第五章第三节平面向量的数量积

1、学习必备欢迎下载第五章第三节平面向量的数量积题组一平面向量的数量积及向量的模1.(2010四·平模拟)设a、b、c 是单位向量， 且a·b 0，则(a c)·(bc)的最小值为()A 2B.22C 1D 12解析： (a c) ·(b c) a·b c·(a b)c2 0 |c| ·|a b| ·cos c， (a b) 1 0 | c |a b| 1 ( a b)2 1a2b22a b 1a2b2 12 1.答案： D2(2009广·东高考 )一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F3(单位：牛顿 )

2、的作用而处于平衡状态已知F1、 F2 成 60°角，且 F1、 F2 的大小分别为2和 4，则 F3的大小为()A 27B2 5C 2D 6解析： 由已知得F1 F2 F3 0， F3 (F1 F2)F32 F12 F22 2F1F2 F12 F22 2|F1 |F2|cos60 °28. |F3 |2 7.答案： A3(2009 福·建高考 )设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与 b 不共线， a c， |a| |c|，则 |b·c|的值一定等于()A 以 a， b 为两边的三角形的面积B以 b，c 为两边的三角形的

3、面积C以 a，b 为邻边的平行四边形的面积D以 b， c 为邻边的平行四边形的面积学习必备欢迎下载解析： 设 a， b ， (0，)，3 a， c 2， b， c 2 ，以 a， b 为邻边的平行四边形面积为|a|b|sin，而 |b·c|3b|c|cos(2 )|b|c|sin，又|a| |c|， |b·c| |a|b|sin.答案： C题组二两向量的夹角问题4.(2010 长·沙模拟 )已知向量 a(1,2)，b ( 2， 4)，|c|5，则 a 与 c5，若 (a b) ·c2的夹角为()A 30°B60°C 120 °

4、;D150°解析： a (1,2)， b (2， 4)， a b( 1， 2) a (a b) ·c a·c 52 |a|c|cos a， c 5 2521 cos a，c2.14· 5 a 与 c 的夹角为 120°.答案：C5在 ABC中，AB·BC 3， ABC的面积S 3， 3，则22AB与BC夹角的取值范围是 A4，3 B 6， 4 C 6，3 D3，2()解析： 设AB·BC ，由AB·BC |AB| BC|cos 3，得 | AB| BC|学习必备欢迎下载 3 ，cos11×33tan.S

5、| AB|BC |sin×sin22cos2由333，得3 tan1，2 tan3226 4.答案： B6设两个向量e1、e2 满足 |e1| 2，|e2 | 1， e1、 e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2 与向量e1 te2 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围解： 由已知， e12 |e1 |2 4， e22 |e2|2 1，e1·e2 2× 1× cos60 ° 1. (2te1 7e2) ·(e1 te2) 2t e12 (2t27)e1·e2 7t e22 2t2 15t 7.由 2t215

6、t 7 0，得 7 t12.由 2te1 7e2 (e1 te2 )( 0)，得2t ，7 t t142.由于 2te17e2与 e1 te2 的夹角为钝角，14故 (2te1 7e2) ·(e1 te2) 0 且 2te1 7e2 (e1 te2)( 0)，故 t 的取值范围是 ( 7，141412)( 2，2)题组三两向量的平行与垂直7.已知向量a (1,2)，向量b (x，2)，且a( ab)，则实数x 等于()A 4B 4C0D 9解析： a (1,2)， b (x， 2)， a b (1x,4)， a (a b)， a·(a b) 0， 1 x 80， x9.答案

7、： D8(2009 ·东高考广 )若平面向量a，b 满足 |ab| 1，a b 平行于 x 轴， b (2， 1)，则学习必备欢迎下载a_.解析： 设 a(x，y) ，则 a b (x 2， y 1)(x 2)2 (y 1)2 1，y 1，由题意?y1 0x 1或 3.a ( 1,1)或 a (3,1)答案： ( 1,1)或 ( 3,1)9已知平面向量a (1， x)， b (2x 3， x)， x R.(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求 |ab|.解： (1) 若 a b，则 a·b(1， x) ·(2x3， x) 1× (2x 3) x

8、( x) 0.整理得 x2 2x 3 0，解得 x 1 或 x 3.(2)若 ab，则有 1× ( x) x(2x 3) 0，即 x(2x 4) 0，解得 x 0 或 x 2.当 x 0 时， a (1,0)， b (3,0)，|a b| |(1,0) (3,0)| |(2,0)| ( 2)202 2.当 x 2 时， a (1， 2)，b ( 1,2)，|a b| |(1， 2) ( 1,2)| |(2 ， 4)| 22 ( 4)2 2 5.题组四平面向量数量积的综合应用10.若向量 an (cos2n， sinn)， bn (1,2sin n)，数列 xn 满足 xn (an&#

9、183;bn )2 1，则 xn是()A 等差数列B 等比数列C既是等差数列，又是等比数列学习必备欢迎下载D 既不是等差数列，又不是等比数列解析： an·bn cos2n 2sin2n 1 2sin2n2sin2n 1. xn 12 10.故数列 xn 是等差数列答案： A11 (2009 ·江高考浙)设向量 a， b 满足： |a|3， |b| 4， a·b 0，以 a，b， a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1 的圆的公共点个数最多为()A 3B 4C 5D 6解析： 当圆与三角形两边都相交时，有 4 个交点， 本题新构造的三角形是直角三角形，其内

10、切圆半径恰好为 1.故它与半径为 1 的圆最多有 4 个交点答案： Bxxxx12 (文 )已知向量 m(cos，cos )，n (cos，sin )，且 x 0，令函数 f(x) 2a m·n2222 b.(1) 当 a 1 时，求 f(x)的递增区间；(2) 当 a<0 时， f(x)的值域是 3,4 ，求 a、b.解： f(x) 2a m·n b2x1 2a(cos 22sinx) b 2a(12cosx12sinx12) b a(sinx cosx) a b 2asin(x4) a b.(1) 当 a 1时， f( x) 2sin(x 4) 1 b. 令2 2

11、k x4 2 2k，3得4 2k x4 2k(k Z)，又 x 0， f( x)的递增区间为 0， 4(2) 当 a<0 时， x 0， ， 52 x 4， 4 ， sin(x4) 2 ， 14学习必备欢迎下载 2当 sin(x 4) 2 时， f(x) a a b b， f(x)的最大值为 b.当 sin(x 4) 1 时， f(x) 2a a b (1 2)a b. f(x)的最小值为 (1 2)a b.(12)a b 3，解得 a 12， b4.b 4，( 理)已知 ABC 的外接圆半径为1，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.向量 m(a,4cosB)，n (cosA， b)满足 mn.(1) 求 sinA sinB 的取值范围；(2) 若实数 x 满足 abx a b，试确定 x 的取值范围a4cosB解： (1)因为 mn，所以 cosAb，即 ab4cosAcosB.因为 ABC 的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab 4sinAsinB.于是 cosAcosB sinAsinB 0，即 cos(A B) 0.因为 0 A B .所以 AB 2.故 ABC 为直角三角形sinA sinBsinA cosA2sin(A 4)， 3因为4 A4 4，2所以2 sin(A4) 1，故 1