全等三角形问题中常见的种辅助线的作法有答案

1、百度文库-让每个人平等地提升自我全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角 之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题2倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作

2、垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二 条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造

3、全等三角形2）遇到三角形的中线， 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相 交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置 上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中

4、的 “平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，/ 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 .D18AFD例2、如图， ABC中，E、F分别

5、在 AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的 大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=A, E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.截长补短1 如图， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC，且 AD=BD 求证：CDL AC2、如图,AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA3、如图,已知在°ABC 内，BAC 6° ,BQ分别是BAC ,CCD过点 E,求证;AB = AD+BC40 °, P,Q分别在BC, CA上，并且AP,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BPQC周长记为Pb.求证Pb >

6、 Pa.4、如图，在四边形 ABCD中, BO BA,AA CD, BD平分 ABC ,求证： A C 18005、如图在 ABC中，AB> AC / 1 = Z 2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC、平移变换例1ABC的角平分线，直线 MNL AD于为MN上一点， ABC周长记为PA , EBC例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1如图，已知在厶 ABC中，/ B=60°,A ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0D2、如图， ABC中，AD平分/ BAC D

7、GL BC且平分 BC, DEI AB于 E, DF丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.五、旋转例1正方形ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.B例3如图， ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200,例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2) 若AB=2求四边形DECF的面积。以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则 AM

8、N 的周长为;参考答案与提示则中线AD的取值范围是、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3 解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BQ EE显然BG= FC,在厶EFG中，注意到DEI DF,由等腰三角形的三线合一知FEG= EF在厶BEG中，由三

9、角形性质知故：EF<BE+FCEG<BG+BE例3、如图， ABC中，BD=DC=A, E是DC的中点，求证:AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BG DG,显然 DG= ACZ GDCZ ACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在 ADB与 ADG中,BD= AC=DG AD= AD/ ADB=Z ADC丄 ACD=/ ADC+Z GDC=Z ADG故厶 ADBA ADG 故有/ BADZ DAG 即 AD平分/ BAE二、截长补短1、如图, ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CDL ACF,使 AF= AD 连

10、FE03、如图，已知在厶 ABC内， BAC 60 ,BQ分别是 BAC , ABC的角平分线。求证: 解：（补短法，计算数值法）延长 AB至D,使 在等腰 BPD中，可得/ BDP= 40°从而/ BDP= 40°=/ ACP ADPA ACP（ ASA故 AD= AC又/ QBC= 40°=/ QCB 故 BQ= QCBD= BPC 400 , P, Q分别在BC, CA上，并且AP,ABQ+AQ=AB+BPBD= BP,连 DP解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF丄 AB,故/ AFD= 90

11、6; ADFA ADC（ SAS/ ACD=Z AFD= 90。即：CD!AC2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证;AB = AD+BC 解：（截长法）在AB上取点 ADEA AFE （ SAS/ ADE=/ AFE/ ADE+/ BCE= 180 °/ AFE+/ BFE= 180 °故/ ECB=/ EFB FBEA CBE（AAS 故有BF= BC从而;AB = AD+BC从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中, BC> BA,AD= CD BD平分ABC ,求证： A C 1800解：（补短法

12、）延长 BA至F,使BF= BC连FD BDFA BDC（ SAS故/ DFB=/ DCB , FD= DC 又 AD= CD故在等腰厶BFD中/ DFB=Z DAF故有/ BAD+Z BCD= 1805、如图在 ABC中，AB> AC, Z 1 = Z 2, P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC > PB-PC解：(补短法)延长 AC至F,使AF= AB连PD ABP AFP ( SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF PC < CF = AF- AC= AB- AC三、平移变换例1ABC的角平分线，直线 MNL AD于为MN上一点， ABC周长记为P

13、A , EBC周长记为Pb.求证Pb > Pa.解：（镜面反射法）延长 BA至F,使AF= AC,连FEABC的角平分线，MN丄AD知Z fae=z cae故有 FAEA CAE（ SAS故 ef= ce在厶 bef 中有：be+ef>bf=ba+af=ba+ac从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACF+BC=例2如图，在厶ABC的边上取两点 d、e,且bd=ce求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连 BN,DN. BD=CE,、:.dm=em, DMN EMA(SAS), DN=AE,同理BN=CA.延长 N

14、D 交 AB 于 P,贝U BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得 BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD,i AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等 1如图，已知在厶 ABC中，/ B=60°, ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E=0DACDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线,计算数值法）/ B=60则/ BAC+ / BCA=120 度；AD,CE均为角平分线,贝U/ 0AC+ / OCA=60 度=Z A0E= / COD;/ AOC=120 度.B 在AC上截取线段

15、AF=AE,连接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF.则/ OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF= / AOE=60 度.贝U/ COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD; 又 CO=CO; / OCD= / OCF.故/ OCD 也 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC,DEI AB于 E,DF丄 AC于 F.F（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端）连接B

16、D, DCDG垂直平分BC,故BD= DC由于AD平分/ BAC DE丄AB于E, DF丄AC于F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC （ HL） 故有BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2五、旋转例1正方形ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数. / / 证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形 AABG贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / D

17、AF 又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90 所以/ EAF=45度FB E例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN分别 交BC,CA于点E,F。（1）当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF（2）若AB=2,求四边形DECF的面积。解：（计算数值法）（1）连接DCD为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CDL AB, CD= DACD平分/ BCA = 90°,/ ECD = Z DCA = 45°由于 DML DN 有/ EDN= 90 °由于 CDLAB,有/ CDA = 90°从而/ CDE=/ FDA =故有

18、 CDEA ADF （ASA 故有DE=DFC(2) Saab(=2, S 四 dec= S aceFI例3如图， ABC是边长为 3的等边三角形,BDC是等腰三角形，且BDC 1200，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点 N,连接MN贝y AMN 为解：（图形补全法，“截长法”或“补短法” 数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点 线段CF上取点E,使CE= BM的周长，计算F,在 ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形,且/ BDC=120 ,AD/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30° =90° ,/ DCE=180 - / ACD=180 - / ABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD , CDE BDM