实变函数答案(魏勇版)

1、.*. 1EmE有界，则证明：若,1iniibaIE区间有界，所以证明：由于于是满足,EI.)(*1iiniabIImEm于是则证明：设, ,121nnnaEaaaE0,)(01*1*nnnnamamEm. 0. 2为证明：可数集的外测度. 0*Em故，则对是直线上一有界集，设0*. 3EmE.*,),*, 0(00cEmEEEmc使得.,EbaE以是直线上一有界集，所证明：由于,)(),(*)(,baxfExamxfbax在，下证令对.连续),(*),(*)()(00ExamExamxfxf,*),(*00ExxmExaxam，有当，对000, 0,xxxbax.0 xx.)()(000 x

2、fxfxxx时也有同理当又连续单增在连续，从而在故.)(,)()(0baxfxxf知，对由连续函数的介值定理，EmEbambfEamaf*),(*)(, 0)(*)(使得,), 0()(),(*baEmbfafc.),()(*cEamf.,0*0cEmEEaE使得即集，是一些互不相交的可测设nSSS,. 421.)(), 2 , 1(1*1*niiiniiiEmEmniSE，证明：，互不相交可测，证明：由于iinSESSS,21知，及定理，所以由1 . 2 . 212211CSSESE.)(2*1*21*EmEmEEm，可测，则由设nnnniiiniSESEmEm11*1 -1*)(，得nin

3、iiniCSSE1 -11 -1ninininiiniEmEmEEmEm*1 -1*1 -1*1*)()()(.1*11*niinniiEmEmEm. 5型集为型集为证明：GCFFF),(闭型集为证明：iiIiFaIFFFF).,()(开iiIiiIiCFaICFFCCF.型集为GCF. 6型集型集又是证明：开集、闭集既是GF，闭知开，由第一章习题证明：设)(271iiiFFGG .1型集又是，故又型集是即GGGGFGi .型集型集又是由对偶性知闭集既是GF型集；型集又是既是证明：GF 1 , 0).(1 (. 7型集；型集不是是GFQ).2(.).3(型集型集不是是FGQR，题知，闭集由证明

4、：iiG1 1 ,(6).1 (于是开、其中开集.), 0(1iiiiHGH）（）（iiiiHG11), 0( 1 ,( 1 , 0(闭，故，其中又开集iiiFF1) 1 , 0(.1)(1) 1 , 0( 1 , 0(1型集又是FFii.型集是G型集；型集不是是GFQ).2(QrrrrrQnnnn闭，所以由于设,121.型集是F.).3(型集型集不是是FGQR.型集是型集是GQRCQFQ矛型集是型集，则是若,)(GQQRCFQR.型集不是盾，故FQR集合作成集合类的基证明：直线上所有可测. 8.类的基数数等于直线上所有集合,11REEREE可测集证明：设.下证，即有则，有，且对由于康托集00

5、000,PEmPcPP.*使得，即证.,. 0*0*则令PEEmE)(xfyx111010RPfRP：，即由于,)(110*REEREfEPEE于是.*从而.故为可测集，且则证明：若nnnnEEmlim,. 91*. 0)lim(nnEm)()()lim(0*1*nNnnNnNnnEmEmEm收敛，即级数证明：由于1*1*,nnnnEmEm所以),(0*NEmNnn. 0)lim(lim, 0)lim(*nnnnnnEmEEm可测，且故于是.)(,)().1 (.10可测上可测在证明：rfEQrExf上可测？是否在可测，若对ExfrfEQr)()(,).2(上可测？是否在可测，若对ExfafE

6、Ra)()(,).3(1.).1 (”显然成立“证明：严格单增有理数列”“,1nrRa).()(1nnrfEafE且可测，可测，所以由于对)()(,afErfEQr.)(上可测在故Exf，有arnarnn),(a(nr.)()(,).3(1上可测在可测，推不出对ExfafERa令，如取不可测集. 1 , 0(0E，00, 1 , 0(,)(ExxExxxf即或为单元素集或为则对,)(1 , 0( ,1aafRa)(,)0(1 , 0(.)(1 , 0(0 xfEfaf从而不可测但恒可测. 1 , 0(上不可测在在可测，更推不出知对由)()(,) 3().2(xfrfEQr.上可测E上在上单增，

7、则在证明：若,)(,)(.11baxfbaxf.可测上在上单增，所以在证明：由于,)(,)(baxfbaxf.,)(.上的间断点集，在是设的间断点至多可数baxfE连续，上又在可测集可测，且则)(,. 0 xfEbamEE故上可测在又上可测在从而,)(;,)(ExfEbaxf.,)(上可测在baxf它的收敛上的可测函数列，证明为设Exfn)(.12.测集点集和发散点集都是可上的收敛点集，则对在为证明：设ExfEn)(0收敛，即)( ,000 xfExn有对时使得当对, 1, 1, 1pNnNk.1)()(00kxfxfnpn).1(1110kffEEnpnpNnNk于是)()(, 1, 1xf

8、xfpnEnpn对上的可测函数列，所以上的可测，故在从而上的可测在ExfxfEnpn)()(,.)(.00也可测上的发散点集在于是可测EEExfEn为由于)(xfn, 1 , 0, 1, 1)( 1 , 0.13ExExxfE，令设不可测集么？可测，为什是否在可测，是否在问 1 , 0)( 1 , 0)(xfxf, 0a解：由于对Efaf）（）（0 1 , 0 1 , 0. 1 , 0)(不可测在不可测，所以xf. 1 , 0)( 1 , 01)(可测在；所以，但xfxxf有限的可上的是定义在，设a.e)(.14ExfmEn上的有限函数，且是定义在测函数列，Exf)(与可测子常数，则对于cEx

9、fxfn, 0a.e)()(.0，满足集EE)., 2 , 1,()(,)(00nExcxfEEmn使得，定理，证明：由,0EEEropob.)()(,4)(ExxfxfEEmn ，且一致)()(01kfEmfmEnkn：又对n()kk渐缩）关于（kkfEn)().(lim)(limkfmEkfEmnknk.2)(1, 01nnnnkfmEKkK，有，当即对.2)(1nnnKfmE特别地，有，知同理，由)(lim)(0kfmEfmEk.4)(KfmEK，有，记)()(1*nnnKfEKfEE，且，则可测集EEEEEEE0*0)()()()(*0EEmmEEEEmEEm)()()(1EEmKfE

10、mKfmEnnn.2242411nn知，对，且由一致)()()(00EEExxfxfn ，有对，当，1)()(,100 xfxfExNnNn.1)()()()(Kxfxfxfxfnn从而，则对记021,1 ,maxExnKKKKcN.)(cxfn有上为上的连续函数，是设,)(),()(.15baxgxf.,)(上的可测函数为的可测函数，则baxgf函上可测，所以存在简单为证明：由于,)(baxg设数列.,),()(baxgxn., ,)()(1)()(niminininEbaExcxn，)(1)()(, ,)()(niminininEbaExcfxfn连上的简单函数列，又也为即),(,)(fb

11、axfn续，所以，)()(lim()(limxgfxfxfnnnn则.,)(上的可测函数为故baxgf，使互异，证明：)( )(afExafExn，上的连续函数，则对为闭集设RaExf)(.16.)()(恒为闭集和afEafE.)().(axfExnxxnnn，且即得即连续在上连续，从而在由于闭，所以又,.xfEfExE.)()lim()(limaxfxfxfnnnn.)(.)(),(闭同理可证闭故于是afEafEafEx，且于设), 2 , 1)()()()(.17nxgxfExfxfnnE.a.e)()(于证明：xgxf，所以对又), 2 , 1)()(nxgxfn定理，所以由于证明：由于

12、RieszFExfxfn.)()(. 0)(.e . a )()(ffmEExfxfiinn于是于子列知，且)()(),)()(xgxfixfxfiinn有),(ffEExin.e . a )()().()(lim)(Exgxfxgxfxfini于故于是，闭集，对鲁津定理的逆定理：若EF0.18上可测，在则上连续，且在使得EfFEmEf,)(.e . a 有限连续，在，使得闭集，证明：由于对nnFfEFn.1)(nFEmn且，且，则可测集令EEFEnn010，)(01)()(00nnFEmEEmn. 0)(0EEm即.0上有限可测在下证Ef有限可测，从而在连续，所以在，由于对nnFfFfn集合

13、又对有限在,.0RaEf)()(10afFafEnn.0可测在可测，所以Ef.e . a 有限可测在故Ef. 00mE定理，所以由于证明：由于RieszFExfxfn.)()(ExfxfExfxfnnn于，且于设e . a )()()()(.191.e . a )()(), 2 , 1(Exfxfnn于，证明：，所以于又), 2 , 1(e . a )()(1nExfxfnn. 0)(1nnffmE )(), 2 , 1()()(01xfnEExfxfnnn，即于由于. 0)(.e . a )()(ffmEExfxfiinn于是于子列知，则记)()(110nnnnffffEEi收敛子列单增；又

14、上关于在nEE0.e . a )()(Exfxfn于故.)()()()(00EExfxfEExfxfnni于，于是于ExgxfExfxfnnn于，且于设e . a )()()()(.20.)()(), 2 , 1(Exfxgnn于，证明：，有，所以对于证明：由于0)()(Exfxfn. 0)(010mEgfEEnnn，则记，且有对)()(,0 xgxfEExnn)()()(00fgEEfgEfgEnnn. 0)(limffmEnn. 0)(e . a )()(nnnngfmEExgxf，所以于又，)()(000ffEEffEEEnn),(0)()(0nffmmEfgmEnn. 0)(limfg

15、mEnn即.)()(Exfxgn于故.)(),(max)(),(max).5()(),(min)(),(min).4(.)()().3()()()()().2()()()()().1 ()()()()(), 2 , 1)()(.21ExgxfxgxfExgxfxgxfExfxfExgxfxgxfExgxfxgxfExgxgExfxfEnxgxfmEnnnnnnnnnnnnn于；于；于；于；于，则于，于且处有限的可测函数列，上几乎处为、，设)1 . 5 . 2(证明利用推论，由于子列对证明：mEgfiinn).1 (，于，于且ExgxgExfxfnn)()()()(，于的子列所以Exfxffjiinna.e)()(，于的子列Exgxggkjiinna.e)()(，于于是Exgxfxgxfkjikjinna.e)()()()(.)()()()(1 . 5 . 2Exgxfxgxfnn于知由定理).2(同理可证，且，由于子列对mEfin).3(，于Exfxfn)()(，于的子列所以Exfxffjii