第一部分数学Ⅱ附加题部分专题Ⅱ-1专题验收评估

1、1(2013 江·苏高考 )如图， AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D ，C， AC 经过圆心 O，且 BC 2OC.求证： AC 2AD .证明： 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D ，C，所以ADOACB90 °.又因为 AA，所以 RtADORtACB.BCAC所以 OD AD.又 BC 2OC2OD，故 AC 2AD .2如图， AB 是圆 O 的直径， D， E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使 BD DC，连接 AC，AE，DE .求证： E C.证明： 连接 OD，因为 BD DC，O 为 AB

2、的中点，所以 OD AC，于是 ODB C.因为 OB OD ，所以 ODB B，于是 BC.因为点 A，E，B， D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，所以 E 和B 为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.3(2013 ·南昆明调研云)如图，已知PA 与圆 O 相切于点 A，直径 BCOP，连接 AB 交PO 于点 D.求证：(1)PA PD；(2)AC·AP AD ·OC.证明： (1)PA 与圆 O 相切于点A，PABACB.BC 是圆 O 的直径，BAC 90 °，1ACB 90 °B.OB OP，BDO

3、90 °B，又BDOPDA ，PAD PDA 90 °B，PA PD.(2)连接 OA，由 (1) 得，PAD PDAACO，又OACOCA，PAD OCA ，PA AD ，AC·AP AD ·OC.OCAC4 (2013 ·宁高考辽 )如图， AB 为 O 的直径，直线CD 与 O 相切于 E， AD 垂直 CD于 D ， BC 垂直 CD 于 C， EF 垂直 AB 于 F，连接 AE， BE.证明：(1) FEB CEB； (2)EF 2 AD ·BC.证明： (1)由直线 CD 与 O 相切，得 CEBEAB.由 AB 为 O

4、 的直径，得AEEB，从而 EABEBF 2；又 EF AB，得FEB EBF 2，从而 FEB EAB.故FEB CEB.(2)由 BC CE， EF AB，FEB CEB，BE 是公共边，得 RtBCERtBFE ，所以 BC BF.类似可证， RtADE RtAFE ，得 AD AF.又在 RtAEB 中， EF AB，故 EF 2 AF·BF，所以 EF 2 AD ·BC.5(2013 大·连市双基测试 )如图，直线 AB 经过 O 上的点 C，并且OAOB， CA CB， O 交直线 OB 于 E， D 两点，连接 EC， CD.(1)求证：直线AB 是

5、 O 的切线；1(2)若 tan CED 2， O 的半径为3，求 OA 的长2解： (1)证明：连接OC，因为 OA OB，CA CB，所以 OCAB .所以直线 AB 是 O 的切线(2)因为 AB 是 O 的切线，所以 BCD CED，又BB，所以BCD BEC ，所以 BC BE CE， BECE 2.BD BC CDBDCD1BE因为 tanCED 2，所以 BD 4.因为 O 的半径为3，所以 BD 2， OA 5.6如图， AB 是 O 的直径，弦 BD ， CA 的延长线相交于点E，EF 垂直 BA 的延长线于点 F.(1)求证： DEA DFA；(2)若 EBA 30

6、6;， EF 3，EA 2AC，求 AF 的长解： (1)证明：连接AD ，BC.因为 AB 是 O 的直径，所以ADBEFA 90 °，故 A， D ，E， F 四点共圆，所以DEADFA.(2)在 RtEFA 和 RtBCA 中，EAFBAC，所以EFABCA，故 EABA AFAC.在 RtEFA 中， AF 2 EF 2 AE2，设 AF a，在 RtEFB 中， EF 3，EBA30 °，所以 BF 3，则 AB 3 a，1所以 a·(3 a) 2(3 a2)，解得 a 1.3所以 AF 的长为 1.7.(2013 新·课标全国卷 )如图， C

7、D 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D ，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE DC ·AF，B， E，F， C 四点共圆(1)证明： CA 是 ABC 外接圆的直径；(2)若 DB BE EA，求过 B， E， F ，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值.解： (1)证明： 因为 CD 为 ABC 外接圆的切线，所以DCB A，由题设知 BC DC ，AFAE故 CDB AEF ，所以 DBC EFA.因为 B， E，F ， C 四点共圆，所以CFE DBC ，故 EFA CFE 90°.所以 CBA

8、90°，因此 CA 是 ABC 外接圆的直径(2)连接 CE，因为 CBE 90°，所以过 B， E， F， C 四点的圆的直径为 CE.由 BD BE，有 CE DC ，又 BC 2DB ·BA 2DB2，所以 CA 2 4DB 2 BC2 6DB 2.而 DC 2 DB ·DA 3DB 2，故过 B， E， F ，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比1值为 2.8 (2013 豫·东、豫北十校联考 )如图， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线， B 为切点， OC 平行于弦 AD ，连结 CD .(1)求证： CD 是 O

9、的切线；(2)过点 D 作 DE AB 于点 E，交 AC 于点 P，求证：点P 平分线段DE .证明： (1)连接 OD .OCAD ，1ADO，2DAO.OA OD ，ADO DAO ，12.OC OC，OB OD，DOC BOC，ODC OBC.4OB 是 O 的半径， BC 是 O 的切线，BC OB，OBC 90 °，ODC 90 °，CD OD.又OD 是 O 的半径， CD 是 O 的切线(2)法一： 过点 A 作 O 的切线 AF，交 CD 的延长线于点F，则 FA AB.DE AB，由 (1)知 CB AB，FDAEFADE CB，FC AB.在FAC 中，DPFA，DPFA DCFC .FA， FD是 O 的切线， FA FD ，DPDC，DPAE.FCDCABFDEPAE在ABC 中，EPBC ，CB AB.CD ， CB 是 O 的切线， CB CD .EP AE.CDABDPEP，DP EP.DCCD点 P 平分线段DE .法二： 过点 A 作 O 的切线 AF ，交 CD 的延长线于点F.由 (1)及已知条件知 BC， CD， AF 为 O 的切线