第一章正弦定理和余弦定理知识点及典型例题

1、学习必备欢迎下载正弦定理和余弦定理要点梳理1正弦定理abcsin Asin B2 Rsin C其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)a b c sin A sin B sin C；(2)a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C；a ， sin B b ， sin C c 等形式，以解决不同的三角形问题(3)sin A 2R2R2R2三角形面积公式111acsin Babc1)，并可由此计算R、S ABC absin Cbcsin A (a b c) r(r· 是三角形内切圆的半径2224R2r.3余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a

2、2c22accos B，c2a2b22abcos C.余弦定理可以变形为：b2c2a2a2c2b2a2b2c2cos A2bc， cos B2ac， cos C2ab.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况 (2) 中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2) 已知三边问题基础自测21在 ABC 中，若 b 1， c，则 a 1.3，C 32已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c，若 c2， b6， B 120

3、76;，则 a _.29 ，则 BC4或5 .3在 ABC 中，若 AB 5， AC 5，且 cos C 104已知圆的半径为4， a、 b、 c 为该圆的内接三角形的三边，若abc 162，则三角形的面积为 ( C )2A2 2B8 2C. 2D. 2学习必备欢迎下载题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例 1 在 ABC中， a 3， b2， B45°. 求角 A、 C和边 c.思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断解 : 由正弦定理得a b ，3 2，sin Asin Bsin Asin 45° sin A 32

4、 . a>b， A60°或 A120 °.当 A 60°时， C 180° 45° 60° 75°， cbsin C62；sin B26 2当 A 120°时， C 180° 45° 120° 15°， c bsin C2.sin B探究提高(1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2) 已知两边和一边对角， 解三角形时， 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意变式训练1 已知 a， b， c 分别是

5、ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边，若a 1，b3， A C 2B，则A6解析由正弦定理知sin Aasin B1AC2B，B.b .32题型二利用余弦定理求解三角形cos B例 2在 ABC 中， a、 b、 c 分别是角A、 B、 C 的对边，且 cos C（ 1）求角 B 的大小；(2) 若 b 13， a c 4，求 ABC 的面积222a c b解 (1)由余弦定理知： cos B，2accos Ca2 b2 c2cos Bb得：2ab.将上式代入 cos C2a ca2 c2 b22abb2ac·222，a b cc2a整理得： a2 c2b2 ac. cos

6、Ba2 c2 b2 ac12ac2ac2. B 为三角形的内角， B 2.3b2ac.学习必备欢迎下载(2) 将 b2222222ac 2accos B， 13 1613， a c 4， B 代入ba c 2accos B，得 b ( a c)3 2ac1， ac 3. S 133122acsinB4. ABC探究提高(1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知、C为ABC的三个内角，其所对的边分别为、 、 ，且 2cos2A +cos A=0.ABa b c2(

7、1) 求角 A 的值；(2)若 a23， b c 4，求 ABC 的面积解 (1)由2cos2A，得 ，即12 +cos A=01cosAcosA 0cosA2.2 0<A<， A 3 .(2) 由余弦定理得，2222223， b c 4，a b c 2bccos A， A，则 a (b c) bc，又 a23有 12 42 bc，则 bc 4，故 S ABC 12bcsin A 3.题型三正、余弦定理的综合应用例 3.在 ABC 中， a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边 已知 22(sin 2 A sin 2 C)( ab)sin B ,ABC 外接圆半径为2 .（ 1）求

8、角 C 的大小；（2）求 ABC面积的最大值 .解 : （ 1） ABC外接圆半径为2，且 22(sin 2Asin2 C )(ab)sin B ,即 (22 sin A)2(22 sin C )2( a b)22 sin B ,由正弦定理 得 ： a2c2(a b)b , 即a2b2c2ab , 由余弦定理得：cosCa2b2c2ab1 ，C (0, )，C.2ab2ab23（ 2） Smax332探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角学习必备欢迎下载变式训练3 在 ABC 中，内角 A， B，C 所对的边长分别是 a，

9、 b， c.(1)若 c 2， C 3，且 ABC 的面积为3，求 a， b 的值；(2)若 sin C sin(B A) sin 2A，试判断 ABC 的形状解(1) c 2， C 3， 由余弦定理c2222abcos C得22又 ABC的面积为，ababab4.31a2 b2 ab 4，联立方程组解得 a 2， b 2.2absin C4.3 abab 4，(2) 由 sin C sin(B A) sin 2A，得 sin(A B) sin(BA) 2sin Acos A，即 2sin Bcos A 2sin AcosA， cos A·(sin A sin B) 0， cos A

10、0 或 sin Asin B 0，当 cos A 0 时， 0<A<， A 2 ， ABC 为直角三角形；当 sin A sin B 0 时，得 sin B sin A，由正弦定理得a b，即 ABC 为等腰三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形思想方法感悟提高方法与技巧1正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题ABC2应熟练掌握和运用内角和定理：A B C ， 2 2 2 2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由

11、正、余弦定理结合得sin2A sin2 B sin2C 2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角； (2) 化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实施边、角转换失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论学习必备欢迎下载过关精练一、选择题1在 ABC 中， A 60°， a 4 3， b4 2，则 B 等于 ()A 45°或 135 °B 135 °C 45&

12、#176;D 以上答案都不对2 ABC 中，若 a4 b4 c4 2c2(a2 b2)，则角 C 的度数是 ()A 60°B 45°或 135 °C120°D 30°3在 ABC 中，bc20, S ABC5 3,ABC 的外接圆半径为3，则 a（）A 1B 2C 3D 324在 ABC 中，已知 b2, c1, B45 , 则 a 等于（）62B62C2 1D 32A225在 ABC 中 AB2, AC3,BA AC3,则A 等于（）A 120°B 60°C 30°D 150°6在 ABC 中，a :

13、b : c3:5: 7 ，则这个三角形的最大角为（）A 30B 90C 120D607在 ABC 中 ,已知三边之比 a : b : c2:3:4，则 sin A2sin B（）sin 2CA 1B 2C2D 128 ABC 中，边 a , b , c 的对角分别为A、 B、 C，且A=2B ， a3b ， cosB（）2A 1B 1C 2D 32334学习必备欢迎下载二、填空题9在 ABC 中 ,已知 2sinAcosB=sinC,那么 ABC 的形状是三角形10在锐角 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B，C 所对的边，且3a 2csin A，则角 C _.11在 ABC中，边 a，b，c 的对角分别为 A、B、C，且 sin 2 A sin 2 Csin A sin C sin 2B 。则角 B=。三、解答题12 (12 分 )