[精品]解排列组合问题的十五种常用策略与方法

1、解排列组合问题的十五种常用策略与方法解排列组合问题的十五种常用策略与方法排列，组合是高中数学中的一个难点，学生一般都感到这部分 内容独特，思维抽象，题型繁多，并且容易产生由于思维不周而引起 的重复或遗漏错误，而这种错误往往又难以检验。因此，解题时必须 认真审题，明确问题是排列问题还是组合问题，其次要抓住问题的本 质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究 一些基本策略和方法技巧，使一些看似复朵的问题迎刃而解。 下面，是本人执教以来的归纳心得，仅供大家参考。一、特殊元素“优先考虑法”对于含有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。例1用0、1、2、3、4这

2、五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。（） a. 24 b. 30 c. 40 d. 60分析：市于该三位数都是偶数，故末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特 殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：0 排在末尾时，有a42个；0不排在末尾时，有a21a31a31个，由分 类加法计数原理，共有偶数30个。 答案：b 二、特位位置“优先安排法例26名同学站成一排，其中甲、乙两人既不 站排头，也不站排尾有多少种不同的排法？分析：排头和排尾是两个特殊位置，甲、乙两人不能站，那么只能由其余4人中选2人 去站，有a42种方法，其它4个位置由余下的4人去

3、站，有a42种方 法，因此共有方法n二a42a44二288（种）答案：288（种）。三、合理分类，严防重复法 例3写有0、2、4、6、8的5张卡片， 如果允许6作9使用，那么从中抽取3张可组成多少个不同的三位数? 分析：符合条件中的取法可分为四类：（1）选0不选6,由于0不能排首位，则应排在后两位之一，故可组成三位数a21a32=12（个）。（2）选0且选6,则应再选一张卡片，又市于0不能排在首位，且6 可作9使用，故叮组成三位数2c31a21a22=24 （个）。（3）不选0选6,由于6可作9使用，可组成三位数2c32a33=36（个）。 （4）0、6都不选，可组成三位数a33二6 （个）。

4、 因此，符合条件的三 位数共有 n二a21a32+2c31a21a22+2c32a33+a33=78 （个）四、恰当分步，谨防遗漏法 例4从6双不同的手套中任取4只，其中 恰有2只配成一双的取法有多少种？分析：事件可分四步完成（1）从6双中取一双，有c61种方法。（2）从余下的5双中取两双，有c52种方法。（3）从取出的两双中的一双中取一只有c21种方法。（4）从取出的两双中的另一双中取一只有c21种方法。因此共有方法n二c61c52c21c21二240 （种）。 五、相邻问题：捆绑法对于某儿个元素要求相邻的排列问题可先将相邻的元素“捆绑”起來，看作一个“大”的元素与其他元素排列, 然后再对相

5、邻元素内部进行扌非列。例57人站成排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同的排法？分析：先把甲、乙、丙三人“捆绑”起來看作是一个元素，与其余4人共5个元素做 全排列，有a55种排法，而后对甲、乙、丙三人进行全排列，再利用 分步计数原理可得：a55a33种不同排法。答案：a55a33 （种）。六、不相邻问题：插空法对于某儿个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及 两端的空隙z间插入即可。例6在例5中，若要求甲、乙、内三人不和邻，则乂有多少种不同的排法？分析：先让其余4人站好，有a44种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选 三个位置让甲、乙、

6、内插入，则有a53种方法，这样共有a44a53种 不同的排法。 答案：a44a53 （种）。 七、顺序固定问题用“除法”（或机会均等问题用“除法”）对于某个元素顺序一定的排列问题，可先把这儿个元素与其他元素一同进行排列，然后用 总的排列数除以这儿个元素的全排列数。例7五人排队，甲在乙前面的排法有几种？分析：若不考虑限制条件，则有a55种排法，而甲、乙z间排法有a22种，故甲在乙前面的排法只有一种 符合条件，故符合条件的排法有种。答案：（种）。 八、分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例87人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人

7、，则有种排法。分析：7个人，可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可 看作一排来处理，故不同的坐法有a77种。 答案：a77 （种） 九、直接处理难，间接排除法（或称为“总体淘汰法”） 例 9 一条长椅上有7个座位,4人处，要求3个空位中有两个空位相邻， 另一个空位与这两个空位不相邻，有多少种不同的坐法？分析：7个座位4个人去坐有a74种方法，其中不符合题意的处法有两类：（1 ）3个空位相邻,把它们看成大元素，有a55种不同的坐法。（2 ）3个空位彼此不相邻，那么3个空位只能插入由4个人坐一排而形成 的5个空档中的3个，有a44c53种方法。 因此，共有排法 a74-a55-a44c53

8、二480 （种）。十、元素均分组，必须去重法例10把6木不同的书平均分成三堆，每堆两木，有多少种方法？ 分析：若把6本不同的书平均分成甲、乙、内三堆，有c62c42c22种 方法，设把6本不同的书平均分成三堆有x种方法，对于每一种分法， 三堆以甲、乙、丙命名有a33种方法，所以xa33二c62c42c22,因 此，x二二15 （种）。 答案：15 （种）。h、住店法（或“乘方法”）解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”， 能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住 店法”。 例11七名学生争夺五项冠军，获得冠军

9、的可能的种 数有（） a、75 b、57 c、a75 d、c75 分析：因同一学生 可同吋夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘 法原理得75种。答案：a 对此类问题，常有疑惑：为什么不以五项冠军作为五家“店”呢？因为儿个学生不能同吋夺得同一 冠军，即冠军不能重复，则立即使这种疑惑烟消云散。十二、构造模型，化抽象为具体法例15大街上有编号为1、2、15的15盏灯，为了节约用电又不影响照明，可以关掉3盏灯，但不 能同吋关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的灯，有多少种关灯 方法？ 分析：用“1”表示亮灯，用“0”表示熄灯，每一种关 灯方法都对应着12个1和3个0的一个排列，其