甘肃省天水市二中2012届高三数学高考预测试题(解析版)新人教A版

1、甘肃省天水市二中2012 届高考数学预测试题一、选择题1（理） 设集合 Mx x21, x R ， Ny yx21,0x 2，则 eRMN 等于（）A RB x | x R且 x 1C 1D【答案】 B【解析】依题意得Mx |1 x 3 Ny | 3 x 1，所以M N 1，故 eRMNx | xR且x1，因此选 B（文） 设集合 Mx 4 xx23,xR ， Ny yx21,0x2，则 e MNR等于（）A RB x | x R且 x 1C 1D【答案】 B【解析】依题意得Mx |1 x 3 Ny | 3 x 1，所以M N 1，故 eRMNx | xR且x1，因此选 B2若 a3sin60

2、 , blog1 cos60 , clog 2 tan30 ，则（）3A a b cB b c aC c b aD b a c【答案】 A【解析】 a3sin60301,blog1 cos60log111,clog2 tan30log210, 且333b log 1 cos60log 110 ， abc ，因此选 A5523在复平面内，复数 ziii 2012 表示的点所在的象限是（）1A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 A【解析】 ziii2012i(1+i)i 4503ii 2i 4 5031(1 i)(1+i)1i 2i1 111 i ，复数 z表示的点的坐标为1 , 1，

3、位于第一象限，故选A222224函数 f ( x)lg( x2 1), x3,) 的反函数是（）( )x1(0)BxA10xxg (x)101(x1)g( )x1(0)DxC10xxg (x)101( x1)g【答案】 D【解析】由 ylg( x21) ，得 x2 110y ，所以 x10y1 ，又函数f ( x)lg( x2 1), x3,) 的值域为 1,) ，所以反函数是g (x)10x1( x1) 21n5（理） 如果x2的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为xx4（）A 2B 3C 4D 5112n12 n【答案】 B【解析】x2x，x4xx2k Tk 1C2nk x2 n

4、 k1k1 C2nk x2 n 3k ，x2由题意知 2n 3k 0，即n3+k N， n 的最小值为 3k ，nN，921的展开式中，常数项为（）（文） 在 2x84x25376AB 5376CD 84191 ) 3【答案】 C【解析】 在 2x的展开式中， 常数项是 C93 (2 x)6 (5376 ，选 Cx2x26（理） 设数列 an是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为 Sn ，且 S1 、 S2 、 S4 成等比数列，则 a4 等于（）a1A 6B 3C 4D 7【答案】 D【解析】设等差数列a的首项为 a1 ，公差 d0，因为 S1、S2 、S4成等比n数列，所以 S2 S S

5、 ，即 (2 a1 d) 2a1 (4 a16d ) ，解得 2a1d ，因此214a4a13d7a17 ，故选 Da1a1a1（文） 设 an是等差数列， a1a3a512 ，则这个数列的前5 和等于（）A 12B 20C 36D 48【答案】 B【解析】由等差数列中a1a3a53a312, a34 ，这个数列的前5 项和S55(a1 a5 )52a320，选 B227（理） 已知点 A1,0 和圆 x2y 22 上一动点 P ，动点 M 满足 2MAAP ，则点 M的轨迹方程是y21（3)2）1A x 3B (xy2223)21321C ( xy2D x2y2222【答案】 C【解析】设

6、M (x, y) ， P( x0 , y0 ) ，由 2MAAP ，则2(1 x,0y)(x01, y00)，即(22x,2 y) ( x01, y0 ) ，所以x02x 3y0，2 y又点 P(x0 , y0 ) 在圆 x2y22上，所以 x02y022 ，即 ( 2x3) 2(2y)22 ，化简得 (x3) 2y21，故选 C22和圆 x2y2（文） 已知点 A1,02 上一动点 P ，则 AP的中点 M 的轨迹方程是（）y21B (x1)2y21A x 12221 )22C ( xy21D x2y112222xx01【答案】 C【解析】设 M (x, y) ， P( x0 , y0 )

7、，由 M 是 AP的中点，得2，所以y0y2x02x1，又点 P( x0 , y0 ) 在圆 x2y22 上，所以 x02y022 ，即y02 y(2 x1) 2(2 y)22 ，化简得 ( x1 )2y21，故选 C222xy20上，点 Q在曲线（ x 1）2 ( y 1) 2 18如果点 P 在平面区域x1上，那么 | PQ|xy40的最小值为（）A 51B3 5C3 51D5 21553【答案】 C【解析】 作出可行域如图所示| PQ|的最小值为圆心 (1,1)到可行域内点的距离的最小值减去圆的半径1，根据图象可知| PQ| 的最小值为圆心(1,1)到直线2xy 2 0 的距离减去圆的半

8、径1，即 | PQ| 的最小值为212135155y542x- y+2=0x=-1321(1,1 )x+y-4=0112345x19复数 z23i（）32iA 2 iB iC 2 iD i【答案】 B【解析】解法一：z23i(23i )(32i)13ii 32i(32i )(32i)13解法二： z23i(23i )i(23i) ii 选 C32i(32i )i23i10命题“存在,R ， 使 sin()sin()sin2sin 2”的否定为（）A任意,R ，使 sin()sin()sin 2sin2B任意,R ，使 sin()sin()sin 2sin2C存在,R ，使 sin()sin()

9、sin 2sin2D存在,R ，使 sin()sin()sin 2sin2【押题理由】特称命题与全称命题的否定一直是高考的热点3【答案】 B【解析】给出的命题为特称命题，因为特称命题的否定为全程命题，所以其否定为“任意,R ， sin()sin() sin 2sin 2”，选 B11函数 f ( x)x2eln x 的零点个数为（）A 0B 1C 2D 3【押题理由】 函数的零点问题一直是考试的重点内容之一，与函数的图象与性质紧密结合，导数是解决此类问题的有效方法，高考必定有所体现【答案】 A【解析】本题考查函数的零点以及导数的应用e2x2ef (x) 2xx，由xf (x)2xe2x 2e0

10、 ，解得 xe（另一负根舍去） ，易知 f ( x)x2eln x 在xx2e处取得极小值，也就是最小值，即x2e)eleeeeeen)0f (en=ln，所=以无零点(1l2222222212程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比 2013 小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（）A k 10B k 10C k 9D k 9【猜题理由】 程序框图是高考的必考题型， 其中很多省份均是以数列为背景和题材进行设计，故 2012年这种命题方式有很大的可能出现【答案】 C【解析】 第一次循环时S=1×12=12， K=12-1=11 ；第二次循环时， S=12×11=

11、132，K=11-1=10 ；第三次循环时， S=132×10=1320， K=10-1=9 ；若再循环一次，显然 S>2013，不符合题意，故应循环了三次，因此，循环三次后必须终止，所以判断框中应填入的为“ k 9 ”13下图为一个空间几何体的三视图， 其中俯视图是下边一个等边三角形， 其内切圆的半径是 1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（）A 153B 152333C 303D 304333【押题理由】 三视图是高考的一个热点，课表地区年年考查，一般有两种方式：一是给出三视图，求原几何体的体积或表面积，兼顾了相关公式的考查，力度较大；二是，给出某

12、种视图，选择可能的另外的某种视图2012 年这两种题型将会出现4【答案】 B【解析】由三视图不难看到，几何体为正三棱柱与半个球的组合体，根据等边三角形的内切圆的半径是1，易得底面正三角形的边长为23，故12 3514311 52V =2332314 已 知 椭 圆 C： x2y21(ab0)的左右焦点为 F1,F2， 过 F的直线与圆a2b22( x a)2( yb)2b2相切于点 A，并与椭圆 C 交与不同的两点P， Q，如图，若 A 为线段 PQ的靠近 P 的三等分点，则椭圆的离心率为（）A2B3C5D73333【猜题理由】 离心率问题是解析几何的重点内容， 各省考查频率相当高， 往往融椭

13、圆、双曲线的定义与平面几何的性质与一体， 能够较好的考查学生的思维层次， 备受命题专家的青睐此题结合圆、椭圆、切线等知识，含金量高【答案】 C【解析】连结 OA, PF1 ，则 OAPQ , PF1PQ ，因为 A 为线段 PQ的靠近 P的三等分点， 所以 A 为线段 PA的中点，于是 PF12b 结合椭圆的定义有PF22a2b ，在直角三角形PF1F2 中，利用勾股定理得 (2 a 2b)2(2 b) 2(2 c) 2 ，将 c2a2b2 代2ca2b2a24a25入，整理可得b9a ，于是 eaaa3315用min a,b 表 示a,b 两个实数中的最小值已知函数f ( x)min|log

14、 2 x|,|log 2 ( xt)|( t0) ，若函数 g( x)f ( x)1至少有 3 个零点，则 t的最小值为（）A 1B 1C 3D 222【押题理由】 本题考查对数函数和绝对值函数的图像、图像的平移、 函数的零点等重点知识，又涉及新定义问题， 函数的零点是高考中经常出现的一类问题，各地出现的机会较大，也有可能以方程的根或图像的交点的形式出现，实质是一样的， 另外， 极有可能结合三大性质：周期性、对称性、奇偶性来综合命制，难度较大，值得重视【答案】 C【解析】因为 t 0 ，所以函数 y|log 2 ( xt )| 的图象可由函数 y|log 2 x| 的图象向右平移t 个单位长度

15、得到因为函数g ( x)f ( x)1 至少有 3 个零点，所以方程f ( x) 1至少有三个根，结合图象（如右图）可知y| log 2( xt) | 至少过点（ 2,1 ），所以 | log 2 (2t) |1 ，解得 t3，即向右至少平移3 个单位长度，所以t 的最小值为 3 222本 题 易 错 的 地 方 有 两 个 ， 一 是 不 能 理 解 m i na b,的含义，对f ( x)min|log 2 x|,|log 2 ( xt)|( t0) 不 知 所 措 ； 二 是 对 y|log 2 ( xt)| 于y |log 2 x| 的关系不能作直观（平移）和深刻（过定点（1,2 ）的

16、分析此题的关键是数形结合，图像要画准确5二、填空题16已知平行四边形ABCD，点 E、 F 分别为边 BC、 CD上的中点，若ACDEBF ，则【押题理由】 高考向量的考查主要体现在两个方面：一是结合平面图形（如三角形、 四边形等），考查向量的线性运算，其中三角形与平行四边形法则是重点；二是对于数量积的考查 2012年新课标省份这两种命题形式必定会出现【答案】 4【解析】设 AB a, AD b ，则 DE a1 b ， BF=b1a b ，a 又 AC1122所以 a b(ab) (b a) ，221)a (1即 a b ()b ，所以可得221122 故4 ，解得11217在 ABC中，

17、D 为 AB 上任一点， h 为 AB边上的高， ADC、 BDC、 ABC 的内切圆半径ACBDAB2CD在三棱锥 P-ABC中 D分别为 r1 ,r2, r ，则有如下的等式恒成立：r2rhr1位 AB 上任一点， h 为过点 P 的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、 P-BDC、 P-ABC的内切球的半径分别为 r1,r2 , r ，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为【答案】 S ADCS BCDSABC2S PDC 【解析】本题是根据三角形类比三棱锥，显然r1r2rh给出的半径是一致的，均为r1, r2 , r ，不同的是分子，而不再是线段了，二维是线段，三维应该是面积，故把

18、等式ACBDAB2CDr1r2r中的线段替换成相对应的面积即可，h于是得到 S ADCS BCDSABC2S PDC r1r2rh18已知函数f ( x)lo2 xgx 4，函 数f (x) 的 零点x0(n， n 1)， nN * ，则 n=【答案】 2【解析】设y1log 2 x ， y2 4x ，使得函数 f ( x)y1 y2 ，在同一坐标系画出函数y1 , y2 的图像，图像的交点横坐标x0 就是函数 f( x) 的零点。19如图 1，在圆 O中， O为圆心， AB为圆的一条弦，AB=4，则 AOAB【答案】 8【解析】如图2，过 O作 ODAB 于 D，AO1|AB| 8AB |

19、AB | | AO | cos A | AB | | AD | | AB |2OOD6ABAB图1图220如图， ABC 是圆内接三角形，圆心O在 BC上，若 AB=6， BD=3.6，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在 ABC 内”，N 表示事件“豆子落在 AB D 内”，则 P（ M）=，P（N|M） =ABDOC24S【答案】 P(M )；P(N |M )25SABD2ABC0.36【解析】 由射影定理， 得 AB=BD·BC，得 BC=10， AC=8， AD=4.8，所以 S ABC24,S O25 ，故P(M)24S ABD0.36 ；P(N|M)25S

20、ABC三、解答题21定义：已知函数f (x) 与 g (x) ，若存在一条直线ykxb ，使得对公共定义域内的任意实数均满足f ( x)g( x)kxb 恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线ykxb 为曲线 f (x) 与 g (x) 的“左同旁切线” 已知 f ( x)ln x, g(x)11（ 1）试探求f ( x) 与 g ( x) 是否存在“左同旁切线”x，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由（ 2）设 P(x , f ( x ), Q( x , f ( x ) 是函数f ( x)图象上任意两点，0 x1x2 ，且存在实1122数 x30 ，使得 f (x3 )f (

21、 x2 )f ( x1 ) ，证明： x1x3x2 x2x1【解析】（ 1）由题意知f ( x) 与 g (x) 有公共点，令其为( x0 , y0 ) ，则 f (x0 )g ( x0 ) ，11f( x0 )g ( x0 ) ，即x0x02，解得 x0 1, y00 所以在公共点处的切线方程为ln x011x02yx1下证 y x1就是左同旁切线方程，即证11ln x x 1(x0) （2 分）x先构造函数 h( x)ln xx1(x0) ，则 h ( x)111x ，易知在 x1处 h(x) 取得最大值 h(1) 0 ，所以 ln x x10 ，即 ln xxxx1(x0) （4 分）(

22、 x)ln x110) ，则( x)11x11 处 ( x)再构造函数( xxx2x2，易知在 xx取得最小值(1)0 ，所以 ln x110，即 ln x11 ( x0) xx7故对任意 x(0,) ，恒有11ln xx方程（ 6 分）（ 2）因为 f ( x)1，所以f ( x )1x3x3解法一：（作差法，利用（1）的结论）因为 x3x1x2x1x1x2x1x1ln x2x21x1x1x3 x2x3x1x2 x1x2x2x1ln x2x11x1x2所以 x1x3x2（ 12 分）x1(x0) 成立，即 yx1就是左同旁切线ln x2ln x2ln x1x1 ，所以 x3x2x1 x2x1

23、x2 x1x2lnx1x1x10 ，x2x2x20 ，解法二：（反证法，利用（1）的结论）令x3x1 ，则 x3x2x1x1x2x1x1 ln x2x1 ( x21) x2x1，x2x1x1lnx1显然自相矛盾，故x1x3 ；同理可证 x3x2 故 x1x3x2 （12 分）22已知函数fxln x ， g xex （ 1）若函数xfxx1，求函数x的单调区间；x1（ 2）设直线 l 为函数的图象上一点A x0 , f x0处的切线证明：在区间 1,上存在唯一的 x0 ，使得直线 l与曲线 yg x 相切【解析】（ 1） ( x)fxx1x1x1ln x，x1x12x21xx1 2xx1 2

24、x0 且 x1 ，x0函数(x) 的单调递增区间为0,1 和 1，（ 2） f(x)1 ， f (x0 )1 ，xx0切线 l 的方程为 yln x01 (x x0 ) ,x0即 y1x ln x01,x0设直线 l 与曲线 yg (x) 相切于点 ( x1, ex1 ) ， g ( x)ex ， ex11， x1ln x0 x0直线 l也为 y11 x ln x0，x0x08即 y1 xln x01，x0x0x0由得 ln x01ln x01， ln x0x01x0x0x01下证：在区间（1， +）上 x0 存在且唯一由（ 1）可知，(x)ln xx1）上递增x在区间（1,+1又 (e)ln

25、 ee1e20 ， (e2 )ln e2e21e230 ，e11e21e21结合零点存在性定理，说明方程(x)0 必在区间 (e, e2 ) 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 x0 故结论成立23（本题满分 12 分）已知函数f (x) = 1x2m ln 4 14xmx （ mR ）2（ 1）当 m = 1 时，求 f ( x) 的单调区间；（ 2）当 x0 时， f ( x) 0，求实数 m 的取值范围 （适合全国课标第21 题）【猜题理由】全国课标卷理科第 21 题重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值及利用之研究函数恒成立问题，重点考查分类讨论思想；全国课标卷理科第 21 题从 2007 年至今一直考查导数的应用， 特别是恒成立问