排列组合古典概型—复习归纳

1、1已知某运动员每次投篮命中的概率都为 投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次0到 9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A0.35B0.25C 0.200.15解析：20 组随机数中恰有 2 个大于等于 1且小于等

2、于 4 的共有 191、271、932、812、3935五组，其概率为 250 0.25.2(2010 北·京高考 )从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从 1,2,3中随机选取一个数为 b， 则 b>a 的概率是 ( )解析：43A.45B.3521C.25D.15分别从两个集合中各取一个数， 共有 15 种取法， 其中满足 b>a的有 3种取法， 故所31 求事件的概率为 P135 51.3先后抛掷两枚均匀的骰子 ( 骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6) ，骰子落地后朝上的点数分别为x， y，则 log2xy 1 的概率为(

3、)解析：15A.16B.35611C.12D.2抛掷 2 枚骰子，共有 6×636 种情况，因为 log2xy1，所以 y 2x，此时满足题意31 的数对 (x，y)共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率 P 3 1.36 124(2010 ·江苏高考 )盒子里共有大小相同的 3只白球， 1只黑球若从中随机摸出两只球， 则它们颜色不同的概率是 解析： 设 3 只白球为 A，B，C,1 只黑球为 d，则从中随机摸出两只球的情形有： AB，AC，1 Ad，BC，Bd，Cd共 6种，其中两只球颜色不同的有 3种，故所求概率为 21基本事件的特点(1) 任何两个基

4、本事件是的(2) 任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型 试验中所有可能出现的基本事件 .5. 学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同 一个食堂用餐的概率为 解析： 每人用餐有两种情况，故共有 2一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件 A 包含的结果有 m个，那么事件 A的概率为 P(A) . 8 种情况他们在同一食堂用餐有 2 种情况，故他21们在同一食堂用餐的概率为 每个基本事件出现的可能性 3古典概型的概率公式814.考点一简单古典概型的

5、概率有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用 (x，y)表示结果，其中 x表示第 1颗正四面体玩具出现的点数， y 表 示第 2 颗正四面体玩具出现的点数(1) 写出试验的基本事件；(2) 求事件“出现点数之和大于 3”的概率；(3) 求事件“出现点数相等”的概率自主解答 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)， (2,3)，(2,4)，(3,1) ，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共 16个(2)事件“出现点数之和大于 3”包

6、含以下 13 个基本事件： (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1) ，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)故 P 1163.(3)事件 “出现点数相等 ”包含以下 4个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故 P164. 某口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球， 2只黑球，从中一次摸出 2 只球(1) 共有多少个基本事件？(2) 摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？解： (1)分别记白球为 1,2,3号，黑球为 4,5号，从中摸出 2 只球，有如下基本事件 摸到 1,2 号球用 (1

7、,2)表示 ：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5) 因此，共有 10 个基本事件考点二复杂的古典概型(2011 ·苏北四市联考 )如图， 在某城市中， M，N两地之间有整齐的方格形道路网， 其中 A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4 个交汇处今在道路网 M，N处的甲、乙两人分别要到 N， M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同 时出发，直到到达 N， M处为止(1) 求甲经过 A2到达 N 处的方法有多少种；(2) 求甲、乙两人在 A2 处相遇的概率；(3) 求甲、乙

8、两人相遇的概率自主解答 (1)甲经过 A2，可分为两步：第一步，甲从 M 到 A2 的方法有 C13种；第二步，甲从 A2 到 N 的方法有 C13种所以甲经过 A2到达 N 处的方法有 (C31)2 9种(2)由(1)知，甲经过 A2 的方法数为 9；乙经过 A2的方法数也为 9.所以甲、乙两人在 A2 处相遇的方法数为 9×981；81 81甲、乙两人在 A 2处相遇的概率为 C83C1 348010.(3) 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4 处相遇，他们在 Ai(i1,2,3,4)处相遇的走法有 (Ci31)4 种方法，所以 (C30)4(C13)4(C

9、32)4(C33)4164，故甲、乙两人相遇的概率为16440041100.某车间甲组有 10名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10名工人，其中有 6名女工人现 采用分层抽样方法 (层内采用不放回简单随机抽样 )从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术 考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； (3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率解： (1)由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取2 名工人C4C6 8（2）记 A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1 名

10、女工人，则 P（A） C4120615 （3）Ai表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i名男工人， i 0,1,2.Bj表示事件：从乙组抽取的 2名工人中恰有 j 名男工人， j0,1,2.B 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人Ai与Bj独立，i，j0,1,2，且 BA0·B2A1·B1A2·B0. 故 P(B)P(A0·B2A· B1A2· B0)P(A0) ·P(B2) P(A1) ·P(B1) P(A2) ·P(B0)21 1 1 1 2 2C4C4C6C6C4C6C631C12

11、0 C120 · C210 C210· C21075现有 8名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语， B1、B2、B3 通晓俄语， C1、 C2 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组（1） 求 A1 被选中的概率；（2） 求 B1 和 C1 不全被选中的概率解：从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1 名，其所有可能的结果组成的基本事件空间（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1）（A1 ， B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，

12、B2，C1） ，（A2，B2，C2），（A2，B3，C1） ， （A2，B3，C2），（A3， B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3， B3，C1），（A3，B3，C2）由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽 取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的（1）用 M 表示“A1恰被选中 ”这一事件，则 M（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，61因而 P（M） 16813.（2） 用 N 表示“ B1、 C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“ B1、C1全被选中”这一事件，由 N （A1，B1，C1），（

13、A2，B1，C1），（A3，B1，C1），事件 N 有 3 个基本事件 31组成，所以 P（ N ） 13816.15（3） 由对立事件的概率公式 P（N） 1P（ N ） 1 15.66考点三古典概型与统计的综合问题（2010 ·湖南高考 ） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表 （单位：人 ）.高校相关人数抽取人数A18xB362C54y（1） 求 x， y；（2） 若从高校 B，C抽取的人中选 2 人作专题发言，求这 2 人都来自高校 C的概率自主解答 （1）由题意可得， 1x8326 5y4，所以 x1，

14、y3.（2）记从高校 B抽取的 2人为 b1，b2，从高校 C抽取的 3人为 c1，c2，c3，则从高校 B，C 抽 取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 （b1， b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1）， （b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共 10 种设选中的 2人都来自高校 C的事件为 X，则 X 包含的基本事件有 （c1，c2），（c1，c3），（c2，c3） 共 3 种因此 P（X） 130.故选中的 2人都来自高校 C的概率为 3 .10某高级中学共有学生 2000 人，各年级男、女生人数如下表：年

15、级性别高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在高三 年级抽取多少人？(2)已知 y245，z 245，求高三年级女生比男生多的概率x解： (1) 0.19，x 380，2000高三年级人数为 y z 2000 (373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽48取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为2高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，20

16、10 年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向0(2)记“使得 am(ambn)成立的 (m，n)”为事件 A，求事件 A 发生的概率00× 500 12.(2)设“高三年级女生比男生多 ”为事件 A，高三年级女生、男生数记为 (y，z)由 (1)知 yz 500，且 y， zN * ，则基本事件空间包含的基本事件有(245,255) ， (246,254)， (247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)， (253,247)，(254,246)，(255,245)，共 11 个，事件

17、 A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共 5 个，55P(A) 1考题印证 (2010·福建高考 )(12 分)设平面向量 am (m,1) ， bn (2， n)，其中 m，n 1,2,3,4 (1)请列出有序数组 (m， n)的所有可能结果；1.故高三年级女生比男生多的概率为151.规范解答 (1)有序数组 (m， n)的所有可能结果为：(1,1) ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4

18、,2)， (4,3) ，(4,4)，共 16 个(6 分)(2)由 am(am bn)得 m1求古典概型概率的步骤 分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m.(2)利用公式 P(A) mn求出事件 A 的概率2有放回抽样和无放回抽样的概率 在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有 n 个不同的球，现从中依 次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法(1) 有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸 球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽 样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去 无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的

19、球中再摸一 只，这种摸球方法称为无放回的抽样显然，对于无放 回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进 行有限次2m1n0，即 n(m 1)2.(8 分) 由于 m，n1,2,3,4，故事件 A 包含的基本事件为 (2,1)和(3,4)，共 2 个又基本事件的总数21为 16，故所求的概率为 P(A) 126 81.(12 分)1(2011·黄冈模拟 )设集合 Pb,1 ，Qc,1,2，PüQ，若 b，c2,3,4,5,6,7,8,9，则bc 的概率是A.B.14C.12解析： 依题意得当 b 2时， c可从 3,4,5,6,7,8,9中选取，此时 bc；当 b从3,

20、4,5,6,7,8,9 中选取时，有 b c.因此，bc 的概率为7771.2.232(2011· 银川模拟 )将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和 n，则函数 y3mx3nx 1 在 1， )上为增函数的概率是( )解析：15A. B.2632C.4 D.32由题可知，函数 y3mx3nx1 在1， )上单调递增，所以 y2mx2n03在1，)上恒成立， 所以 2mn，则不满足条件的 (m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，23(2,6)共 6种情况，所以满足条件的共有30 种情况，则函数 y23mx3nx1在1，)上单调递增的概率为 336

21、0 56.3 (2010·安徽高考 )甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形 四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 (4.18.3 .18解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线， 乙也从该正方形的四个顶点中任6×6意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有 2 18(对) ，而相互垂直的有 5 对，故根据古 典概型概率公式得 P 18.4(2010 ·辽宁高考 )三张卡片上分别写上字母 E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰 好排成英文单词 BEE的概率为 解析：基本事件总数为 6，所含基本事件个数为

22、 2，所以所求的概率是 P2 1.635一笼里有 3 只白兔和 2 只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则 先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是 解析：法一： 设 3 只白免分别为 b1，b2，b3,2 只灰兔分别为 h1，h2.则所有可能的情况是 (b1， h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2， b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共 20种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有12 种，所求概率为12203.5.法二： 从笼子中跑出两只兔