工程数学拉普拉斯变换

1、目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换1. 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 有定义，且积分当设函数0)(ttf)()(0Csdtetfst的某一域收敛，则在s0)()(dtetfsFst),()(象函数的拉普拉斯变换称为tf)()(tfsF记作目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换)()(1sFtf),()()(象原函数的拉普拉斯逆变换称为sFtf记作注：注：)()()(tetutftf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换满足下列条件：若函数)(tf；的任一区间

2、上分段连续在01tctMetf)(的拉普拉斯变换成立，则)(tf使得及时，存在常数当, 002cMt0)()(dtetfsFst一定存在，在半平面cs )Re(上右端积分在ccs1)Re(，绝对收敛而且一致收敛的半平面内，并且在cs )Re(.)( 为解析函数sF目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace)(变换的求函数tu01 1 dtestsesst110)0)(Re(s解解: :).(为实数求kekt0dteeestktktksekstks110)()(Re(ks 目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -

3、 积分变换解解: :0coscosdtektktst22kss)0)(Re(s).(cos为实数求kkt021dteeestjktjkt1121jksjkssin kt22ksk)0)(Re(s同理同理目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :0dtettst)0)(Re(s.t求01sttdes0011dtestesstst01dtesst21s1!nnsnt)0)(Re(s同理同理目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :).(t求0)()(dtettst0)(dtetstdtetst)(1目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数

4、学 - 积分变换)()()()(2121sFsFtftf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :( )sincosLaplace.f tktkt求函数的变换)(tfsincosLktLkt2222kssksk22(Re( ).kssksk目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换 2.位移位移性质性质 )(Re()()(casasFtfeat0)()(dtetfetfestatat0)()(dtetftas)(asF目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplacecos)(变换的求函数atetfbtcosat

5、22assbsbtatatecoscos22)(absbs目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换 3.延迟延迟性质性质 , 0)(, 0),()(则对任一非负实数又若tftsFtf0)()(dtetftfst有)()(sFetfsdtetfdtetfstst)()(0dtetfst)(tu令0)()(dueufus)(sFes目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace)()(变换的求函数tutf)(tu)(tuesses1)()(sFetfs目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换( )Laplace.f t

6、求下图所示的阶梯函数的变换f(t) 利用单位阶跃函数，可将表解 示为：0( )( )( - )( -2 ) ( -)kf tu tu tu tu t k目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换Laplace利用变换的线性性质及延迟性质有-2111 ( )ssf teesssL-Res( )01,sse当时有，从而-2-1 ( )(1) 11 1-sssf teesseL)()(sFetfs-00 ( )( ),0,1( -) ( -)( )Re(s)c1-skkf tF sf t kf t kF se一般地，若则对任何有（）LLL( )( )( - )( -2 )f tu

7、tu tu t目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace) 1()(2变换的求函数 ttf)(tf2tesses32 12)(2tttftoto1!nnsnt)0)(Re(12223ssss目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换4.相似性质相似性质 1 ()( ),(a0)sf atFaa L+-st0 ()()e ds f atf at证明：L1=( )sFaa-01=() sataf at edasa目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :( )(3 -5)Laplace.f tut求函数的变换

8、由相似性u(3 )=tL1 11=s3s3-5-51 (3 -5) (3 )=sssuteuteLL从而由延迟性得55-3351 (3 -5) (3 -)= (3t)=3ssututeues（LLL目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换4.微分性质微分性质 )0()()(fssFtf00( )( )ststf t esf t edt0( )( )stf tf t edtL L)0()(fssF)()(tfn)0()0()()1(1nnnffssFs时，有当0)0()0()0()1(nfff)()()(sFstfnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变

9、换解解: :.Laplace)()(变换的是正整数求函数mttfm)( !)(tfmm, !)(, 0)0()0()0()()1(mtffffmm由于所以)0()0()0()()1(21mmmmffsfstfs即! 1 ! !mmtssmmm1!mmsmt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换)()(1ttfsF)() 1()()(1tftsFnnn)()(tfdsdttf)() 1()()(sFtftnnn目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplacesin)(变换的求函数ktttf)()(tfdsdttfsin kt22asks

10、inktt22kskdsd222)(2ksks目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :( )sin3Laplace.tf ttet求函数的变换sin3 ttetLsin3 tdetds L1 sin3 sdtds L223(1)3dds s 22 26(1)(Re( )1)(1)3 sss )()(tfdsdttf目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换.Laplace11ln)(逆变换的求函数sssF)()(1ttfsF解解: :)(1)(11sFtsF111111sst)(1tteetttsinh2目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程

11、数学 - 积分变换5.积分积分性质性质 )(1)(0sFsdttft由微分性质，得则有设,)()(0tdttfth. 0)0(),()(htfth且)0()()(hthsth)(ths即)(1)(0tfsdttft)(1sFs)(1)(000sFsdttfdtdtnttt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace3sin)(0变换的求函数tttdttetf积分积分性质性质 )(1)(0sFsdttft3sin0tttdtte3sin1ttest3sin1tedsdst3sin11stdsds223) 1(31sdsds) 1)(Re(3) 1() 1

12、(6222ssss目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :30( )sin2Laplace.ttf ttetdt求函数的变换积分积分性质性质 )(1)(0sFsdttft30sin2ttetdtL31sin2 tetsL212(3)4s s22s(3)4ddss 2222624s+26(Re( )3)(3)4ssss 30sin2tttetdtL30d= -sin2dsttetdtL)()(1ttfsF目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换ttfdssFs)()(1sdssFttf)()(sssndssFdsdsttf)()(-0( )( )

13、stssF s dsf t e dtds -00( )( )= ( )ststsf tf t e dsdte dtf tt L证明证明目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplacesin)(变换的求函数tttfttfdssFs)()(1sinLsin stLt dstsdss112sarctan2)0)(Re(arccotsssdssFttf)()(目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换22s+3Laplace.9s 求函数的逆变换223:( )299sF sss解11223( )299sf tss从而， LL2cos3sin3tt

14、目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换2s+1Laplace.6ss 求函数的逆变换132:( )523F sss解11132( )523f tss从而， LL2-33255ttee目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换22s+5Laplace.4s+13s 求函数的逆变换2222222(s+2)+1(s+2)13:( )=2+(s+2) +3(s+2) +33 (s+2) +3F s 解112222(s+2)13( )2(s+2) +33(s+2) +3f t从而， LL-2-212cos3sin33ttetet 位移位移性质性质 )(Re()()

15、(casasFtfeat目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace) 1(12逆变换的求函数ss积分积分性质性质 )(1)(0sFsdttfttssin1121ttdtss021sin111tcos1目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :22sLaplace.(1)s 求函数的逆变换11222111( )-2 (1)21sf tLtLsssin2tt)()(1ttfsF目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换0,)(21)(tdsesFjtfjjst tetutf)()( dedeeuftjj)()

16、(21ddfejtj)(210)(,)(21djFetj0t目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换也就有0,)(21)()(tdejFtftj有令, sj0,)(21)(tdsesFjtfjjst目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换的所有奇点，是函数若)(,21sFsssn时，且当s，则有0)(sFjjstdsesFj)(21nkkstsesF1,)(Res即0, ,)(Res)(1tsesFtfnkkst目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace1)(2逆变换的求函数sssF.,)(均为一级极点的奇点为

17、jsF,)(ResjesFstjsstsse ) 1(2jtjsstesse212jtstejesF21,)(Res)(tf所以)(21jtjtee0,costt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换1( )Laplace.( +1)(s-2)(s+3)F ss用留数法求的逆变换解：解：Res ( ),-1stF s e-111-,( -2)(3)6sttseessRes ( ),2stF s e2211,( +1)(3)15sttseessRes ( ),-3stF s e-3-311,( +1)( -2)10sttseess)(tf所以-2-3111-61510ttt

18、eee目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换21( )Laplace.s(s-1)F s 求函数的逆变换Res ( ),0stF s e2011,( -1)stsesRes ( ),1stF s es1d1limds sste2s1t1=lim(-)=-ssststtteetee)(tf所以1( -1)te t解：解：目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换21( )Laplace.s (s+1)F s 求函数的逆变换Res ( ),-1stF s e-2-11,ssttseeRes ( ),0stF s es0d1limds s+1ste2s0t(s

19、+1)-=lim()= -1(s+1)ststeet)(tf所以-1tte 解：解：目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换+1212-( )( )( )()f tf tff td目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解:12,0,0( ),( )0,00,0tttetf tf ttt，12( )*( ).f tf t求12( )*( )f tf t12-( )()ff td0()tetd00()( )( )tttee d 1tte 12( )= ( )0f tf t 0t+121212-0

20、t( )()+( )()+( )()ff tdff tdff td 从而0t 由于时12( )*( )f tf tt120( )()ff td目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换+12120( )( )( )()f tf tff td1221( )*( )( )*( )f tf tf tf t123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tf tf tf tf tf t1231323( )( )*( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解:12( )*( ).

21、f tf t求,sin)(,)(21ttfttf设函数tdttt0)sin(sin*ttdtt00)cos()cos(ttsin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换3.卷积定理卷积定理1212( )*( )( )( )f tf tF s F sL L12( )*( )f tf tL L证：证：120( )*( )stf tf t edt1200( )()tstff tdedt120( )()stff tedt dtot-11212( )( )( )*( )F s F sf tf tL L目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换120( )( )sfe

22、F s d12( )( )F s F s()1200( )( )s uff u edu d)ut (令推论：推论：1212( )*( )*( )( )( )( )nnf tf tf tF sF sF sL L120( )()stff tedt d目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace) 1(1)(22逆变换的求函数sssF111)(2211sssF11*12121sstt sin*ttsin目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace) 1()(222逆变换的求函数sssF11)(2211sssssF1*

23、12121sssstt cos*costdt0)cos(costdtt0)2cos(cos21sincos21ttt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换22sLaplace.(1)s 利用卷积求函数的逆变换解解: :11221s ( )11LF sLss11221sL *L 11sssin *costt0sin cos()ttd01sinsin(2)2ttt dsin2tt目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :.Laplace)134(1)(22逆变换的求函数sssF22)134(1)(sssF2223)2(1s22223)2(33)2(

24、391sstest3sin3)2(32221而)3sin(*)3sin(91)(22tetetftt所以目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换)3sin(*)3sin(91)(22tetetftt22()01sin3sin3()9tteetdttdte02)(3sin3sin91ttdtte023cos)36cos(2191)3cos33(sin5412tttet目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :，为正整数已知函数),()(,)(21nmttfttfnm)()()(*)(2121tftftftf12( )*( )f tf t求nmtt1

25、1!nmsnsm(11)!m nm ns 所以所以 !)(*)(1)1(121nmsnmtftf.)!1(!1nmtnmnm目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换微分、积分方程象函数的(代数、微分)方程象原函数(方程的解)象函数目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换解解: :满足条件求方程teyyy 32).()(0),(sYtytty 且设方程的解为1)0(, 0)0(yy.的解变换，得方程两边取Laplace)()(tfn)0()0()()1(1nnnffssFs21( ) 12( )3 ( )1s Y ssY sY ss )3)(1)(1(2)

26、(sssssY整理得目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换)3)(1)(1(2)(1sssstf所以31,)3)(1)(1(2Reskkstsessss 1,)(ResstesYte41te83te381 1 ,)(ResstesY3,)(ResstesY目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换-3 +2tyyye求方程满足条件1)0(, 0)0(yy.的解解解: :).()(0),(sYtytty 且设方程的解为变换，得方程两边取Laplace21( ) 1-3( )+2 ( )1s Y ssY sY ss2( )(1)(1)( -2)sY ssss

27、整理得目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换12( )L (1)(1)( -2)sf tsss所以312Res,(1)(1)( -2)stkksessss 1,)(ResstesY16te3-2te24+3te 1 ,)(ResstesYRes ( ),2stY s e目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 - 积分变换Laplace21(0)0,(0)1yyyyy 利用变换求解微分方程ssYssYsYs1)()(21)(2解解: :).()(0),(sYtytty 且设方程的解为变换，得方程两边取Laplace111) 1(1) 12(1)(2sssssssssY整理得( )1ty te 求逆变换得例例2: :目录 上页 下页 返回 结束 工程数学工程数学 -