高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法优化训练 苏教版必修1

1、2.1.2 函数的表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知函数f(x)=，求解:（1）点（3,14）在f(x)的图象上吗？（2）当x4时，求f(x)的值；（3）当f(x)2时，求x的值.解:（1）因为14,所以点（3,14）不在函数f(x)的图象上.（2）f(x)=-3.（3）由=2，解得x=14.2.画出下列函数的图象：（1）f(x)=（2）g(x)=3n+1,n1,2,3.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域的限制.解:（1）函数f(x)的图象如下图所示:（2）函数g(x)的图象如下图所示:3.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3

2、倍，则把它的高y表示成x的函数为( )ay50x(x0) b.y100x(x0)c.y (x0) d.y (x0)思路解析:由·y100,得2xy100.y (x0).答案:c10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列图形是函数y-|x|(x-2，2)的图象的是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0x2)是直线y=-x上满足0x2的一条线段(包括端点)，y=x是直线y=x上满足-2x0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x轴下方.答案：b2.已知f()=，那么f(x)的解析式为( )a. b. c. d.1x思路解析:令u=，用换元法，同时应注意函数的定义域.x0且x

3、-1，则x=，u0，u-1.f(u)=(u0，且u-1),即f(x)(x0且x-1).答案:c3.求实系数的一次函数y=f(x)，使ff(x)=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b（a0），用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a0),ff(x)=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.a2x+ab+b=4x+3.或f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校的洗衣店中每洗一次衣服（4.5 kg以内）需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.（1）根据题意填写下表：洗衣次数n59101115洗衣费用c（2）“费用c是次数n的函数”还是“次数

4、n是费用c的函数”?（3）写出函数的解析式,并画出图象.思路解析:此题考查阅读理解能力,当 n10时,c=4n；当10<n21时,c=4（n-1）.解:（1）洗衣次数n59101115洗衣费用c2036404056（2）费用c是次数n的函数，因为对于次数集合中的每一个元素（次数），在费用集合中都有唯一的元素（费用）和它对应.但对于费用集合中的每一个元素（费用），在次数集合中并不都是只有唯一的一个元素和它对应.如40元就有10次和11次和它对应.（3）函数的解析式为c=其图象如图:5.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式

5、，并指出其定义域.思路解析：求函数的定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如本题注意到矩形的长2x、宽a必须满足2x0和a0，即l-x-2x>0.解：由题意知此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长ab=2x，宽为a.所以有2x2ax=l，即a=-x-x，半圆的直径为2x，半径为x.所以y=(-x-x)·2x=-(2)x2lx.根据实际意义知-x-x0，又x0，解得0x，即函数y=-(2)x2lx的定义域是x|0x.6.如右图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2 m，渠深1.8 m，边坡的倾角是45°. （

6、1）试用解析表达式将横断面中水的面积a m2表示成水深h m的函数；（2）画出函数的图象;（3）确定函数的定义域和值域.思路解析:利用等腰梯形的性质解决问题.解:（1）由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为（2+2h） m，高为h m，水的横断面面积a=h2+2h . （2）函数图象如下确定:由于a=（h+1）2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为（-1，-1），且图象过（0，0）和（-2，0），又考虑到0h1.8，函数a=h2+2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示.（3）定义域为h |0h1.8,值域由函数a=h2+2h=（h+1）2-1的图象可知，在区间（0，1.8）上函数为

7、增函数，所以0a6.84.故值域为a|0a6.84.快乐时光得不偿失 一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居的一只狗，那个邻居是一名律师. 肉店老板向邻居打去了电话问：“嘿，如果你的狗从我的肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我的肉钱吗？” 律师回答说：“当然可以，那你说多少钱？” “7.98元.”肉店老板回答说. 几天后，肉店老板收到了一张7.98元的支票，随那张支票寄来的还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设f(x)=则ff()( )a. b. c.- d.思路解析:ff()=f(-)=.答案:b2.由于水污染日益严重，

8、水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元.则某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间的函数关系式为( )a.y=6x b.y=c.y= d.y=9x-12思路解析:当用水量0x4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×（x-4）=9x-12.故选b.答案:b3.已知甲、乙两厂年产值的曲线如右图所示，则下列结论中，错误的是( )a.两厂的年产值有三年相同 b.甲厂年产值有两年超过乙厂c.1993年前甲厂年产值低于乙厂 d.1995年至2

9、000年乙厂年产值增长较快思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值相同，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂的年产值增长则要比甲厂快，所以b选项错.答案:b4.已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是_.思路解析:f(x)的图象由两条线段组成，要重点注意的是端点值是否可以取到. 答案:f(x)5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5)=_.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,则f(f(5)=f(-

10、5)=f(-1)=-.答案:- 6.已知f(1-)=x，求f(x).思路解析:设1-=t，用换元法，同时应注意函数的定义域.解:设1-x=t，则x=(1-t)2.x0，t1.f(t)=(1-t)2(t1).f(x)=(x-1)2(x1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f()=x（x0），求f(x).思路解析:以代换x，解关于、x的方程组，消去.解:f(x)+2f()=x， 以代换x得f()+2f(x)= . 解组成的方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：月 份用气量煤气费一月份4米34元二月份25米314元三月份35米319元该市煤气收费的方

11、法是：煤气费基本费超额费保险费.若每月用量不超过最低限度a米3，只付基本费3元和每户每月的定额保险c元，若用气量超过a米3，超过部分每立方米付b元，又知保险费c不超过5元，根据上面的表格求a、b、c.思路解析：本题支付费用为每月用气量的分段函数，先写出函数的解析式，再求a、b、c.解：设每月用气量为x米3，支付费用为y元，则得y=由0c5有3c8.由第二、第三月份的费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度a米3，则两式相减，得b=0.5.a=2c3.再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设a4，将x=4代入3b(x-a)c,得30.54-(32c)c=4.由此推出3.5=4，

12、矛盾.a4.一月份付款方式选3c,3c=4，即c=1.将c=1代入a=2c3，得a=5.a=5，b=0.5，c=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)f(2-x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)ax2+bx+c(a0)，然后根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，求解即可.解:f(2+x)f(2-x)，代入f(x)ax2+bx+c化简可得b-4a.f(x)的图象过点(0，3)，f(0)c3.f(x)ax2-4ax+3.ax2-4ax+30的两实根的平方和为10，10x12+x

13、22=(x1+x2)2-2x1x2=16-.a=1.f(x)x2-4x+3.10.如右图，动点p从边长为4的正方形abcd的顶点b开始，顺次经c、d、a绕边界运动，用x表示点p的行程，y表示apb的面积，求函数y=f（x）的解析式. 思路解析:由p点的运动方向知当p运动到bc、cd、da上时，分别对应的解析式不同，因此这是个分段函数.解:由已知，得y=11.某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，若蓄水池向居民小区不间断供水，且t小时内供水总量为120t吨（0t24）.（1）供水开始几小时后，蓄水量最少?最少蓄水量是多少吨?（2）若蓄水池中的水量少于80吨

14、时，就会出现供水紧张现象，试问一天的24小时内有多少小时会出现供水紧张现象?并说明理由.解: （1）设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120（0t24）.令 =m（0m2），y=60m2-120m+400=60（m-）2+40.t=6小时时，蓄水量最少为40吨.（2）由y80，得60t-120 +40080.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点p从边长为1的正方形abcd的顶点a出发顺次经过b、c、d再回到a，设x表示p点运动的路程，y表示pa的长，求y关于x的函数解析式.思路解析:p在a、b间运动，即0x1时，y=x.p在b、c间运动，即1<x2时，y=.p在c、d间运动时，同理,得y=，2<x3.p在d、a间运动