高等数学课件：第三章 微分中值定理与导数的应用2

1、 3.1 3.1 微分中值定理微分中值定理 3.2 3.2 洛必达法则洛必达法则 3.3 3.3 泰勒公式泰勒公式与函数的高阶多项式逼近与函数的高阶多项式逼近 3.4 3.4 函数的单调性与凸性函数的单调性与凸性 3.5 3.5 函数的极值与最值的求法函数的极值与最值的求法 3.6 3.6 弧微分弧微分 曲率曲率 函数作图函数作图 )()(0 xfxf )()()()()(000 xfxfxUxxUxfo 内内有有定定义义，若若在在设设函函数数极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值，极大值点与极小值点，极大值点与极小值点)( 小小)( 小小0 x0 x统称为统称为极值点极值点 .定义

2、定义oxy)(xfy ，值值点点取取得得极极大大在在则则称称函函数数)()(00 xfxxf.)(0值值点点的的极极大大称称为为xfx)()(.0)()()(000 xfxxfxxf处处可可导导，则则在在处处取取得得极极值值且且在在设设函函数数定理定理1 1),16651601,Fermat(定定理理法法国国费费尔尔马马 00)(xxf的的根根把把方方程程 的的驻驻点点称称为为)(xf.或或临临界界点点或或稳稳定定点点）（0)(0 xf：费费尔尔马马定定理理的的几几何何意意义义是是函函数数的的极极值值点点，且且处处存存在在切切线线，在在点点若若曲曲线线000)(,()(xxfxxfy .此此切

3、切线线必必为为水水平平切切线线oxy0 x0 x)(xfy 则则证证,)(0处处取取极极大大值值在在不不妨妨设设xxf, ),(0 xUx ,0)()(0 xfxf即即有有),(00 xxx 00)()(xxxfxf ,0 有有),(00 xxx00)()(xxxfxf .0 质质，处处可可导导及及极极限限不不等等式式性性在在由由0)(xxf00)()(lim0 xxxfxfxx ,0 )(0 xf )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx ,0 )(0 xf )(0 xf.0)(0 xf故故, )()(0 xfxf 有有证毕证毕定理定理2 2),17191652,Rolle(中中值

4、值定定理理法法国国洛洛尔尔 .0)(),(),()(),(,)( fbabfafbabaxf使使则则至至少少内内可可导导，在在上上连连续续在在若若几何解释几何解释: :端端点点的的高高度度相相等等，轴轴的的切切线线，曲曲线线的的两两个个于于外外每每一一点点都都存存在在不不垂垂直直除除端端点点连连续续曲曲线线上上的的在在xxfyba)(, abxyo)(xfy 则则至至少少处处的的切切线线平平行行曲曲线线在在点点)(,( f使使),(ba .轴轴于于 x1 2 )(,(11 f证证只只须须证证明明：应应用用费费尔尔马马定定理理，.),()( 存存在在一一个个极极值值点点内内至至少少在在函函数数b

5、axf,连连续续在在由由baf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值,)1(mM 若若为为常常值值函函数数，则则)(xf，有有0)( xf),(bax ；使使0)( f，若若mM )2(),()(bfaf 至至少少和和则则mM，内内任任一一点点都都可可取取作作即即 ),(ba，有有一一个个不不在在端端点点上上取取得得),(afM 不妨设不妨设)(xf是是显显然然 ，的的极极大大值值点点由由费费尔尔马马定定理理，.0)( f，使使则则必必Mf )( ),(ba 证毕证毕注意注意:例如例如:,xy 连连续续，在在1 , 1 . 0)(1)(-1 f使使内内不不存存在在，但但在在 . 121,

6、211,)(2xxxxxf又如又如:洛尔定理的条件仅为充分条件，非必要洛尔定理的条件仅为充分条件，非必要条件条件 .内内不不可可导导，在在)1 , 1( ,)1()1(ff yox1 1 21)(xfy ,条条件件显显然然不不满满足足洛洛尔尔定定理理的的.0)(1)(-10 f使使，但但存存在在abxoy)(xfy AB abafbf )()( )( f定理定理3 3),18131736,Lagrange(法国法国拉格朗日拉格朗日 中中值值定定理理,)(上上连连续续在在若若baxf内内可可导导，在在),(ba使使则则至至少少),(ba 几何解释几何解释: :，轴轴的的切切线线垂垂直直于于端端点

7、点外外每每一一点点都都存存在在不不除除的的连连续续曲曲线线上上在在xxfyba)(, .行行于于两两个个端端点点的的连连线线则则至至少少存存在在一一条条切切线线平平拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式)()(afbf ab 证证使使要要证证),(ba ,)()()(abafbff ,0)()()( abafbff 即即)(xF只只要要找找到到函函数数,)()()()(abafbffF 使使.)(可可满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件即即且且xF,)()()()(xabafbfxfxF ,)()()()(abafbfxfxF 则则,)(上上连连续续在在由由baxf内内可可导导，在在),(ba内内可

8、可导导，在在上上连连续续在在显显然然，),(,)(babaxF作辅助函数作辅助函数:aabafbfafaF )()()()(abbafabf )()(babafbfbfbF )()()()(abbafabf )()(,)()(bFaF 即即根根据据洛洛尔尔定定理理，使使0)(),( Fba,)()()()(xabafbfxfxF .)()()(abafbff 即即证毕证毕考察辅助函数考察辅助函数:abxoy)(xfy AB xabafbf )()( )(xF)(xf)(aF)(bF 内内可可导导，在在上上连连续续在在),(,)(babaxF.)(的的条条件件满满足足洛洛尔尔定定理理xF一一般般

9、地地，作辅助函数作辅助函数: )(xF)(xf的的直直线线的的纵纵坐坐标标 AB平平行行于于线线段段.)(满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件则则xFabxoy)(xfy AB 例例如如，：取取线线段段 AB )(xF)(xf y)()()()(afaxabafbf 辅助函数辅助函数:)()()()(afaxabafbf ,0)()( bFaF)(xFy .)(满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件显显然然，xF.)()(bfaf ),()()()(abfafbf .之之间间与与介介于于其其中中ba ),()()()(ababafafbf 或或.10 ,)()()(hhafafhaf 或或,)(

10、)()(xxxfxfxxf 或或其其它它形形式式：,)()()(abafbff .之之间间与与介介于于其其中中ba Lagrange中值定理中值定理般般一一Rolle中值定理中值定理特特殊殊推论推论1 1, 0)(,)( xfIxIxf且且上上可可导导在在区区间间若若.)(,（常常数数）有有则则CxfIx 证证,0IxIx 及及（固固定定）取取点点上上应应用用拉拉氏氏中中值值定定理理，或或在在,00 xxxx,)()()(00 xxfxfxf .0之之间间与与介介于于其其中中xx ，由由已已知知0)( f)()(0 xfxf ),(常常数数C .)(,（常常数数）有有即即CxfIx 证毕证毕推

11、论推论2 2,)()(,)()(xgxfIxIxgxf 且且上上都都可可导导在在区区间间和和若若.)()()(,常常数数则则CxgxfIx 证证 )()(, xgxfIx,0)()( xgxf，由由推推论论 1，Cxgxf )()(.)()(Cxgxf 即即证毕证毕定理定理4 4）（柯柯西西中中值值定定理理在在与与若若)()(xgxf上上连连续续，,ba,0)(),( xgba内内可可导导，并并且且在在使使则则至至少少),(ba .)()()()()()(agbgafbfgf Cauchy中值定理中值定理Lagrange中值定理中值定理xxg )(若若Cauchy中值定理中值定理Lagrang

12、e中值定理中值定理Rolle中值定理中值定理特特例例特特例例推推广广推推广广证证,0)()(: agbg首首先先证证明明用用反反证证法法，,0)()( agbg假假设设,)()(agbg 即即根根据据洛洛尔尔定定理理，.0)(),( gba使使这这与与已已知知条条件件”“0)(),( xgbax.矛矛盾盾,)()()()()()()(xgagbgafbfxfxF 令令满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，不不难难验验证证)(xF，使使0)(),( Fba.)()()()()()(agbgafbfgf 即即所所以以，方法方法1证毕证毕方法方法2使使要要证证),(ba ，)()()()()()(a

13、gbgafbfgf 使使即即要要证证),(ba ,0)()()()()()( gafbffagbg令令),()()()()()()(xgafbfxfagbgx 满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，不不难难验验证证)(x ，使使0)(),( ba.)()()()()()(agbgafbfgf 即即所所以以，?如如下下证证明明对对吗吗,二二式式相相除除中中值值定定理理条条件件，上上都都满满足足在在与与Lagrangebaxgxf,)()(思思考考：)()()(),(abfafbfba 使使得得)()()(),(abgagbgba 使使得得,),(使使得得ba )()()()()()(abgabf

14、agbgafbf .)()( gf 例例1 1.), 1 , 0(,)1 , 0(0, 0132:2210210为为常常数数其其中中至至少少有有一一个个实实根根内内在在则则方方程程若若证证明明niaxaxaxaanaaaainnn )(xf令令证证,0)0(, f显显然然,0)1(, f由由已已知知根根据据洛洛尔尔定定理理，.0)()1 , 0( f使使至至少少.)1 , 0(02210至至少少有有一一个个实实根根内内在在即即方方程程 nnxaxaxaa，nnxaxaxaaxf 2210)(xa0212xa 323xa ,11 nnxna例例2 2,1 , 0)(连连续续在在设设xf内内可可导

15、导，在在)1 , 0(使使得得)1 , 0( 证证明明：对对于于点点且且),1 , 0(, 0)1()0(0 xff.)()(0 xff 证证,)()()(0 xxfxfxF 令令内内可可导导，连连续续，在在在在由由题题设设知知)1 , 0(1 , 0)(xF0)()0()0(0 xffF1)()1()1(0 xffF, 0 ),(0 xf ) i (, 0)(0 xf若若,0)1( F则则根根据据洛洛尔尔定定理理，,0)()1 , 0( F使使,0)()(0 xff 即即.)()(0 xff 亦亦即即47P练练习习册册12习习题题)ii(, 0)(0 xf若若0000)()()(xxfxfx

16、F 则则)1)(00 xxf ),1 , 0(0 x由由)1)()1()(0020 xxfFxF ,)()1(0 xfF 又又,010 x,0 上上应应用用零零点点定定理理，在在函函数数1 ,)(0 xxF,0)()1 ,(0 Fx使使, 0)0( F又又满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，在在从从而而1 , 0, 0)( xF,0)()1 , 0(), 0( F使使.)()(0 xff 即即,)()()(0 xxfxfxF 证证;0)()1 , 0(11 F使使则则满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，在在显显然然，1 , 0)(xF,)()(3)(32xfxxfxxF 由由,)()(6)

17、(6)(32xfxxfxxxfxF ,0)0( F满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，在在, 0)(1 xF 使使则则)1 , 0(), 0(12 ;0)(2 F,0)0( F满满足足洛洛尔尔定定理理的的条条件件，在在, 0)(2 xF 使使故故)1 , 0(), 0(2 .0)( F例例3 3,1 ,0)(上上存存在在三三阶阶导导数数在在证证明明：若若xf则则至至少少，设设且且)()(,0)1()0(3xfxxFff .0)()1 ,0( F使使例例4 4.)1ln(1, 0:xxxxx 有有证证明明证证),1ln()(xxf 设设, 0)(, 0上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在

18、在xxfx )0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即型型不不定定式式及及一一 00.定义定义.0)(lim0)(lim)()(00 xgxfxxxxxx，如如果果.)(lim,)(lim)()(00 xgxfxxxxxx或或.)()(lim)(0在在可可能能存存在在、也也可可能能不不存存则则极极限限xgxfxxx .00型型不不定定式式通通常常把把这这种种极极限限称称为为 或或.,17041661,HospitalL法法国国数数学学家家）洛洛必

19、必达达（ )( 例如例如:xxxtanlim0)00(320limxxxx ,1 ,不存在不存在 xxxlnlim31lim5 xxx,0 .不存在不存在 洛洛必必达达法法则则：.00型型不不定定式式极极限限的的方方法法或或利利用用导导数数求求 ;0)()()(,)()2(00 xgxgxfxU都都存存在在且且及及内内在在定理定理1;0)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx若若）（洛洛必必达达法法则则 );()()(lim)3(0 有有限限或或lxgxfxx).()()(lim)()(lim00 有有限限或或则则lxgxfxgxfxxxx.,00则则仍仍然然成成立立相相应应条条件件满

20、满足足时时，该该法法对对其其它它五五种种函函数数极极限限 xxxx证明略证明略. )()()(lim)()(lim)()(lim 有限或有限或lxgxfxgxfxgxf,)()(lim,)()(lim,)()(limxgxfxgxfxgxf 一一般般地地，若若法法则则，即即则则可可以以继继续续使使用用洛洛必必达达.)()(lim）（有有限限或或 lxgxf型型，而而00仍仍属属如如果果)()(xgxf 皆皆是是)()(lim)1()1(xgxfnn 00型型，而而.)()(lim)()(）（有有限限或或 lxgxfnn )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxf则则.)

21、()(lim)()(lxgxfnn 定理定理2;)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx，;0)()()(,)()2(00 xgxgxfxU都都存存在在且且及及内内在在）（洛洛必必达达法法则则 若若);()()(lim)3(0 有有限限或或lxgxfxx).()()(lim)()(lim00 有有限限或或则则lxgxfxgxfxxxx.,.;,1000也也可可配配合合交交替替联联用用与与法法则则法法则则当当然然可可以以多多次次使使用用条条件件时时，洛洛必必达达法法则则满满足足相相应应有有类类似似的的结结果果换换成成一一样样，可可把把和和定定理理 xxxxxxxxx证明略证明略例例1 1

22、xxx2tancos1lim 求求)(tan)cos1(lim2 xxx xxxx2sectan2sinlim .21 例例2 2123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00()00(2coslim3xx )00()00(例例3 3xxx1arctan2lim 求求221)1(1limxxx 221limxxx . 1 例例4 4)0, 0(sinlnsinlnlim0 babxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 . 1 )00()( axbxxcoscoslim0 axbbxaxsinsinlim0

23、)( )00(例例5 5xxx3tantanlim2 求求xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( xxxsin3sin3lim2 xxxxxxcos3coslimsin3sinlim22 或或)00()00(xxxcos3coslim2 )00(. 3 注意：洛必达法则是求不定式极限的一种有效方注意：洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例

24、6 6.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 2203tanlimxxx 22031seclimxxx .31 )00()00()00(2203limxxx )0(lnlim)1 xxx求求11lim xxx xx1lim )( 例例7 7 .0 )1,0(lim)2 aaxxx 求求)( aaxxxlnlim1 ,10 ,0.1 ， nnNn 1,1使使，总，总对对),0( n 有有次次直到第直到第逐次应用洛必达法则逐次应用洛必达法则,n xxax limaaxxxlnlim1 aaxnnxnxln)1()1(lim .0 aaxxx22ln)1(lim , 10

25、 a， 结结论论：时时，当当 x.)(ln xaxxx 记记为为：, x幂幂函函数数都都是是指指数数函函数数xa,ln x对对数数函函数数,正正无无穷穷大大指指数数函函数数增增长长这这三三个个函函数数之之间间比比较较,.数数函函数数增增长长最最慢慢最最快快，幂幂函函数数次次之之，对对 注注 意：意：洛洛必必达达法法则则，才才能能直直接接用用.)()(lim)()(limlxgxfxgxf 才才有有,)()()(lim时时非非不不存存在在若若 xgxf则则不不能能推推出出：,)()()(lim 非非也也不不存存在在xgxf此此时时洛洛必必达达法法则则失失效效！.须须找找其其他他方方法法,.1不不

26、定定式式极极限限或或只只有有00 lxgxf )()(lim并并且且当当,)(时时有有限限或或 xxxxsin)1sin(lim:20例例如如)00( )(sin)1sin(lim20 xxxx但但xxxxcos)1sin(2lim0 )1cos(x.)( 非非不不存存在在则则不不能能断断定定：.sin)1sin(lim20也也不不存存在在xxxx,事事实实上上)1sinsin(lim0 xxxxx .0 此此时时洛洛必必达达法法则则失失效效！xxxxsin)1sin(lim20 xxxxcoslim: 又如又如1sin1limxx ).sin1(limxx )cos11(limxxx . 1

27、 )( )()cos(lim xxxx但但！非非极极限限不不存存在在)( 则则不不能能断断定定：.coslim也也不不存存在在xxxx 事事实实上上，此此时时洛洛必必达达法法则则失失效效！xxxxcoslim ），），不存在（非不存在（非若若 )()(lim)()(xgxfnn.11111lim22 xxxeexxxxxeeee lim例例如如：)( )( )( xxxxxeeee limxxxxxeeee lim ,.2次次时时当当洛洛必必达达法法则则应应用用若若干干则则洛洛必必达达法法则则失失效效！此此时时洛洛必必达达法法则则失失效效！xxxxxeeee lim而而)( 没没有有结结果果！

28、00,1,0,0. ：其其它它不不定定式式二二例例8 1)8 1)xxex2lim 求求)0( 2limxxe . 对于其它类型的不定式对于其它类型的不定式, 不能直接应用洛必达法则不能直接应用洛必达法则,型型 0. 1步骤步骤:,10 .000100 或或2limxexx )( xexx2lim 00 必须先将它化为必须先将它化为 或或 型型, 再用洛必达法则再用洛必达法则!)( )0(lnlim)20 xxx)0( xxxln1lim0 )ln(lim20 xxx )00(xxxx210ln1lim xx0lim xxx1lnlim0 )( 101lim xxx. 0 )0(lnlim0

29、xxx)0( .更复杂更复杂比原式比原式例例9 9)1sin1(lim0 xxx 求求)( 21211111 通分通分xxxxxsinsinlim0 xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:20sinlimxxxx xxx2cos1lim0 21121111 00 通分通分xxxxxxsincoscossinlim0 2sinlim0 xx )00(. 0 )00()00(步骤步骤:型型00,1,0. 3 01ln0ln0eee.0 例例1010 xxx 0lim求求)0(0 xxxeln0lim xxxelnlim0 2011limexpxxx 0e . 1 x

30、xx1lnlimexp0 )(exp)(xfexf注：注：记作记作 0010 uvveuln)(limexp0 xx )( )0( 例例1111xxx 111lim求求)1( xxxeln111lim xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212xxxln10)(cotlim 求求)(0 xxxln)ln(cotlimexp0 xxxx1sin1cot1limexp20 xxxxsincoslimexp0 .1 e 1111)1(1lim xxxxxxeln)ln(cot0lim )( )00(.1 e利用洛必达法则也可计算数列的不定式极限利用洛必达法则也可计算数列的不定式

31、极限.lxgxfx )()(lim出出若若用用洛洛必必达达法法则则能能计计算算.)()()(lim 有有限限或或则则显显然然，有有lngnfn),( 有有限限或或因此，对于数列的不定式极限，可先转因此，对于数列的不定式极限，可先转化为函数的不定式极限化为函数的不定式极限 . 利用洛必达法则对利用洛必达法则对后者求极限，则前者的极限亦然后者求极限，则前者的极限亦然 .lim13nnn 计计算算极极限限例例xxxlim.1limlim xxnnxnxxx1lim )(0 xxxelnlim )lnlimexp(xxx )11limexp(xx ，10 e解解.lim1422nnen 计计算算极极限

32、限例例解解22limxxex )0( 22limxxex )( 222limxxxex 21limxxe ,0 .0limlim2222 xxnnexen小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 通通分分uvveuln 由由）泰泰勒勒（Taylor.,17311685英英国国 附近时，有附近时，有在在可微，则当可微，则当在点在点如果如果00)(xxxxf问题的提出：问题的提出：)()()()(0000 xxoxxxfxfxf 的的线线性性近近似似f)(xL,)()(xLxf 所所产产生生的的误误差差是是：).(00 xxxx 高高阶阶的的无无穷穷小小比

33、比问题问题:)(xpn能能否否用用高高次次多多项项式式)()()(:xPxfxRnn 使使误误差差.)(0阶阶的的导导数数点点具具有有直直到到在在设设nxxf,)(xf 可可以以估估计计！办法办法:尽尽可可能能附附近近与与寻寻找找一一个个在在)(0 xfx:次次多多项项式式接接近近的的 nnnnxxaxxaaxp)()()(0010 )(xpn怎怎样样构构造造很很接接近近！与与附附近近使使得得在在)()(0 xfxPxn？（如如何何确确定定它它的的系系数数）0 x)(xfy oxy分分析析)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的

34、切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 xnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 )(xpyn ), 2 , 1 , 0(nk )()(0)(0)(xfxpkkn 如果如果则则.)()(0附附近近有有较较高高的的接接近近程程度度在在与与xxfxPn，假设假设)()(0)(0)(xfxpkkn ), 2 , 1 , 0(nk nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 ),(00 xfa ),(101xfa ),(! 202xfa ,. )(!0)(xfannn !)(0)(kxfakk ), 1

35、, 0(nk nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 惟惟一一确确定定！完完全全由由)()(xfxPn.)()(0次次泰泰勒勒多多项项式式的的在在称称为为函函数数nxxfxPn定理定理1 1）（泰泰勒勒中中值值定定理理)()(0 xUxf在在若若函函数数，有有阶阶的的导导数数，则则具具有有直直到到)(10 xUxn 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn ）（ 1拉格朗日型余项拉格朗日型余项10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其其中中)(0之之间间与与介介于

36、于xx ）（ 1点点带带有有在在式式称称为为0)(xxf.泰泰勒勒公公式式拉格朗日型余项拉格朗日型余项的的证明略证明略有有时时特特别别，当当,00 x)10()!1()(!)0()(1)1(0)( nnknkkxnxfxkfxf称称为为带带有有拉格朗日型余项拉格朗日型余项的的马克劳林公式马克劳林公式 . .注意注意: :即即时时）中中，当当在在（,01 n)()()(00 xxfxfxf )(0之之间间与与在在xx 也也称称为为含含有有高高阶阶导导数数的的泰泰勒勒公公式式）（ 1.推推广广了了的的微微分分中中值值定定理理马克劳林马克劳林( Maclaurin,1698-1746( Maclau

37、rin,1698-1746，英国，英国 ) )，如如果果对对某某一一个个固固定定的的 n, 0 M10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn. 0)()(lim0 nnnxxxR.)()()1(0MxfxUxn 有有则则阶阶泰泰勒勒公公式式可可写写为为：表表达达式式时时，在在不不需需要要余余项项的的精精确确n. )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf .泰泰勒勒公公式式皮亚诺（皮亚诺（Peano,1858-1932,Peano,1858-1932,意大利）意大利）称称为为带带有有型余项型余项的的有有时时当当特特别别，,00 x.)(!)

38、0()(0)(nknkkxoxkfxf 马克劳林公式马克劳林公式 . .称称为为带带有有皮亚诺型皮亚诺型 余项余项的的解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe.cos)(2阶阶马马克克劳劳林林公公式式的的求求函函数数例例nxxf )2cos()0(),2cos()()()( nfnxxfnn , 1)0(,0)0(, 1)0(,0)0()4( ffff) 10()!22()222cos()!2() 1(! 4! 21cos22242 nnn

39、xnnxnxxxx)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx 解解 常用函数的马克劳林公式常用函数的马克劳林公式);(!212nnxxonxxxe ;)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx;)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx )1()1ln(nx1)1(!)1( nnxn;)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 马克劳林公式马克劳林公式 . .带带有有皮亚诺型皮亚诺型 余项余项 的的带带有有拉格朗日型余项拉格朗日型余项的的 马克劳林公式马克劳林公式 . . nkkkkxx11)1()1ln(.)1)(

40、1()1(11 nnnnx )0(之之间间与与介介于于x 2!2)1(1)1(xxx ;)(!)1()1(nnxoxnn )(R 2111xxx . )(nnxox 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(tan xf 0)(tan xf abBA 为为锐锐角角 为为钝钝角角 单单调调递递增增)(xf单单调调递递减减)(xf定理定理1 1，内内可可导导连连续续，在在在在若若),(,)(babax

41、f，若若0)(),()1( xfbax则则;,)(上严格单调递增在baxf，若若0)(),()2( xfbax则则;,)(上严格单调递减在baxf0)(),()3( xfbax，若若;,)(上单调递增在baxf0)(),()4( xfbax，若若.,)(上单调递减在baxf证明略证明略注意：注意：的的逆逆命命题题不不成成立立，、 )2()1(例例如如，,),()(3上上单单调调递递增增在在 xxf.0)0( f但但仅仅是是函函数数单单调调递递增增导导数数大大于于（或或小小于于）零零.并并非非必必要要条条件件（或或减减）的的充充分分条条件件，即即定理定理2 2，内内可可导导连连续续，在在在在若若

42、),(,)(babaxf上严格单调递增（减）在则,)(baxf 0)(),( xfbax) i ()ii(.0)(),( xfba内内的的任任何何子子区区间间上上在在,0)(）（ xf或或无无穷穷多多个个驻驻点点，内内有有有有限限个个在在函函数数这这说说明明),()(:baxf但但只只要要这这些些驻驻点点不不充充满满的的任任何何子子区区间间，),(ba即即只只要要这这些些驻驻点点仅仅是是孤孤立立的的点点，.则则不不会会影影响响其其单单调调性性定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.利用导数求

43、函数单调区间的一般步骤：利用导数求函数单调区间的一般步骤：的的定定义义域域；确确定定)(.1xf确确定定可可能能的的分分界界点点：求求,)(.2xf ；驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的点点个个开开区区间间；定定义义域域分分成成若若干干用用可可能能的的分分界界点点把把函函数数.3.)()(.4的的单单调调区区间间确确定定，便便可可在在每每个个开开区区间间内内的的符符号号判判断断xfxf 例例1 1解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx单调递增区间为：单调递

44、增区间为：， 1 ,(. 2 , 1 );, 2 00)1 ,()(xf )2 , 1()(xf), 2(x12列表讨论：列表讨论：单调递减区间为：单调递减区间为：3129223 xxxy例例2 2解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf,0 时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf.), 0)(上上单单调调递递增增在在 xf时时，当当 x0, 0)( xf上上单单调调递递减减；在在0 ,()( xf32xy .导导数数不不存存在在：不不等等式式的的单单调调性性可可以以证证明明有有关关利利用用函函数数,)()(,xgxfax 时时

45、通通常常要要证证明明：当当,0)()()( xgxfxF往往往往改改作作证证明明：,0)( aF如如果果,)(0)(axxF 就就先先证证：.0)()( aFxF由由此此断断定定，的的符符号号不不易易确确定定如如果果)(xF ：可可以以试试探探？是是否否成成立立0)( xF例例3 3.)1ln(,0 xxx 有有证明：证明：, )1ln()(xxxF 令令xxxF 1)(, )0( x上上单单调调递递增增，在在), 0)( xF, 0)0( F时，时，当当0 x, 0)0()( FxF,0)1ln( xx即即证证0 . )1ln(, 0 xxx 有有亦即亦即例例4 4.)1ln()1(1,0

46、xxexx 有有证明：证明：),1ln()1(1)(xxexFx 令令证证, 0)0( F),0()1ln(1)( xxexFx, 0)0( FxexFx 11)(, 1, 0( xex)111 x而而,0 上上单单调调递递增增，在在), 0)( xF时，时，当当0 x, 0)0()( FxF上上单单调调递递增增，在在这这又又说说明明), 0)( xF，0 x, 0)0()( FxF.)1ln()1(1, 0 xxexx 有有即即问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy

47、1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义,)(上上连连续续在在设设baxf, ,21baxx 若若恒恒有有,2)()()2(2121xfxfxxf 的的，上上是是在在则则称称,)(baxf向向上上凸凸；简简称称上上凸凸当当等等号号不不成成立立时时，.,)(的的上上是是在在称称baxf严严格格上上凸凸)(xfy 1x2xxyo)(1xf.)(2xf221xx .)2(21xxf 2)()(21xfxf 几何意义几何意义: :上凸函数上凸函数曲线弧在曲线弧在的图形的图形:弦的上方弦的上方 .,)(上上连连续续在在设设baxf, ,21baxx 若若恒恒有有

48、,2)()()2(2121xfxfxxf 的的，上上是是在在则则称称,)(baxf向向下下凸凸当当等等号号不不成成立立时时，.,)(的的上上是是在在称称baxf严严格格下下凸凸)(xfy 1x2xxyo)(1xf.)(2xf221xx .)2(21xxf 2)()(21xfxf 几何意义几何意义: :下凸函数下凸函数曲线弧在曲线弧在的图形的图形:弦的下方弦的下方 .；或或简简称称下下凸凸凹凹,),()(可可导导在在若若baxf曲曲线线则则),(0bax .)(,()(00处处有有切切线线在在点点xfxxfy xyo0 x0 x,)(的的下下方方在在整整个个曲曲线线xfy 切切线线上上凸凸，)(

49、xf)(xfy )(xfy ,)(的的上上方方在在整整个个曲曲线线xfy 切切线线,)(下下凸凸xf既既可可以以看看成成上上线线性性函函数数baxxf )(,函函数数凸凸函函数数又又可可以以看看成成下下凸凸因因为为对对它它而而言言，中中的的等等号号总总是是成成立立的的！定定义义定理定理 1 1),(,),(,)(baxbabaxf 内内具具有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数上上连连续续，在在在在如如果果,0)()1( xf,0)()2( xf.,)(是是下下凸凸函函数数在在则则baxf;,)(是是上上凸凸函函数数在在则则baxf证明略证明略例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解

50、,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y时，时，当当0 x, 0 y的的；凹凹为为下下凸凸在在曲曲线线)(), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线凸凸性性区区间间的的分分界界点点注意注意:3xy o为为上上凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 定义定义 2在在其其上上一一点点如如果果曲曲线线)(xfy ,)(,(00的的两两侧侧有有不不同同的的凸凸性性xfxM则则称称.)()(,(00的的为为曲曲线线点点xfyxfxM 拐拐点点注意注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2. 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法定理定理 2 2,),()(0内内二二阶阶可可

51、导导在在如如果果 xUxf的的的的拐拐点点是是曲曲线线则则点点)()(,(00 xfyxfx .0)(0 xf必必要要条条件件是是证明略证明略.2 的的逆逆命命题题不不成成立立定定理理,)(4xxf 例如：例如：,4)(3xxf ,12)(2xxf ，0)0( f.)()0 , 0(4的的拐拐点点不不是是但但xxf 4xy o.)(点点不不存存在在的的点点也也可可能能是是拐拐当当然然xf ,)(3xxf 例例如如：,92)(,31)(3532 xxfxxf,0)(无无解解 xf, 0)(0 xfx时时，但但当当, 0)(0 xfx时时，当当.)()0 , 0(3的的拐拐点点是是即即xxf 3x

52、y o,)0(不不存存在在f , f, f:)(0 xxfy的的可可能能拐拐点点的的横横坐坐标标曲曲线线 .)(0)(00不不存存在在或或xfxf 方法方法1:1:不不存存在在，或或且且内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数)(0)(,)()(0000 xfxfxUxf ,)()1(0变变号号两两近近旁旁若若xfx ;)()(,(00的的拐拐点点是是曲曲线线则则点点xfyxfx ,)()2(0不不变变号号两两近近旁旁若若xfx .)()(,(00的的拐拐点点不不是是曲曲线线则则点点xfyxfx 例例2 2.)1()(32的的凸凸性性及及拐拐点点讨讨论论xxxf 解解)0( x，令令0)( xf,

53、51 x得得不不存存在在，)0(f 343192910)( xxxf349)15(2xx )0( x31323235 xx3132)1(32)( xxxxf349)15(2)(xxxf x)51,( ), 0( )0 ,51( 51 0)(xf )(xf 0不不存存在在非拐点非拐点)25156,51(3 拐拐点点列表讨论：列表讨论：.xyo151 .32)1(xxy .方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的的拐拐点点曲曲线线是是则则而而且且的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导在在若若xfyxfxxfxfxxf 证证000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0)(l

54、im0 xxxfxx ),(0 xUo 由由极极限限的的局局部部保保号号性性，.)()(00同同号号与与使使得得xfxxxf , 0)(0 xf不妨设不妨设, 000 xxxx0)( xf,)( xf, 000 xxxx0)( xf.)( xf.)()(,(00的的拐拐点点是是曲曲线线xfyxfx 证毕证毕例例3 3.2 , 0cossin内的拐点内的拐点在在求曲线求曲线 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为：内曲线有拐点为：在在2 , 0 . )0,47(),0,

55、43( .472 x.)0,43( )0,47( xxycossin )()(0 xfxf )()()()()(000 xfxfxUxxUxfo 内内有有定定义义，若若在在设设函函数数极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值，极大值点与极小值点，极大值点与极小值点)( 小小)( 小小0 x0 x统称为统称为极值点极值点 .定义定义oxy)(xfy ，值值点点取取得得极极大大在在则则称称函函数数)()(00 xfxxf.)(0值值点点的的极极大大称称为为xfx)()(定理定理1 1 ( (可导函数取得极值的必要条件可导函数取得极值的必要条件) )由由费费尔尔马马定定理理，点点可可导导且且

56、取取得得极极值值在在若若函函数数0)(xxf，则则0)(0 xf.)(0的的驻驻点点是是即即xfx注意：注意：.极极值值点点函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是例如例如,)(3xxf , 0)0( f.0 不不是是极极值值点点但但 x3xy xyo.在在的的点点可可能能取取得得极极值值此此外外，函函数数在在导导数数不不存存,)(xxf 例如例如,不不存存在在，)0(f .0 点点取取得得极极小小值值但但函函数数在在 xxyoxy 函数的可能极值点：函数的可能极值点：驻点或导数不存在的点驻点或导数不存在的点 .结结 论论定理定理2 2( (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )，连连续续

57、在在设设0)(xxf，可可导导在在),(0 xU,)(0)(00不不存存在在或或xfxf )()1xf若若，当当),(00 xxx 0 ，当当),(00 xxx0 ;)()(00 xfxxf值值点点有有极极大大在在则则),0( ),0( )( 小小,),()()20不不变变号号在在若若 xUxf 0)(xxf在在则则.点点没没有有极极值值xyoxyo0 x0 x , 0)(0 xf两两侧侧的的符符号号不不同同，在在0)(xxf . )()(00 xfxxf点点有有极极值值在在)(0 xf ,不不存存在在xyo0 x xyo0 x xyoxyo0 x0 x , 0)(0 xf )(0 xf,不不

58、存存在在3)()(0 xxxf 两两侧侧的的符符号号不不变变，在在0)(xxf .)(0点点没没有有极极值值在在 xxfxyo0 x 证证,0)(,),()1(00 xfxxx ,)(00单单调调递递增增在在xxxf ;)()(),(000 xfxfxxx ,0)(),(00 xfxxx 又又,)(00单单调调递递减减在在 xxxf;)()(),(000 xfxfxxx .)()(),(00 xfxfxUx 故故.)()(00 xfxxf点点取取得得极极大大值值在在即即.)2(同理可证同理可证证毕证毕例例1 1.)1()(32的极值的极值求出函数求出函数xxxf 解解,),( 函函数数的的定定

59、义义域域为为3132)1(32)( xxxxf31325xx )0( x，令令0)( xf,52 x得驻点得驻点列表讨论：列表讨论：不不存存在在，)0(f x)0 ,( ),52( )52, 0(052)(xf )(xf 不不存存在在0极极小小值值0极极大大值值325453 .xyo152.32)1(xxy 定理定理3 3 ( (第二充分条件第二充分条件) ),)(0二二阶阶可可导导在在设设xxf，0)(0 xf0)(0 xf若若.)()(00 xfxxf值值点点取取得得极极大大在在则则,)0( )( 小小证证，已已知知0)(0 xf，0)(0 xf由由导导数数定定义义，000)()(lim)

60、(0 xxxfxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx ,0 根根据据极极限限的的保保号号性性，),(,00 xUx .0)(0 xxxf有有,0)(0 xf且且,0时时当当xx ,0)( xf时时，当当0 xx ,0)( xf，根根据据定定理理 2.)()(00 xfxxf点点取取得得极极大大值值在在.0)(0的的情情形形同同理理可可证证 xf证毕证毕例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4(4)( fxxf取得极大