第六节双曲线(学生用)

1、学习必备欢迎下载第六节双曲线1 双曲线的定义平面内与定点F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2y2y2x2，b>0)2222ab 1(a>0 ， b>0)a b 1(a>0图形范围xa 或 x ay a 或 y a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴： 坐标轴对称中心： 原点顶点A1( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)，A2(0， a)渐近线bay ± xy ± xab性质离心率e c，

2、e (1， )，其中 c a2 b2a线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 2a；线段 B1 B2 叫做双曲线实虚轴的虚轴，它的长|B1B2| 2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长2b2通径a、 b、 c 的关系过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为222， c>b>0)c a b (c>a>0a 小题能否全取 1若双曲线方程为x2 2y2 1，则它的左焦点的坐标为()A. 2，0B. 5，0C. 6，0D.( 3，0)222x222若双曲线 a2 y 1 的一个焦点为 (2,0)，则它的离心率为()25323A.5B. 2C.3D 2

3、2y21| 4|PF 2|，则 PF 1F23设 F1，F 2 是双曲线 x 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点， 且 3|PF24的面积等于()A4 2B8 3C 24D 48学习必备欢迎下载4双曲线x222 y 1(a 0)的离心率为a2，则该双曲线的渐近线方程为_ 5已知F1 (0， 5)， F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足 |MF 1| |MF 2| 8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则 |k| ·e _.小结1.区分双曲线与椭圆中a、b、c 的关系， 在椭圆中 a2 b2 c2，而在双曲线中c2 a2 b2.双曲线的离心率 e 1；椭圆的

4、离心率e (0,1)2渐近线与离心率：22b222xy2bc a222a2e 1.可以看出， 双曲线的a b 1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为aa渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小注意 当 a>b>0 时，双曲线的离心率满足1<e<2；当 ab>0 时， e 2( 亦称为等轴双曲线)；当 b>a>0 时， e> 2.3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点双曲线的定义及标准方程典题导入例 1(1)已

5、知双曲线x2y2C： 2b2的焦距为10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 则 C 的方程为 ()a 1x2y2x2y2x2y2x2y2A.20 5 1B. 520 1C.8020 1D.2080 1(2) 已知双曲线 x2 y2 1，点 F1，F 2 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若 PF1 PF2，则 |PF 1| |PF 2|的值为 _由题悟法1 应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点 )具备的几何条件， 即“到两定点 (焦点 )的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支2 双曲线方程

6、的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2 ny2 1(mn<0)x2y2x2y2(2)与双曲线 a2 b2 1 有共同渐近线的双曲线方程可设为a2b2 ( 0)(3) 若已知渐近线方程为 mx ny0，则双曲线方程可设为 m2x2 n2y2 ( 0)以题试法1设 P 是双曲线x2 y2 1 上一点，F1，F 2 分别是双曲线左右两个焦点，若 |PF1|9，则 |PF2 | ()1620A 1B 17C1 或 17D以上答案均不对学习必备欢迎下载双曲线的几何性质典题导入，F分别是双曲线x2y2例 2 如图，双曲线的几何性质C： 22F 1 2a b 1(a， b 0)

7、的左、右焦点， B是虚轴的端点，直线 F 1B 与 C 的两条渐近线分别交于P， Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与x 轴交于点 M .若|MF 2| |F1F2|，则 C 的离心率是()23B. 6C. 2D. 3A.32若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为 ，且 ”，求双曲线的离心率的43取值范围由题悟法ba1已知渐近线方程y mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m a(m 0)或 m b，故离心率有两种可能2解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用以题试法22x2 y 1 的右焦点为 (3,0)，则该双曲线的离心率等于()2 (1)已知双曲线 a53

8、143234A.14B.4C.2D.322x2y2y2 8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点(2) 已知双曲线 ab 1(a 0，b0)与抛物线为 P，若 |PF| 5，则双曲线的渐近线方程为()32A y ±3 xB y± 3xC y ± 2xD y ±2直线与双曲线的位置关系典题导入例 3x2y2 1(b>a>0)， O 为坐标原点，离心率e 2，点 M(5，3)在双曲线上已知双曲线 a2 b2(1) 求双曲线的方程；11(2) 若直线 l 与双曲线交于P， Q 两点，且 OP ·OQ 0.求 |OP|2 |OQ|2的

9、值学习必备欢迎下载由题悟法1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或 y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入2与中点有关的问题常用点差法注意 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系以题试法223F1，F2分别为双曲线 x2y2 1(a0， b 0)的左，右焦点，过点F 2 作此双曲线一条渐近线的ab垂线，垂足为M，满足 | MF 1 ,| 3| MF 2 ,|，则此双曲线的渐近线方程为_ x2y2E 是该双曲线的右顶点，过点F 且典例 已知点 F 是双曲线 a b 1(a>0， b&

10、gt;0) 的左焦点，点22垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A， B 两点， ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ()A (1， )B (1,2)C (1,12)D (2,1 2)题后悟道 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于 a，b，c 的方程 (不等式 )，通过这个方程(不等式 )和 b 与 a，c 的关系消掉b 后，建立 a，c 之间的方程 (不等式 )，只要能通过这个方程求出ca即可，不一定具体求出a， c 的数值针对训练1F A221(a 0 b0)B(0 b)FB ,已知点x2y2的左焦点， 右顶点，点， 分别为双曲线

11、 ， ， 满足·ABab 0，则双曲线的离心率为()学习必备欢迎下载A. 2B.31 31 5C.2D.222x2y22b2 c2)的左，右焦点分别为F1，F ，若以 F为圆心， b2已知椭圆 a b 1(ab c 0， a22 c 为半径作圆 F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T，且 |PT|的最小值为32 (a c)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 _1直线 x 2 与双曲线 C：x2 y2 1 的渐近线交于E1，E2 两点，记 OE, e1， OE, e2，任取412双曲线 C 上的点 P，若 OP ,ae1 be2，则实数 a 和 b 满足的一个等式是 _x2y22已知双曲线 2 2 1 的左，右焦点分别为 F 1、