第3章321知能优化训练

1、1下列各式正确的是_ (sin) cos(为常数 )； (cosx) sinx； (sinx) cosx； (x 5) 15x 6 .解析： 为常数，则sin为常数， (sin) 0，故错； (cosx) sinx，故错；(sinx) cosx，故对； (x5) 5x 6，故错答案： 2函数 y cosx 在 x6处切线的斜率为 _1解析： y |x6 sin6 2.答案：123质点沿直线运动的路程s 与时间 t 的关系是s 5t，则质点在t 4 时的速度为_14115 4.解析： s t ，当 t 4 时， s ·5555442054答案：204若曲线 y xn(n N* )在 x

2、 2 处切线的斜率为12，则 n _.解析： y nxn1，y|x2 n·2n1 12，n 3.答案： 3一、填空题1已知 f(x) x ，若 f ( 1) 4，则 _.解析： f (x) ·x 1，f( 1) (1) 1 4， 4.答案： 42已知 f(x) x2， g(x) x3，若 f (x) g (x) 2，则 x _.解析： f (x) 2x，g (x) 3x2，于是有2x 3x2 2，解得 x1± 73.答案： 1± 731，则这样的切线有_条3已知函数 f(x) x3 的切线的斜率等于322解析： 设切点为 (x0， x0)，y 3x ，3

3、x0 1，3x0 ±3 ，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条答案： 两4曲线 y x2 上过点 (2,4)的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为 _解析： y 2x，y |x 2y4 4(x 2)，即 4x y 4 4，过点 (2,4)的切线方程为0，令 y0 得切线在 x 轴上的截距为1，故所求面积为 S 1× (2 1)× 4 2.2答案： 25曲线 y x3 在点 P 处的切线斜率为k，当 k 3 时，点 P 的坐标为 _解析： 设切点为 (x ， x3)，y |xx 3x2 3，x ±1.00000答案： (1,1)或( 1，

4、1)6下列四个命题中，正确命题的个数为_若 f(x) x，则 f (0) 0； (logax) xlna；加速度是动点位移函数s(t)对时间 t的导数；曲线 y x2 在 (0,0)处没有切线解析： 因为 f( x) x，当 x 趋向于0 时不存在极限，所以 f(x)在 0 处不存在导数，故1错误； (log ax) xlogae，故错误；瞬时速度是位移s(t)对时间 t 的导数，故错误； y x2 在 (0,0)处的切线为 y 0，故错误答案： 07已知 P( 1,1)，Q(2,4)是曲线 f(x) x2 上的两点， 则与直线PQ 平行的曲线yx2 的切线方程为 _解析：y x2的导数为00

5、004 1y 2x.设切点为 (x，y )，则 y |x x 2x .又PQ 的斜率 k2 111111，切线平行于 PQ.k y |xx0 2x01，x02，切点为 (2，4)切线方程为 y41x2，即 4x4y 1 0.答案： 4x 4y 1 08设曲线n1*)在点 (1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为nnny x(nNx ，令 a lgx ，则 a1 a2 a99 的值为 _解析： 点 (1,1)在函数y xn 1(n N* )的图象上， (1,1)为切点， y xn1 的导函数为y ( n 1)xn，y |x1 n 1，切线是 y 1 (n1)( x1) n令 y 0 得， xn

6、.n 1所以 a1a2 a99 lg(x1x2 x99) lg(1 29899) lg1 2.··· ·答案： 22 399 100100二、解答题9求过曲线 ycosx 上点 P 1且与在这点的切线垂直的直线方程，23解： 因为 y cosx，所以 y sinx. 1曲线在点 P 3， 2 处的切线斜率是3y |x 3 sin3 2 .2所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为，312所以所求的直线方程为y23x 3，23即 2x 3y 3 2 0.xy 2 0 的最短距离10求抛物线 yx2 上的点到直线解： 法一： 依题意知与直线x y 2 0平行

7、的抛物线y x2 的切线的切点到直线 x y2 0 的距离最短，设切点坐标为2(x ， x )001y (x2) 2x，2x01.x02.1 1切点坐标为 (2， 4)11|24 2|72所求的最短距离 d2 8 .法二： 设与抛物线y x2 相切且与直线x y 2 0平行的直线l 的方程为 x y m0(m 2)x ym 0，得 x2 x m 0，由y x2，1其判别式 1 4m 0，m 4.1直线 l 的方程为 x y4 0.1| 24|7 2由两平行线间的距离公式得所求的最短距离d28 .法三： 设点 (x， x2)是抛物线y x2上任意一点，则该点到直线x y2 0的距离 d|x x2

8、2|x2x2|2221 27 2222 |xx 2|2 (x 2)8，17272当 x 2时， d有最小值8，即所求的最短距离为8 .11经过定点 (1,3) 作直线 l 与抛物线 y x2 相交于 A、B 两点，求证：抛物线上A，B 两点处的切线的交点M 在一条定直线上证明： 显然，如果直线 l的斜率不存在，则它与x 轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意故可设直线l的斜率为k，则其方程为y 3 k(x 1)，它与抛物线的交点y 3k x1x x k12A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，由，消去 y 得 x2 kx k 3 0，因此，y x2x1x2 k 3又因为 y 2x，所以抛物线在A，B 两点处的切线的斜率分别为2x1,22x ，切线方程分别为：x x222(x