应用大地测量学第六章高斯投影及其计算

1、第六章第六章 高斯投影高斯投影及其计算及其计算第六章第六章 高斯投影及其计算概述高斯投影及其计算概述1、椭球面上计算复杂；、椭球面上计算复杂；2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地方位角等对大比例尺测图不适应；方位角等对大比例尺测图不适应；3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影的方法将椭球面上的元素化算到平面上；的方法将椭球面上的元素化算到平面上；4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯平面直角坐标系

2、的方法、观测元素的化算、高斯投影坐标计算投影坐标计算第六章第六章 高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学

3、6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2 正形投影特性正形投影特性6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2 正形投影特性正形投影特性6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测

4、量学 几何投影几何投影又叫透视投影，有中心投影、平行投影、又叫透视投影，有中心投影、平行投影、垂直投影等。特点：有几何意义，有投影函数。垂直投影等。特点：有几何意义，有投影函数。 数学投影数学投影是数学的投影，建立椭球面大地坐标是数学的投影，建立椭球面大地坐标（b b、l l）与投影平面上对应的坐标（）与投影平面上对应的坐标（x x、y y）之间的函数关）之间的函数关系。无几何意义，是一种数学变换。系。无几何意义，是一种数学变换。 x=f1x=f1（b b、l l） y=f2y=f2（b b、l l） （6-16-1） 上式表示椭球面上一点与投影面上对应点之间坐标的上式表示椭球面上一点与投影面

5、上对应点之间坐标的解析关系解析关系，称为，称为坐标投影公式坐标投影公式，函数，函数f1f1、f2f2称为称为投影函数投影函数。 给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。 应用大地测量学应用大地测量学几何投影几何投影-垂直投影垂直投影6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测量学几何投影几何投影-中心投影中心投影6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测量学（二）投影变形（二）投影变形 投影变形不可避免。有投影变形不可避免。有角度角度变形、变形、长度长度变形和变形和面积

6、面积变变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某形三种。根据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形，但长度和面一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形，但长度和面积有变形。积有变形。6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测量学 投影长度比投影长度比投影面上无限小线段投影面上无限小线段 dsds与椭球面上与椭球面上该线段实际长度该线段实际长度 dsds之比，以之比，以m m表示，表示，m=ds/dsm=ds/ds。一般。一般m m与点与点位以及与方向有关。位以及与方向有关。 长度变形长度变形 长度比与长度比与

7、1 1之差。之差。v= m-1v= m-1 v 0 v 0 时，投影后长度将增大，时，投影后长度将增大，v 0v 0时，投影后长时，投影后长度缩短。度缩短。 6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测量学 主方向主方向 若将地球椭球面上过一点点两个互为正交的方向投若将地球椭球面上过一点点两个互为正交的方向投影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组椭球面上正交的方向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。方向投影后保持正交，这两个方向称为主方向。 主方向投影后具有主方向投影后具有最大和最小长度

8、比最大和最小长度比，即，长度比极值所在地方，即，长度比极值所在地方向就是主方向。向就是主方向。 变形指标变形指标：主方向上投影长度比：主方向上投影长度比a a和和b b叫变形指标。叫变形指标。 若若a=ba=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若若ab=1ab=1，则为等面积投影。，则为等面积投影。椭球面上的微分圆椭球面上的微分圆：投影平面上对应为微分椭圆投影平面上对应为微分椭圆： 6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形yybxxa, 应用大地测量学应用大地测量学等角投影等角投影投影后角度不变，保持小范围内图形相似。

9、投影后角度不变，保持小范围内图形相似。等面积投影等面积投影用于某些专题地图，投影后面积不变。用于某些专题地图，投影后面积不变。平面投影平面投影投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。圆锥面投影圆锥面投影圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学投影。投影。圆柱面投影圆柱面投影圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切，圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切，按数字投影。按数字投影。正轴投影正轴投影圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。圆柱面中心轴

10、与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。横轴投影横轴投影圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。斜轴投影斜轴投影圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。 6.1.1 6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形 应用大地测量学应用大地测量学6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2 正形投影特性正形投影特性6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性

11、质6.1.2 6.1.2 正形投影特性正形投影特性 应用大地测量学应用大地测量学 1 1、任一点上，投影长度比、任一点上，投影长度比m m为一常数为一常数，不随方向而变不随方向而变，a=ba=b。长度比。长度比仅与点位置仅与点位置有关，不同点投影有不同的长度比。有关，不同点投影有不同的长度比。 2 2、投影后、投影后角度不变形角度不变形。又叫。又叫保角映射保角映射或叫或叫正形投影正形投影。条。条件是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。件是在微小范围内成立。正形投影又叫等角投影。 采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭采用正形投影，在有限范围内，使地形图上的图形与椭球面上的相应图形

12、保持相似。球面上的相应图形保持相似。 应用大地测量学应用大地测量学6.1.1 地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2 正形投影特性正形投影特性6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.3 6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件 应用大地测量学应用大地测量学正形投影必要和充分的条件是满足正形投影必要和充分的条件是满足柯西柯西黎曼方程黎曼方程： 推导过程：由推导过程：由长度比的定义长度比的定义顾及顾及正形投影的特性正形投影的特性导出。导出。 应用大地测量学

13、应用大地测量学正形投影的一般条件的推导过程正形投影的一般条件的推导过程6.1.3 6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件 应用大地测量学应用大地测量学其推证步骤为：其推证步骤为：1 1、从长度比表达式出发、从长度比表达式出发 ，求出，求出m m2 2与与dxdx2 2，dydy2 2和和dbdb2 2，dldl2 2关系式：关系式：2 2、引入、引入等量纬度等量纬度q q，将，将x x、y y表为表为q q、l l的函数；的函数；3 3、对、对 x=f1x=f1（q q，l l），），y=f2y=f2（q q，l l）取全微分，引入符号）取全微分，引入符号e e、f f、g g；4

14、4、根据长度比、根据长度比m m与方向与方向a a无关，无关，f=0f=0，e=ge=g；5 5、由、由e=ge=g、f=0f=0，得一般条件：，得一般条件： d dl l) )n nc co os sb bm md db b ( ( (n nc co os sb b) )d dy yd dx x( (n nc co os sb bd dl l) )( (m md db b) )d dy yd dx xd ds sd ds sm m2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 26.1.3 6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件 应用大地测量学应用大地测量学6.1.

15、1 地图投影及其变形地图投影及其变形6.1.2 正形投影特性正形投影特性6.1.3 正形投影的一般条件正形投影的一般条件6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式6.1 6.1 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质6.1.4 6.1.4 正形投影的一般公式正形投影的一般公式 应用大地测量学应用大地测量学 根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(cauchy)(cauchy)黎曼黎曼(riemann)(riemann)条件，式中，条件，式中，f f代表任意代表任意解析函数解析函数。 通过证明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分通过证

16、明，上述复变函数能满足正形投影的必要和充分条件。也就是说条件。也就是说能满足上述复变函数的函数能满足上述复变函数的函数f f，都能满足正形，都能满足正形投影条件投影条件。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。根据该式可以导出高斯投影坐标计算公式。()xiyf qil第六章第六章 高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向

17、和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2 高斯投影的长度比和长度变

18、形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.1 6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念 应用大地测量学应用大地测量学sonyxson 高斯投影又称高斯投影又称横轴横轴椭圆柱椭圆柱等角等角投影。在高斯投影投影。在高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为高斯平面直角坐标系的高斯平面直角坐标系的x轴和轴和y轴。轴。 应用大地测量学应用大地测量学（1 1）投影后角度不产生变形，满足正

19、形投影要求；）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；（2 2）中央子午线投影后是一条直线；）中央子午线投影后是一条直线；（3 3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于于1 1。（4 4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1 1，且离开，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。中央子午线愈远，长度变形愈大。6.2.1 6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念 应用大地测量学应用大地测量学6.2.1 高斯投影的基本

20、概念高斯投影的基本概念6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.2 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形 应用大地测量学应用大地测量学1 1、用大地坐标表示的高斯投影长度比、用大地坐标表示的高斯投影长度比m m 式中：式中：2 2、用平面坐标表示的高斯投影长度比、用平面坐标表示的高斯投影长度比m m式中式中y y为投影点的为投影点的横坐标横坐标，r r为该点处椭球为该点处椭球平均

21、曲率半径平均曲率半径。4 44 42 22 22 24 4r ry y2 2r ry y1 1m m 应用大地测量学应用大地测量学3 3、长度变形、长度变形m-1m-1与横坐标与横坐标y y的关系的关系y/（km） 1020304050100150200250300长度变长度变形形m-1m-11/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/9006.2.2 6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形 应用大地测量学应用大地测量学6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2 高斯投影

22、的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.3 6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带 应用大地测量学应用大地测量学 为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6 6度分带和度分带和3 3度分带两种方度分带两种方法。法。 321l0nln45434139373533312927252322212019181716151413211381321261201141081029690847872

23、1260135129123117111105999387817593 应用大地测量学应用大地测量学6 6带带号带带号n n和中央子午线经度和中央子午线经度 l ln n的关系式：的关系式：3 3带带号带带号n n和中央子午线经度和中央子午线经度 lnln的关系式：的关系式：6 6带与带与3 3带带号之间的关系为带带号之间的关系为: : 国家统一坐标国家统一坐标的表示方法：的表示方法：x x坐标为正，坐标为正，y y坐标加坐标加500km500km后前面冠以带号。如在后前面冠以带号。如在3939带中带中y y坐标自然值分别为坐标自然值分别为12345.67812345.678和和-12345.6

24、78m-12345.678m，国家统一坐标分别为，国家统一坐标分别为39512345.67839512345.678和和39487654.322m39487654.322m。但在坐标计算中应。但在坐标计算中应去掉去掉带号带号，减去减去500km500km，恢复坐标自然值。，恢复坐标自然值。6.2.3 6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带 应用大地测量学应用大地测量学6.2.1 高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形高斯投影的长度比和长度变形6.2.3 高斯投影的分带高斯投影的分带6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容6.2 6.2 高斯投影与国

25、家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系6.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容 应用大地测量学应用大地测量学 1 1、由椭球面上各点大地坐标（、由椭球面上各点大地坐标（b b，l l）求解各点高）求解各点高斯平面坐标（斯平面坐标（x x，y y）：先在椭球面上解算球面三角形，：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）各点的高斯平面坐标。（计算工作量大） 2 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面影平面

26、，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。 应用大地测量学应用大地测量学第二种方法的具体推算内容如下第二种方法的具体推算内容如下: :1 1、将、将起算点起算点的的大地坐标大地坐标（b1b1，l1l1）换算为）换算为高斯平面坐标高斯平面坐标（x1x1，y1y1）高高斯投影坐标计算。斯投影坐标计算。2 2、将、将起算边起算边的的大地方位角大地方位角a12a12改换为改换为平面坐标方位角平面坐标方位角t12t12；t12=a12-+12 t12=a12-+12 式中，

27、式中，为子午线收敛角，为子午线收敛角，1212为方向改正。为方向改正。3 3、将、将起算边起算边的的大地线长度大地线长度s12s12归算为归算为高斯平面上的直线长度高斯平面上的直线长度d12d12：d12=s12+d12=s12+s s 式中式中s s为为距离改正距离改正。4 4、对于椭球面上三角网的、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。算，推求各控制点的平面直角坐

28、标。6.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容 应用大地测量学应用大地测量学 高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。 556.2.4 6.2.4 高斯投影的计算内容高斯投影的计算内容第六章第六章 高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第

29、四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算由（由（b b，l l）求（）求（x x，y y）高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算由（由（x x，y y）求（）求（b b，l l）6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学6.3.1 高斯投影坐标

30、正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.1 6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式

31、应用大地测量学应用大地测量学(6-26)(6-26)式中，式中，x x为由赤道至纬度为由赤道至纬度b b的子午线弧长，的子午线弧长， 为计算点为计算点p p点与中央子午线点与中央子午线的经差。的经差。 为卯酉圈曲率半径，为卯酉圈曲率半径，t=tanbt=tanb，=ecosb=ecosb。l-l0l-l0若以度为单位，则若以度为单位，则=57.295779513=57.295779513；l-l0l-l0若以分为单位，则若以分为单位，则=3437.7467708;=3437.7467708;l-l0l-l0若以秒为单位，则若以秒为单位，则=206264.80625=206264.80625。

32、应用大地测量学应用大地测量学1 1、高斯投影坐标正算函数式、高斯投影坐标正算函数式2 2、根据正形投影的一般公式、根据正形投影的一般公式 x+iy=fx+iy=f（q+ilq+il）以及高斯投影的条件推）以及高斯投影的条件推导正算公式，可以将一般公式在导正算公式，可以将一般公式在q q处展为处展为il il 的台劳级数。的台劳级数。3 3、根据中央子午线长度比、根据中央子午线长度比 m=1m=1，有，有 4 4、由、由 求各阶导数求各阶导数5 5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。、将各阶导数代入上式得最后正算公式。26.3.1 6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式 （b b，

33、l l）计算（）计算（x x，y y）正算公式中子午弧长）正算公式中子午弧长x x的计算的计算（见本书（见本书151151页公式页公式5-415-41）由由x x求求b b。依依此此公公式式按按迭迭代代法法可可以以b b）s si in nb b，c co os sb bc co os sb bc co os sc co os sb b（c cx xb b上上式式可可以以变变换换为为：的的x x不不同同。，其其参参数数不不同同，所所计计算算/ /b b；对对应应不不同同的的椭椭球球a ac c，e e1 10 02 24 43 31 15 5，e e2 20 04 48 87 73 35 5e

34、 e9 96 63 35 5，e e8 81 19 92 23 36 67 75 5e e3 38 84 41 17 75 5e e3 32 21 15 51 1，e e1 16 63 38 84 41 11 10 02 25 5e e2 25 56 61 17 75 5e e6 64 44 45 5e e4 43 31 1式式中中, ,b b) )s si in nb b ; ;c co os sb bc co os sb bc co os sc co os sb b( (b bc c x x7 78 85 56 63 34 42 20 02 28 88 88 86 66 68 86 64

35、44 40 02 28 86 64 42 20 07 78 85 56 63 34 42 20 06.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.2 6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式 应用大地测量学应用大地测量学式中，带下标式中，带下标f的各变量为的各变量为f点点（又叫（又叫底点底点）的有关变量，如）

36、的有关变量，如f ff ff ff ff f, ,t t , ,n n, ,m m, ,b b分别为底点纬度，子午圈半径，分别为底点纬度，子午圈半径，卯酉圈半径等。卯酉圈半径等。bf可根据子午弧长公式，由可根据子午弧长公式，由x=x反算得到。反算得到。 应用大地测量学应用大地测量学反算推证过程：反算推证过程：1 1、将正形投影公式写成反函数形式、将正形投影公式写成反函数形式 2 2、在、在f f点（点（b bf f，0 0）将上式展为）将上式展为iyiy的台劳级数的台劳级数 f f点的坐标为（点的坐标为（x+i0 x+i0）对应大地坐标为（）对应大地坐标为（b bf f，0 0）3 3、对于、

37、对于f f点，点，f f（x x）=q=q，即，即(f(x)(f(x)f f=q=qf f ，q qf f为为f f点等量纬度。点等量纬度。4 4、求各阶导数并代回上式得：、求各阶导数并代回上式得： 5 5、将、将q q、q qf f变为变为b-bb-bf f由由b=b=（q q）在）在q qf f处展为台劳级数，由等量纬度处展为台劳级数，由等量纬度q q与与b b的微分公式求得的微分公式求得各系数，得各系数，得b b的计算公式和的计算公式和l l的计算公式。的计算公式。 6.3.2 6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3 6.3 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地

38、测量学应用大地测量学6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.3 6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式 应用大地测量学应用大地测量学代代克拉索夫斯基克拉索夫斯基椭球参数得椭球参数得 公式（公式（6-366-36）（）（6-376-37）代代19751975年国际椭球年国际椭球参数得：参数得： 公式（公式（6-386-38）（）（6-396-39）6.3 6.3 高

39、斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学6.3.1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式6.3.2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式6.3.3 高斯投影坐标正算的数值公式高斯投影坐标正算的数值公式6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代计算公式高斯投影坐标反算的迭代计算公式6.3.4 6.3.4 高斯投影坐标反算的迭代高斯投影坐标反算的迭代计算公式计算公式 应用大地测量学应用大地测量学迭代计算公式：迭代计算公式： （6-446-44）其中迭代初始值：其中迭代初始值： （6-456-45）迭代停止限差：迭代停止限差： （6-466-46）第六章第六章 高斯投影及其计算高

40、斯投影及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面 应用大地测量学应用大

41、地测量学6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4.3 距离改正计算距离改正计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4.3 距离改正计算距离改正计算6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算 应用大地测量学应用大地测量学6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算 应用大地测量学应用大地测量学 应用大地测量学应

42、用大地测量学6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算 应用大地测量学应用大地测量学6.4.1 6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4.3 距离改正计算距离改正计算 应用大地测量学应用大地测量学 正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正方向所加的改正

43、。 方向改正方向改正：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的：大地线的投影曲线与连接大地线两端点的弦线之间的夹角。夹角。 （662） （663） 6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算)6)(22121212yyyxxrm)6)(21212221yyyxxrm6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算 应用大地测量学应用大地测量学dabct12xyy2 - y1= yddd212d2d12x2 - x1= xdxdxdyabab 应用大地测量学应用大地测量学 公式（公式（6-62）、（）、（6-63）。当）。当ym250km时，计算精度为时，计算精度为0.01 . 对于

44、三、四等三角测量的方向改正计算公式：对于三、四等三角测量的方向改正计算公式： 上式的计算精度为上式的计算精度为0.10.1。6.4.2 6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4 6.4 椭球面上的方向和长度归算椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学6.4.1 平面子午线收敛角的计算平面子午线收敛角的计算6.4.2 方向改正计算方向改正计算6.4.3 距离改正计算距离改正计算6.4.3 6.4.3 距离改正计算距离改正计算 应用大地测量学应用大地测量学 距离改正距离改正椭球面上大地线长椭球面上大地线长s s改换为平面上投影曲线两端点改换为平面上投影曲

45、线两端点间的弦长间的弦长d d，要加距离改正，要加距离改正s s。注意。注意: :应将距离改正与长度变形相区应将距离改正与长度变形相区别。别。 应用大地测量学应用大地测量学dsddmdsdsdddsm0dddsmsindyddt21221(1)sin2yyysdytr242222(1)22424mmyyydsrrr 上式即为大地线长度上式即为大地线长度s s归算到高斯平面上直线距离归算到高斯平面上直线距离d d的计算公式，的计算公式，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归算又可再略去项，对于三

46、四等边长的归算又可再略去 项。项。 4my2y46.4.3 6.4.3 距离改正计算距离改正计算第六章第六章 高斯投影及其计算高斯投影及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和

47、兰勃特投影简介第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学 高斯投影坐标的换带计算高斯投影坐标的换带计算：将一个投影带的平面直角坐标，转换成另：将一个投影带的平面直角坐标，转换成另外一个投影带的平面直角坐标。外一个投影带的平面直角坐标。（1 1）当）当控制网控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带内。带内。（2 2）在分带子午线附近地区）在分带子午线附近地区

48、测图测图或进行或进行测量工程测量工程时，往往需要用到另一带时，往往需要用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。（3 3）当）当大比例尺测图大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要求采用求采用3 3带、带、1.51.5带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有6 6带坐带坐标，这时就产生了标，这时就产生了6 6带与带与3 3带（或带（或1.51.5带、任意带）之间的相互坐标换带、任意带）之间的相互坐标换算问题。算问

49、题。第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学6 6带坐标带坐标相邻相邻6 6带坐标；带坐标；6 6带坐标带坐标3 3带坐标；带坐标；3 3带坐标带坐标相邻相邻3 3带坐标；带坐标；6 6带或带或3 3带坐标带坐标任意带坐标；任意带坐标；第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学 首先将某投影带内已知点的首先将某投影带内已知点的平面坐标平面坐标（x x1 1, y, y1 1），按），按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标大地坐标（b, b, l l）；然后根据纬

50、度和所需换算的投影带的中央子午线经）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度度l l0202，计算该点在新投影带内的，计算该点在新投影带内的经差经差l l2 2，再按高斯投影坐，再按高斯投影坐标正算公式计算该点在新投影带内的标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标高斯平面坐标（x2, x2, y2y2）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。其计算流程如下：其计算流程如下：（x1, y1）反算（）反算（b, l1） (b,l=l01+l1） (b,l2=l-l02) 正算正算 (x2, y2） 第六章第六章 高斯投影及其计算高斯投影

51、及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）高斯投影与国家平面直角坐标系（概念）第三节第三节 高斯投影坐标计算（重点）高斯投影坐标计算（重点）第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面（重点）第五节第五节 高斯投影坐标换带计算（重点）高斯投影坐标换带计算（重点）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学 墨卡托

52、投影墨卡托投影等角正圆柱投影等角正圆柱投影 常用常用等角正割圆柱投影：等角正割圆柱投影： （1 1）标准线投影后不变形；（）标准线投影后不变形；（2 2）两条标准纬线间的）两条标准纬线间的区域，投影后产生负变形，两条标准纬线以外的区域投影区域，投影后产生负变形，两条标准纬线以外的区域投影后产生正变形；（后产生正变形；（3 3）距离标准纬线越远，投影变形越大。）距离标准纬线越远，投影变形越大。第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影(universal transverse (unive

53、rsal transverse mercator projection)mercator projection)取其前面三个英文单词的大写字母取其前面三个英文单词的大写字母而称而称utmutm投影。从几何意义上讲，投影。从几何意义上讲，utmutm投影属于投影属于，高斯克吕格投影为横轴等角切椭圆柱投影，高斯克吕格投影为横轴等角切椭圆柱投影，两者非常相似。满足等角条件和中央子午线投影后成为直两者非常相似。满足等角条件和中央子午线投影后成为直线，并为纵坐标轴，只是在通用横轴墨卡托投影中，线，并为纵坐标轴，只是在通用横轴墨卡托投影中，中央中央子午线子午线投影长度比不再等于投影长度比不再等于1 1，而

54、是等于，而是等于0.99960.9996，投影后，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为上也称它为0.99960.9996的高斯投影。该投影由美国军事测绘的高斯投影。该投影由美国军事测绘局局19381938年提出，年提出，19451945年开始采用。已被许多国家、地区采年开始采用。已被许多国家、地区采用作为大地测量和地形图的投影基础。用作为大地测量和地形图的投影基础。第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学经线中央1e1pp6e第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学基本公式：基本公式： （6-686-68） （6-696-69） （6-706-70）投影变形特点投影变形特点表表6-16-1： 6 6带带 3 3 带带 第六节第六