形 ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形，平面 OBEF丄平面 ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2 .(1)求证：EG/平面ADF ;(2 )求二面角 O- EF- C的正弦值；(3) 设H为线段AF上的点，且 AH=_HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.18. (13分)(2016?天津)已知an是各项均为正数的等差数

7、列，公差为d，对任意的n N +，bn是an和an+1的等比中项.(1 )设Cn=b ，.- b ，n N +，求证：数列Cn是等差数列；加k 2*n 1 /1(2)设 a1=d，Tn=_ (- 1) bk， nN，求证:. 一、 .k=li=l 2d19. (14分)(2016?天津)设椭圆=1 (a>；)的右焦点为 F,右顶点为 A .已知:+:=|0F| |0A| | FA |，其中o为原点,e为椭圆的离心率.4(1 )求椭圆的方程;(2)设过点A的直线I与椭圆交于点B ( B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交于点M , 与y轴于点H，若BF丄HF，且/ MOA业MAO，求直线I的

8、斜率的取值范围.320. (14 分)(2016?天 津)设函数 f (x) = (x- 1) - ax-b, xR，其中 a, b 駅.(1 )求f (x)的单调区间；(2) 若 f (x)存在极值点 xo,且 f (X1)=f (xo),其中 X1(o,求证：x1+2x0=3 ；(3) 设a>0，函数g (x) =|f (x) I,求证：g (x)在区间0, 2上的最大值不小于 .2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理数参考答案与试题解析一、选择题1. D【分析】把A中元素代入y=3x - 2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】解：把 x=1 , 2

9、, 3, 4 分别代入 y=3x - 2 得：y=1 , 4, 7, 10,即 B=1 , 4, 7, 10, - A=1 , 2, 3, 4, A QB=1 , 4,故选：D.2. B【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线10： 2x+5y=0，平移直线10,可得经过点（3, 0）时，z=2x+5y取得最小值 6. - y2>0【解答】解：作出不等式组 *表示的可行域，3x+2y- 9<0如右图中三角形的区域，作出直线10： 2x+5y=0 ,图中的虚线，平移直线10,可得经过点（3, 0）时，z=2x+5y取得最小值6.故选：B.-13. A【分析】直接利用余弦定理求解即

10、可._【解答】解：在 ABC中，若 AB= i, BC=3，/ C=120 °2 2 2AB =BC +AC - 2AC ?BCcosC ,2可得：13=9+AC +3AC ,解得AC=1或AC= - 4 （舍去）.故选：A.4. B【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可.【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2>4=8 , n=2, i >4,第二次判断不满足条件 n > 3：第三次判断满足条件：S> 6,此时计算S=8 - 6=2 , n=3 ,第四次判断n>3不满足条件，第五次判断S> 6不满足条件，S=4. n=4 ,第六次判断满足条件

11、n> 3,故输出S=4,故选：B.5. C【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可.【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为 q, 若q v 0”是 对任意的正整数 n, a2n-1+a2n< 0”不一定成立，例如：当首项为 2, q= -2时，各项为2, - 1,2,- 2,，此时2+ （- 1） =1>0, 1 + （-2242）=> 0；44而 对任意的正整数n, a2n-i+a2n< 0”，前提是q< 0”，则q< 0"是对任意的正整数 n, a2n-i+a2n< 0"的必要而不充分条件， 故选：C.6.

12、D【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为X2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y= ± x，利用四边形 ABCD的面积为2b,求出A的坐标，代入圆的方程，即2可得出结论.【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为X2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为 y= ± X,2设A （x,也x）,则四边形 ABCD的面积为2b,2 2x?bx=2b,/ x= ±2将 A （1,）代入 x2+y2=4，可得 1+-=4 , b=12 ,双曲线的方程为-=1 ,412故选：D.7. B【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向

13、量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值.【解答】解：由 DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得.h =（ 5+ n）?（：'-）?（甕一 -!）1 * =(丨 +1 * =( + =-"-：|.2= - ?1?1/- 1 :=:故选：B.3 34& C【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f (x)为减函数，得到不等式组，禾U用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围.【解答】解：y=loga (x+1) +在0, + 递减，则0 v av 1,函数f (x)在R上单调递减，则则：3- 4a“

14、 0<a<l；0即(4a- 3) *0+3&>10 g (0+1) +1I自解得，三由图象可知，在0 , + 8)上，|f (x) |=2 - x有且仅有一个解,故在(-m, 0) 上, |f (x) |=2-x同样有且仅有一个解，当 3a> 2 即 a> 时，联立 |x2+ (4a- 3) +3a|=2 - x,则厶=(4a- 2) 2 - 4 (3a- 2) =0,解得a=或1 (舍去)， 当1Wa电时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为,：U ；,故选：C.9.2.【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a, b的方程，解得a, b的值，进

15、而可得答案.【解答】解：(1+i) (1 - bi) =1+b+ (1 - b) i=a, a, b R,.l+E解得:P=2,Lb=l.=2,故答案为：210.- 56【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解：Tr+1=J r:丄.；x16-3r,令 16 - 3r=7,解得 r=3 .( x2- J 8的展开式中x7的系数为| ； 节=-56.故答案为：-56.11. 2【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 棱锥的底面是底为 2,高为1的平行四边形，故底面面积 S=2XI

16、=2m2, 棱锥的高h=3m, 故体积 V= - y. =2m3,故答案为：212.【分析】由BD=ED，可得 BDE为等腰三角形，过 D作DH丄AB于H，由相交弦定理求 得DH，在Rt DHE中求出DE,再由相交弦定理求得 CE.【解答】解：如图， 过D作DH丄AB于H , / BE=2AE=2 , BD=ED , BH=HE=1，贝U AH=2 , BH=1 ,二 DH 2=AH ?BH=2，贝U DH=.：,在 Rt DHE 中，则- L .-由相交弦定理可得：CE?DE=AE ?EB,AE-EB 1X2 2a/3故答案为：仝-；.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化

17、进行求解即可.【解答】解： f （x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-0）上单调递增， f （x）在区间（0, + a）上单调递减，则 f （2®1|）> f （-逅,等价为 f （2旧1|）> f （屁, 即-V 2|a_1|< 二则|a 1|< ，即 < a< ',2 2 2故答案为：，；）2 214. _'_.【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和 参数方程.【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与I的方程，然后求解 A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可.【解答】解：抛物线*

18、沪氐十（t为参数，p> 0）的普通方程为：y2=2px焦点为F （卫，0）,2如图：过抛物线上一点 A作I的垂线，垂足为B,设C（ p,0）,AF与BC相交于点E.|CF|=2|AF| ,2|CF|=3p, |AB|=|AF|=卩,A （p,."）,l AF iR 1 ACE的面积为3爲二：.,可得 . ；=Sace.即：I,;.=3:,解得p=:. 故答案为:7 1；;.得k n夯(我12当k=0时，增区间为-:,kZ,k t+', kZ,1215.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可.（2）利用三角函数

19、的单调性进行求解即可.【解答】解：（1）： f （x） =4ta nxsin （一 x） cos （x ）* J .23 x蔬n+，即函数的定义域为x|x承n+, k Z,2 2贝V f (x) =4tanxcosx? (cosx+ sinx) -"2 2=2sinx ( cosx+ sinx) 、.：l 2 2=sin xcosx+sin=sin 2x+-； (1 cos2x)；='sin2x cos2x 2 2 271 Vs=sin (2x )则函数的周期T='；(2)由 2k n ' <2x <2k n+ ' , k Z ,232RJ

20、T7T，k乞即函数的增区间为k n- |：-x ：,：，此时 x 一，：,44124由 2k n+电x 电k 时一,k Z,232得kn一TL強 时工Z, k Z，即函数的减区间为12 12当k= - 1时，减区间为-一，-一,kZ,12 12 x - '' ,1 ，此时 x-，-,44412耳4k n+, k n+ 一 , k Z,12 12J，增区间为4为事件A ,求出选出的2人参加义工活【分析】(1)选出的2人参加义工活动次数之和为 动次数之和的所有结果，即可求解概率则P (A ).(2)随机变量X的可能取值为0,1,2, 3分别求出P (X=0 ),P( X=1 ),

21、P( X=2 ),P( X=3 ) 的值，由此能求出 X的分布列和EX 事件A发生概率：P= '=c2 310的可能取值为0, 1, 2 硝+C碱415(H) X(X=o)Cio【解答】解：(1)从10人中选出2人的选法共有 和=45种， 事件A :参加次数的和为 4，情况有：1人参加1次，另1人参加3次，2人都参加2 次； 共有密+ -=15种,3(X=1)1 1cic(X=2)3 4_ 4 :=., X的分布列为:X012P4?41515网 EX=O X I +1 X +2 X I =1 .15151517.【分析】(1)取AD的中点I，连接Fl,证明四边形EFIG是平行四边形，可

22、得 EG/ FI，利 用线面平行的判定定理证明：EG /平面ADF ;(2) 建立如图所示的坐标系O- xyz，求出平面OEF的法向量，平面 OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O - EF - C的正弦值；(3) 求出BH=(-空1 伍，上)，利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角55的正弦值.【解答】(1)证明：取AD的中点I，连接FI,矩形 OBEF , EF / OB, EF=OB , G , I是中点， GI / BD , GI=_BD .2/ O是正方形 ABCD的中心，OB=BD .2 EF / GI , EF=GI ,四边形EFIG是平行四边形， EG /

23、 FI,/ EG?平面 ADF , FI?平面 ADF , EG / 平面 ADF ;(2)解：建立如图所示的坐标系O-xyz，则B (0,-匚，0) , C (匚，0 , 0), E (0 ,-叮,2),F (0, 0 , 2),*aAp yOTr设平面CEF的法向量为ir= (x , y , z),则,取it = (“2, 0 , 1)l _V2x+2z=0/ OC丄平面OEF ,平面OEF的法向量为i= (1 ,0 , 0),|cosv -,门 |='二面角O - EF - C的正弦值为1-(3)解:AH耆F，丽評(普,0,影b , c),则；H= (a+_ , b , c)=(

24、,0,丄). a=-' ' b=0 , c=:,i-14i直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cosv II, i> |= = .二 I18.Cn的通【分析】(1)根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列 项公式，结合等差数列的定义进行证明即可.(2)求出Tn=_ (- 1) kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的k=l证明即可.【解答】证明：(1 ) an是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的n N+, bn是an和an+1的等比中项.29Cn=b 1 . b J=an+1an+2- anan+1 =2dan+1,n+1

25、 n2 Cn+1 Cn=2d (an+2 an+1) =2d 为定值；数列Cn是等差数列；k 2?.| I22*(2) Tn=_ ( 1) bk =c1+c3+ +c2n- 1=nc1+?4d =nc1+2n (n 1) d， nN ,k=l2由已知 C1=b22 - b12=a2a3- a1a2=2da2=2d (a1+d) =4d2,2 2将 C1 =4d，代入得 Tn=n (n+1) d ,)=J1- f i = 1 卢一 i = 1 (1 丄 4 _11 丄|儿=:'i- l即不等式'''成立.土 1耳 2d219.【分析】(1)由题意画出图形，把|0F

26、|、|0A|、|FAI代入卄丫 +i1 3e-，转化为关于a的方程，解方程求得 a值，则椭圆方程可求;(2)由已知设直线I的方程为y=k (x-2), (k用)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B的坐标，再写出 MH所在直线方程，求出 H 的坐标，由BF丄HF，得. 一 ，整理得到M的坐标与k的关系，由/ MOA MAO，得到xg，转化为关于k的不等式求得k的范围.211 3匹【解答】解：(1)由 .+=',得 lOFl |0A| |FA| 寸3 a 才 J J - 3即J 一 ；?/片二_a2 - 3 a (a- y/a2 - 3 )2

27、2 2-aa ( a 3) =3a (a 3),解得 a=2.椭圆方程为(2)由已知设直线I的方程为y=k (x 2), (k旳),设 B (xi, yi), M (xo, k ( xo 2),/ MOA <Z MAO ,-xo,再设 H (0, yH),fy=k (x - 2)联立2 /，得(3+4k2) x2 16k2x+16k2 12=0.+二 14 十 3 12 2 2 2 = ( 16k2)- 4 (3+4k2) ( 16k2 12) =144> 0.'.I_由根与系数的关系得.-,3+4/ ” - _ < 一丨3+4 kz 13+4MH所在直线方程为.:.

28、，:,令 X=0，得|.1 I (/ BF 丄 HF ,即 1 X1+y1yH= : '-,3+43+4 k2k 卩整理得：92 即8k绍 ° 12 (kZ+l)【分析】(1)求出f (x)的导数，讨论由导数大于0，可得增区间；导数小于2(2) f'(xo) =0，可得 3 (xo - 1) =a,a切时，f' (x)为,f (x)在R上递增；当a>0时,0,可得减区间；分别计算f (x0), f (3 - 2xo),化简整理即可得证；(3)要证g (x)在区间0, 2上的最大值不小于,即证在0, 2上存在xi, X2,使得g (x1)4-g (X2) > .讨论当a為时，当0 < a< 3时,2【解答】解：(1)f' (x) =3 (x - 1)当 aO 时，f