概率统计的MATLAB求解

1、1 1第第10讲讲 MATLAB求解概率统计问题求解概率统计问题2 2一一 随机变量及其分布随机变量及其分布n超几何分布超几何分布H(n,M,N)命令命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，件产品，其中次品其中次品N 件，抽取件，抽取K件检查，计算发现次品不件检查，计算发现次品不多于多于x件的概率件的概率Fx=P次品数次品数Xx=F(x)命令命令2：x=hygeinv(p,M, N,K)功能：在已知参数功能：在已知参数M、N 、 K和和p的情况下计算随的情况下计算随机量机量x，使得，使得p=P0次品数次品数

2、Xx命令命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)功能：在已知参数功能：在已知参数M,N ,K的情况下产生的情况下产生m*n维符合维符合超几何分布的随机数矩阵超几何分布的随机数矩阵XKMiKMiNCCCNiXP3 3命令命令4：Px=hygepdf(x,M, N, K)功能：总共功能：总共M件产品，其中次品件产品，其中次品N 件，抽取件，抽取K件检查，件检查，计算发现恰好计算发现恰好x件次品的概率件次品的概率Px=PX=x命令命令5：stairs(x,Px)功能：绘制以功能：绘制以 x为横坐标，为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图；为纵坐标的阶梯平面图；当当Px是分布列是分布列(或密度或密

3、度)时，绘制概率密度分布图；时，绘制概率密度分布图；当当Px是累积分布时，绘制概率分布函数图是累积分布时，绘制概率分布函数图注：注：以后碰到命令末尾为：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数产生随机数X； cdf-产生分布函数产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数产生密度函数p(x)或分布列或分布列Px=PX=xinv-计算计算x=F-1(p) p=F (x)4 4n二项分布二项分布B(n,p)命令命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率功能：计算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=binoinv(y, n,p)功能：计算随机量功能：计算随机

4、量x，使得，使得y=PXx命令命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产生功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵维符合二项分布的随机数矩阵X命令命令4：Px=binopdf(x,n, p)功能：计算试验中事件恰好发生功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率次的概率Px=PX=xknkppkXP)1 (knC5 5n泊松分布泊松分布XP()命令命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=poissinv(p, lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=poiss

5、rnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率功能：计算概率Px=PX=x!kekXPk6 6n正态分布正态分布XN(,2)命令命令1：Fx=normcdf(x, mu,sigma)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=norminv(p, mu,sigma)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=normpdf(

6、x, mu,sigma)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：randn()-标准正态分布随机数标准正态分布随机数dxexXPxx22)(21217 7n指数分布指数分布Xexp()命令命令1：Fx=expcdf(x, lambda)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=expinv(p, lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=exppdf(x, lambda)功能：计算分布

7、密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值0001 xxexXPx8 8n均匀分布均匀分布XU(a,b)命令命令1：Fx=unifcdf(x, a,b)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=unifinv(p, a,b)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=unifpdf(x, a,b)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：rand()-(0,1)均匀分布随机数均匀分布随机数9 9n分布分布

8、命令命令:gamcdf(x, a, lambda), gaminv(p, a, lambda)gampdf(x, a,lambda), gamrnd(a, lambda,m,n)21(,1)1(),1()()(000)()(011aaadxexaxxeaxxfxaxaa满足：其中密度函数：1010n2 2分布分布命令命令:chi2cdf(x, k), chi2inv(p, k),chi2pdf(x, k) chi2rnd(k,m,n)000)2(21)(21222xxexkxfxkk密度函数：1111nT T分布分布命令命令:tcdf(x, k), tinv(p, k),tpdf(x, k)t

9、rnd(k,m,n)212)1 ()2()21()(kTkxkkkxf密度函数：1212nF F分布分布命令命令:fcdf(x, p,q), finv(F,p,q),fpdf(x, p,q)frnd(p,q,m,n)000)()2()2()2()(21222xxqxpxqpqpqpxfqppqpF密度函数：1313n例例1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率次，落下为正面的概率为为0.5。这。这100次中正面向上的次数记为次中正面向上的次数记为X：(1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。绘制分布函数图象和分布列图

10、象。程序：程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5) % 计算计算x=45的概率的概率 px = 0.0485fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算计算x45的概率的概率 fx =0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图分布函数图)1414p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图概率分布图）1515n例例2设设XN(2,0.25)(1) 求概率求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象绘制分布函数图象和分布密度图

11、象;(3)画出区间画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。上的分布密度曲线下方区域。程序程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5) p = 0.8186(2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数正态分布函数,正态分布密度正态分布密度);(3) specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5)161600.511.522.533.5400.10.20

12、.30.40.50.60.70.8Probability Between Limits is 0.26209DensityCritical Value1717二二 随机变量函数的分布随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量如果已知随机变量X的密度的密度fX(x),随机变量函数随机变量函数Y=g(X)单调，则单调，则Y的密的密度函数为：度函数为： fY(x)= fX(h(y)|h(y)|,其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数。的反函数。如果如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：间

13、进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程编程dyydFyfdxxfyXgPyYPyFYYyXgXY/)()()()()()(1818n例例3设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布U0,1，求，求Y=eX的的分布。分布。程序：程序：clear;x=solve(y=exp(x) x=log(y)dy=diff(x,y) dy=1/yfy= 1*abs(dy) fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！1919三三 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n随机变量的数学

14、期望随机变量的数学期望1.数组的平均值数组的平均值-Y=mean(X)功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或或m=mean(X(:)与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(max),最小最小(min)等等2.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P

15、的乘积之和的乘积之和3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望2020n例例4设随机变量设随机变量X的分布列，求期望。的分布列，求期望。程序：程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p) 1.3750X-1023P1/81/43/81/42121n例例5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。程序：程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1) EX=

16、1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; a,b=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5其他100)(2 xbxaxf2222n例例6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的期望。程序：程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf) EY= 1其他05 . 05 . 0)(xeexfxxdxxfxgEY)()(2323n随机变量

17、的方差随机变量的方差1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当功能：当X为向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：差值，应用嵌套：var(var(X) 缺省缺省1，计算：，计算：否则计算：否则计算：2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和功能：用法和1的解释同上的解释同上3. 一般随机变量的方差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算功能：用积分

18、或级数编程计算niixxnS122)(11niixxnS122)(12424n例例7设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量X的期望和方差。的期望和方差。程序：程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 其他2|02cos2)(xxxf2525n常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差1.二项分布二项分布-E,D=binostat(n,p)说明说明:n,p可以是标量可以是标量,向量向量,矩阵矩阵,则则E,D是对应的标量

19、是对应的标量,向量向量,矩阵矩阵2.超几何分布超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等等等2626n协方差与相关系数的计算协方差与相关系数的计算1.随机变量的随机变量的协方差协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的随机变量的相关系

20、数相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差统计数据的协方差cov(X)-当当X为向量时为向量时,cov(X)=var(X);当当X为矩阵时为矩阵时,结果结果为为X的协方差矩阵的协方差矩阵.对角线是对角线是X每列的方差每列的方差,Xij为为X的第的第i列列和第和第j列的协方差值。列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量计算向量X和和Y的协方差值的协方差值4.统计数据的相关系数统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与说明与用法与cov()相同相同2727n矩的计算矩的计算1.随机变量的随机变量的k阶中心矩阶中心矩-Bk=mo

21、ment(X,k)2.随机变量的随机变量的k阶原点矩阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X)kniikxxnB1)(1kniikxnA1)(12828n常用分布的参数估计常用分布的参数估计1.正态分布的参数估计正态分布的参数估计格式：格式：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)功能：数组功能：数组X服从正态分布服从正态分布,给定显著水平给定显著水平alpha,缺省时为缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时为矩阵时,针对针对列进行计算。列进行计算。2.二项分布的参数估计

22、二项分布的参数估计(n重已知重已知,p未知未知)格式：格式：phat,puci=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的参数估计泊松分布的参数估计格式：格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X, alpha)4.均匀分布的参数估计均匀分布的参数估计格式：格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha)29295.指数分布的参数估计指数分布的参数估计格式：格式：lbdhat, lbdci=expfit(X,alpha)6.通用命令通用命令mle()格式：格式：输出参数项输出参数项=mle(分布函数名分布函数名,X,alpha ,N)说明：分布函数名有

23、：说明：分布函数名有：bino(二项二项),geo(几何几何),hyge(超几何超几何)poiss(泊松泊松),uinf(均匀均匀),unid(离散均匀离散均匀),exp(指数指数)norm(正态正态),t(T分布分布),f(F分布分布),beta(贝塔贝塔),gam(伽吗伽吗)N当二项时需要，其他没有。当二项时需要，其他没有。3030n例例8设生成一组均值为设生成一组均值为15,方差为方差为2.52的正态分布的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参的参数估计。数估计。程序：程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1); 或

24、或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha)运行一次：运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.347815.8674 sc=1.97093.07033131n例例9设从一大批产品中抽取设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知个产品，经检验知有有60个一级品，求这批产品的一级品率个一级品，求这批产品的一级品率(置信度置信度95%)。程序：程序：clear; alpha=0.05;N=100;X=60;Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：运行一次：Ph=0.6000 Pc

25、=0.49720.6967 四四 参数估计参数估计3232五五 假设检验假设检验n单正态总体均值的假设检验单正态总体均值的假设检验1.方差已知方差已知(u检验或检验或z检验检验)格式：格式：H,P,ci,Zval=ztest(X,Mu,sigma,alpha,tail)功能：对正态分布总体的采样功能：对正态分布总体的采样X进行进行Z检验，判断采样的均值在检验，判断采样的均值在已知的标准差已知的标准差sigma下是否等于假设值下是否等于假设值Mu；给定显著水平；给定显著水平alpha,缺省时为缺省时为0.05；tail是假设的备选项是假设的备选项(即备择假设即备择假设 )，有，有三个值：三个值：

26、tail=0是默认值，可省略是默认值，可省略,说明备选项为说明备选项为均值不等均值不等于于 M； tail=1,说明备选项为说明备选项为均值大于均值大于 M； tail=-1,说明备说明备选项为选项为均值小于均值小于 M。H=0说明接受原假设，说明接受原假设，H=1拒绝原假拒绝原假设；设；P为假设成立的概率，为假设成立的概率，P值非常小时对假设置疑；值非常小时对假设置疑；ci给出给出均值的置信；均值的置信；Zval给出统计量的值。给出统计量的值。3333n例例10某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值

27、为从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值为50kg，标准差，标准差1。某日随机的抽取了。某日随机的抽取了9袋，重量分别为：袋，重量分别为：49.7，50.6，51.8，52.4，49.8，51.1，52，51.5，51.2机器运转是否正常？机器运转是否正常？程序：程序：clear;x=49.7,50.6,51.8,52.4,49.8,51.1,52,51.5,51.2;sigma=1;mu=50;h,p,ci,z=ztest(x,mu,sigma)结果：结果：h=1 %拒绝原假设即认为机器不正常拒绝原假设即认为机器不正常p =7.6083e-004 %p=0.00076083很小，对假设

28、置疑很小，对假设置疑ci = 50.4689 51.7755 %均值偏高均值偏高z =3.36673434n单正态总体均值的假设检验单正态总体均值的假设检验2.方差未知方差未知(t检验检验)格式：格式：H,P,ci,stats=ttest(X,Mu, alpha,tail)功能：对正态分布总体的采样功能：对正态分布总体的采样X进行进行t检验，检验，对对H,Mu,alpha,tail,P,ci的解释同上；的解释同上；stats是个结构，包含三个是个结构，包含三个元素：元素：tstat(统计值统计值)、df(自由度自由度)和和sd(样本标准差样本标准差)。n例例11某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于某

29、灯泡厂出厂的标准是寿命不少于2000小时，现随机的小时，现随机的从该厂生产的一批灯泡中抽取了从该厂生产的一批灯泡中抽取了20只，寿命分别为：只，寿命分别为：1558，1627，2101，1786，1921，1843，1655，16751935，1573，2023，1968，1606，1751，1511，12472076，1685，1905，1881假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准？假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准？(a=0.01)3535原假设原假设H0：x2000 备择假设备择假设H1：xFColumns 55.5471 5 11.1094 3.5

30、254 0.0214 Error 56.7225 18 3.1512 Total 112.2696 23 stats = gnames: 6x1 char n: 4 4 4 4 4 4 source: anova1 means: 5.4500 5.4250 7.4500 7.9000 8.8250 9.3750 df: 18 s: 1.7752 %总体标准差的无偏估计总体标准差的无偏估计49495050n例例17将四种工艺下生产的灯泡进行寿命测试，得将四种工艺下生产的灯泡进行寿命测试，得到数据表：到数据表： 工艺试验A1A2A3A4116201580146015002167016001540155031700164016201610417501720168051800试检验工艺对寿命有无显著影响。试检验工艺对寿命有无显著影响。(=0.05)5151程序：程序：clear;X=1620,1670,1700,1750,1800,1580,1600,1640,1720,1460,1540,1620,1500,1550,1610,1680;group=1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4;p,tab,stats=anova1(X,group,on)结果：结果：p = 0.0331tab = Source SS df MS F ProbFGroups 62820