大学物理第9章习题课选讲例题

1、例例 在静电场中，下列说法中正确的是在静电场中，下列说法中正确的是 （a）带正电荷的导体其电势一定是正值带正电荷的导体其电势一定是正值 （b）等势面上各点的场强一定相等等势面上各点的场强一定相等 （c）场强为零处电势也一定为零场强为零处电势也一定为零 （d）场强相等处电势不一定相等场强相等处电势不一定相等 例例 在点电荷在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中的电场中，如果取图中p点处点处为电势零点，则为电势零点，则 m点的电势为点的电势为 q2pmaaaq02aq04aq08aq04（a） （b）（c） （d）例例 一球壳半径为一球壳半径为 r ，带电量带电量 q ，在离球心在离球心 o 为为

2、 r （r r）处一点的电势为（设处一点的电势为（设“无限远无限远”处为电势零点）处为电势零点） （a） 0 （b） （c） （d） rq04rq04rq04abbaeeabvvpbpaee0w例例 某电场的电力线分布如图，一负电荷从某电场的电力线分布如图，一负电荷从 a 点移至点移至 b 点，则正确的说法为点，则正确的说法为（a）电场强度的大小电场强度的大小 （b）电势电势（c）电势能电势能（d）电场力作的功电场力作的功 例例 有一有一边长为边长为 的正方形平面，其中垂线上距的正方形平面，其中垂线上距正方形中心正方形中心 点为点为 处有一电量为处有一电量为 的正点电荷的正点电荷, ,则则通过

3、该正方形平面的电通量为：（通过该正方形平面的电通量为：（ ）aoq2a(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)064q06q03q06qoq2aqa0qsdes(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)rqq004rqq002rqq008rqq0043qr2rq30q 例例 在真空中半径分别为在真空中半径分别为 和和 的两个同心球面，的两个同心球面， 其上分别均匀地带有电量其上分别均匀地带有电量 和和 . .今将一电量为今将一电量为 的带电粒子从内球面处由静止释放，则粒子到达球面时的带电粒子从内球面处由静止释放，则粒子到达球面时 的动能为：（）的动能为：（）r0qqq3r2 例例

4、 有有 个电荷均为个电荷均为 的点电荷，以两种方式分布的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种时无规则地分布，另一种是在相同半径的圆周上：一种时无规则地分布，另一种是均匀分布均匀分布. .比较这两种情况下在过圆心比较这两种情况下在过圆心 并垂直于平面并垂直于平面的的 轴上任一点轴上任一点 （如图所示）的场强与电势（如图所示）的场强与电势, ,则有（）则有（）onqz(1)(1)场强相等，电势相等场强相等，电势相等. .(2)(2)场强不等，电势不等场强不等，电势不等. .(3)(3)场强分量场强分量 相等，电势相等相等，电势相等. .(4)(4)场强分量场强分量 相等，电势不等相等，电

5、势不等. .pzezepzoyx 例例 在真空中，在真空中， 、 两板相距两板相距 ，面积都为，面积都为 （平（平板的尺寸远大于两板间距），板的尺寸远大于两板间距）， 、 两板各带两板各带 、 . . 则两板间的相互作用力为：（则两板间的相互作用力为：（ ）abds(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2024dqsq02sq022sq022abqq例例 一封闭高斯面内有两个点电荷，电量为一封闭高斯面内有两个点电荷，电量为 +q 和和 q，封闭面外也有一带电封闭面外也有一带电 q 的点电荷（如图），则下的点电荷（如图），则下述正确的是述正确的是 （a）高斯面上场强处处为零高斯面上场强

6、处处为零 （b）对封闭曲面有对封闭曲面有 （c）对封闭曲面有对封闭曲面有 （d）高斯面上场强不为零，但仅与面内电荷有关高斯面上场强不为零，但仅与面内电荷有关qqq0dsse0dsse解解n101 . 8 416220erefn107 . 347-2pegrmmgf 例例 在氢原子内在氢原子内, ,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 . . 求它们之间电相互作用和万有引力求它们之间电相互作用和万有引力, ,并比较它们的大小并比较它们的大小. .m103 . 511kg101 . 931emkg1067. 127pm2211kgmn1067. 6gc106 . 119e39ge1027.2ff（

7、微观领域中（微观领域中, ,万有引力比库仑力小得多万有引力比库仑力小得多, ,可可忽略忽略不计不计. .）0 xy例例 求均匀带电直线中垂面上求均匀带电直线中垂面上 的场强的场强.已知已知 求求 p 的场强的场强2 , l q解解2200ddd44qxerrdd sinxeedd cosyee由对称性由对称性= d0 xxee d2d2d cosyeee/2qlprdedxedyedxdx20d cos/2xrd2d2d cosyeee20d cos/2xr002dyyeeep0 xyrdedxedyedxdx0cos/yr tanxydsecdxy 2siny002/lyly22020002

8、dcosye/ qyyl2204讨论讨论 1）直线无限长）直线无限长/ ,02/ ey022）若）若 p 远离直线远离直线, ly / eqy204 这是点电荷场强公式，可见点电荷概念只有这是点电荷场强公式，可见点电荷概念只有相对意义相对意义.p0 xyrdedxedyedxdx0/lyly2202eax 1 2odex xdxrdey202044rdxrdqde)cos(dedex)sin( dedey204cosrdx204sinrdxctg )-ctg( aaxdadx2csccsc)sin(aarax 1 2odex xdxrdey204cosrdxdex204sinrdxdey120

9、0sinsin44cos21adaex2100coscos44sin21adaey0 xeaeey02半径为半径为r的半圆环均匀带有电量的半圆环均匀带有电量q，求圆心处的电场强求圆心处的电场强度。度。 d =rd dqedxde解：（解：（1）如图所示，建立坐标系；）如图所示，建立坐标系；（2）dq产生的电场产生的电场x 轴分量为：轴分量为：202020444rdqsinrdrqsinsinrdqdex（3）积分，有：）积分，有：irq)cos(ri qdsinrqie20202020202244rlrqu000 4d 4dd 例例 真空中，有一均匀带电细环，电荷线密度为真空中，有一均匀带电细

10、环，电荷线密度为 ，求圆心处的电场强度求圆心处的电场强度 和电势和电势 .( .(无穷远处电势为零）无穷远处电势为零）0u0e+rldlqdd解：解：00errlrqu20000 4d 4d0022 4rr在真空中，两个带等值同号的点电荷在真空中，两个带等值同号的点电荷相距相距 0.01m时的作用力为时的作用力为 10-5 n,它们柏距它们柏距0.1m时的作用力多大？两点电荷所带的电荷时的作用力多大？两点电荷所带的电荷量是多少？量是多少？已知已知:r1=0.01m, r2=0.1m f1=10-5 n求求: (1) f2 ; (2) q2qr240f2=20.01=()()f2f1r21r22

11、0.122=0.01=()()f20.12210-510-7n2qr240f1=1解解: (1)2q40f21()0.12=10-7=(2)q =3.310-10c解出解出在正方形的两个相对的角上各放置在正方形的两个相对的角上各放置一点电荷一点电荷q，在其他两个相对角上各置一点在其他两个相对角上各置一点电荷电荷q 。如果作用在如果作用在q上的力为零。求上的力为零。求q与与q 的关系。的关系。已知：已知：q, q, fqq=0求：求：q , q 解：设边长为解：设边长为 a=q40a2qq cos45402a22q=22q.aqqaqqqqqqff试求边长为试求边长为 l 的正方形中心处的电场的

12、正方形中心处的电场强度，若强度，若 （1）四个相同的同号点电荷四个相同的同号点电荷 q 放置在四放置在四个顶点上；个顶点上； （2）两个正号、两个负号的相同点电荷）两个正号、两个负号的相同点电荷任意放置在四个顶点上。任意放置在四个顶点上。qqqq已知已知:一正方形一正方形,边长为边长为 a求求: e0解解: (1)四个点电荷在四个点电荷在o产生场强大小相等方产生场强大小相等方 向相反向相反=e00(2)若正负相间放置若正负相间放置=e00(3)若如图所示放置若如图所示放置=+eaceaec40=()222aq2=0a2q-qq-qqadcbeaceoebd同理同理=+ebdebed0a2q2+

13、eacebd2=eo=0a2q2一半径为一半径为 r 的半球面均匀带电，的半球面均匀带电，电荷面密度为电荷面密度为s 。求球心处的电场强度。求球心处的电场强度。 123x240ed=+dq()y2xe=q4023x2+()y2x2sinrd=dqrx= rcosy=sinr40ed=r32sinrd3cos0e=20sindcos2=40已知已知：r , 求求：eo解：均匀带电圆解：均匀带电圆 环的场强为环的场强为droxy用很细的不导电的塑料棒弯成半径用很细的不导电的塑料棒弯成半径为为50cm的圆弧，两端空隙为的圆弧，两端空隙为2cm，电荷量电荷量为为3.1210-9c的正电荷均匀分布在细棒

14、上。的正电荷均匀分布在细棒上。求圆心处场强的大小和方向。求圆心处场强的大小和方向。 rd=2 3.1450-2=312cm=3.12mrld=23.12q= l3.1210-91.010-9 c=q= d1.010-92.010-2=2.010-11 cqr240=eo=()9.01092.010-115.010-22=0.72 v/m方向由圆心指向缺口方向由圆心指向缺口解：运用补偿法。圆心处的场强等于缺口段解：运用补偿法。圆心处的场强等于缺口段 负电荷所产生的场强。负电荷所产生的场强。d r 缺口段的电荷可以看作为点电荷。缺口段的电荷可以看作为点电荷。在半径r1 ，体电荷密度 的均匀带电球体

15、内挖去一个半径r2的球形空腔。空腔中心o2与带电球体中心o1 相距为a (r2+ a ) r1, 求空腔内任一点电场 。思考：(1) 选用何种方法求解？挖去空腔 失去球对称性,能否恢复对称性？补偿法！所求场强 而 、 均可由高斯定理求出。21eeep1e2e半径 r 1均匀带电实心球体在p点的场强： 半径 r 2均匀带电实心球体在p点的场强： 2e1e1o1r2oa2rp1r1e2e2r (2) 作高斯面 求 .21 , ss21 , ee0113re3102113414rre3202223414rre0223re0210213)(3arreeep1o1r2oa2re腔内为平行于 的均匀电场！

16、aoo211o1r2oa2rp1r1e2e2r1s2s 有宽度为有宽度为a的的直长均匀带电薄板，沿直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为长度方向单位长度的带电量为 ， 试求：与试求：与板的边缘距离为板的边缘距离为b的的一点一点p 处的电场强度。处的电场强度。apb.re20=dedr20=apb.drra=ddrr20=adreddr20=ed=ea20=rdraa+b=a20lnba+b解：解：有一半径为有一半径为 a 的非均匀带电的半的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为圆环，电荷线密度为 = 0cos 。 试求：圆心处试求：圆心处 o 点的电场强度。点的电场强度。ayxo dqr24

17、0ed=r= 0cosddq=dlr240=r 0cosdexex= dcos=edr240rd2cos00=r40d2cos00=+2sin2410r400=r800=ryxo dde+dl = 0cos解：解：eyey= dsin=edr402sin0=20=0r240rdcos00=sin有一半球面，半径为有一半球面，半径为r，面上均面上均匀带电，电荷面密度为匀带电，电荷面密度为 ， 尺寸如图所示。尺寸如图所示。求球心处求球心处o点的电场强度。点的电场强度。 roex2q40+=()a2 2 3xdex2q40+=()a2 2 3xd解：解：qd=rd2lcosx=sinra=cosr2

18、40+=()22 3rd2lsincosr.sinrcosr222=sin cosrrd.20sin cosde=2040=ddxxra+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 例例6 无限大均匀带电平面的电场强度无限大均匀带电平面的电场强度s 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度

19、. .r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02se对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面e解解0dssses底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + seesss20sse 02seeseesexeo)0(sss00s0sss0s00讨讨 论论无无限限大大带带电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题10.10 设匀强电场的电场强度e与半径为r的半球面的对称轴平行，求通过此半球面

20、的电通量。 r e 解题思路：方法1：由电场强度通量的定义，对半球面s求积分方法2：或作半径为r的平面与半球面s一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 解：电场线在无电荷处不中断，通过该半球面的电通量与通过圆面的电通量一样，由电场强度通量的定义，对半球面s求积分2eresesdedsse r e ss例例 已知已知 a、b、c 三点距点电荷三点距点电荷 的距离分别的距离分别为为 l、2l、3l，若选若选 b 点电势为零，求点电势为零，求 a、c 点电势点电势.qbv 0解解220d4lalq rvr0011()428qqlll2203d4lclq rvr024ql 06acacquvvl*abcqlll例例 如图所示的电场，点电荷如图所示的电场，点电荷 从从 d 点沿弧形路点沿弧形路径径 dco 到达到达 0 点，求电场力所做的功点，求电场力所做的功.0q解解00v004(3 )4dqqvll06ql )(0000ddvqvqw00006dqqq ul qq0qa0 bcdlll204qer32304qrr er304qrer例例 求均匀带电球体的电场分布求均匀带电球体的电场分布.+r+ +rr0re204qrr0rr1）rr2）解解30330334/34rqrrrqsdes024qersdes+r例例 求无限长均匀带