【典型题】数学高考模拟试题(含答案)

1、典型题】数学高考模拟试题 （ 含答案 ）一、选择题1某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化 学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A 24B16C8D122现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1A21B31C6D1123已知变量 x与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3.5 ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是Ay 0.4x2.3By 2x2.4Cy 2x9.5Dy 0.3x 4.44已知函数 fx Asin x0,0 的图象与直线a 0 a A

2、 的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8 ，则 f x的单调递减区间是（A 6k ,6k 3 ， k ZB6k3,6kkZC 6k,6k 3 ， k ZD6k3,6k ，30121p1pP222则当p在5设 0 p 1 ，随机变量 的分布列如图，0,1 内增大时，（ ）A D减小B D 增大C D先减小后增大D D先增大后减小6甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P(A |B)等于（ ）ABC1D37为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的

3、2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是1AB 22 C35D68已知全集 U 1,3,5,7 ，集合 A 1,3 ，B 3,5 ，则如图所示阴影区域表示的集合 为（ ）A 3B7C 3,7D1,3,59已知平面向量 a, b 是非零向量 ,| a|=2, a（a+2b ）, 则向量 b 在向量 a方向上的投影 为（）A1B- 1C2D- 210在ABC中， P是BC边中点，角 A、B、C 的对边分别是，若cAC aPA bPB 0，则 ABC的形状为（ ）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰三角形但不是等边三角形 .11 函数 f x sin 2 x的图象向右平移

4、个单位后关于原点对称，则函26数 f x 在 ,02上的最大值为（）1A2B2C2D12已知向量 m1,1，n2,2 ，若 m nm n ，则A4B3C 2D二、填空题13函数 f x2 x 2x 62, x 0 lnx,x的零点个数是 0ABBC14 如图所示，平面 BCC1B1平面 ABC， ABC120 ，四边形 BCC1B1为正方形，且 2，则异面直线 BC1与 AC所成角的余弦值为 15已知 sincos1，cossin0，则 sin 16已知圆 C经过 A(5,1), B(1,3)两点，圆心在 x轴上，则 C的方程为 17学校里有一棵树，甲同学在 A地测得树尖 D的仰角为 45 ，

5、乙同学在 B 地测得树尖 D 的仰角为 30 ，量得 AB AC 10m，树根部为 C( A, B,C在同一水平面上)，则 ACB .bcosC 1 cos2C18在ABC中，角 A ， B ， C的对边分别为 a，b，c，若 bcosC 1 cos2C ，C ccosB 1 cos2 B1是锐角，且 a 2 7， cosA，则 ABC的面积为 319设等比数列 an 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an 的最大值为20 函数 y lg 1 2sin x 的定义域是 三、解答题21已知 f x ln x a 1 x .(1) 讨论 f x 的单调性；(2) 当 f x 有最

6、大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围 .tcos (t 为参数， 0 )以坐 t sinC的极坐标方程为x22 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为y标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 24 4 cos 2 sin ( ) 写出曲线 C 的直角坐标方程；()若直线 l 与曲线 C交于 A，B两点，且 AB的长度为 2 5 ，求直线 l 的普通方程 23某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为 3， 3， 4，现从这 10人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会1 设 A 为事件 “选出的 2 人参加义工活动

7、次数之和为 4 ”，求事件 A 发生的概率；望24已知 2x 256且log 2 x25 如图：在 ABC中， a2 设 X 为选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期1 x x2 ，求函数 f ( x) log 2 log 2 的最大值和最小值10 ， c 4 ， cosC 5 .5（1）求角 A ；（2）设 D为 AB的中点，求中线 CD 的长.26在ABC中， BC a， AC b，已知 a，b是方程 x2 2 3x 2 0的两个根， 且 2cos（ A B） 1 （1）求角 C 的大小；（2）求 AB 的长【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选

8、择题1B 解析： B【解析】【分析】 根据题意，可分三步进行分析：（ 1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体， 考虑其顺序；（ 2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3 个空位；（ 3）数学课不排第一行，有 2个空位可选，在剩下的 2个空位中任选 1 个，得数学、物理的安排方法，最后 利用分步计数原理，即可求解。【详解】 根据题意，可分三步进行分析： （1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22 2 种情况；2（2）将这个整体与英语全排列，有 A22 2 中顺序，排好后，有 3 个空位；（3）数学课不排第一行，有 2个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选

9、1个， 安排物理，有 2 中情况，则数学、物理的安排方法有 2 2 4种， 所以不同的排课方法的种数是 2 2 4 16 种，故选 B 。【点睛】 本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻 问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。2B解析： B【解析】【分析】求得基本事件的总数为n C42C222 A22 6 ，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事 A2222 2 2件个数为 m C22C22A22 2 ,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222m C2C2 A2

10、2,【详解】 由题意，现有甲乙丙丁4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为 nC42C22 A2A22 A26，m1 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为 p ，故选 B.n3点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应 用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典 概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 . 3A解析： A【解析】试题分析：因为 与 正相关，排除选项 C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心 ，故排除选项 B；故选 A考点：线性回归

11、直线 .4D 解析： D 【解析】 【详解】 由题设可知该函数的最小正周期 T 8 2 6 ，结合函数的图象可知单调递减区间是2 4 4 8 6k, 6k(k Z) ，即3 6k,6 6k(k Z) ，等价于 6k 3,6k ，应选答 22f x Asin x案 D 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数(A 0, 0) 的图象与直线 y a(0 a A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8 ”结合图像很容易观察出最小正周期是 T 8 2 6 ，进而数形结合写出函数的 单调递减区间，从而使得问题获解5D解析： D【解析】【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性

12、【详解】1p1p1E( )012p22221p12112p1221D( )(0p)2 (1p)2(2p )2p p ，22222241(0,1) ， D( )先增后减，因此选 D.2 【点睛】n n nE( )xi pi,D( )(xi E( )2 pixi2pi E2( ).i 1 i 1 i 1 6C 解析： C【解析】【分析】 这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的 个数，即可得出结果 .【详解】甲独自去一个景点，则有 3 个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘 法计数原理可得，对应的基本事件有 3 2 2 12 种；另外，三个人去

13、不同景点对应的基 61本事件有 3 2 1 6种，所以 P(A / B)，故选 C.12 2【点睛】 本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键 .7C解析： C【解析】试题分析：将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有26 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4 种，故所求概率为，选 C.3 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大 ,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏 ,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举8B 解析： B 【解析】 【分析】先求出 A B ，

14、阴影区域表示的集合为 U A B ，由此能求出结果 【详解】全集 U 1,3， 5， 7 ，集合 A 1,3 ， B 3,5 ，A B 1,3， 5，如图所示阴影区域表示的集合为：U A B 7 故选 B 【点睛】 本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集 合思想，是中等题9B解析： B【解析】2，再根据投影的定义即可求出【分析】先根据向量垂直得到 a (a +2b ),=0 ，化简得到 【详解】平面向量 a,b是非零向量 ,| a|=2,a(a+2b ), a (a +2b ),=0，即 a2 ·a 2b 0即 a b= 2方向上的投影为aa&

15、#183;b2 = 1，本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关键在于 要求熟练应用公式10C 解析： C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得根据共面向量基本定理得：ABC 为等边三角形。 故答案为：等边三角形。11B解析： B【解析】【分析】由条件根据函数 y Asin x 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得 k， k z ，由此根据 | 3详解】| 求得 的值，得到函数解析式即可求最值2函数 f x sin 2x的图象向右平移 6 个单位后，得到函数 y sin 2 xsin 2x3 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得 k， k

16、z ，由题意2,0，得 2xsin2x43 sin2x1, 3 ，2函数 f x sin2x在区间32,0 的最大值为 23 ，故选 B 【点睛】本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题12B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 (m n) (m n) ， (m n) (m n) 0.22 ，即 ( 1)2 1 ( 2)2 4 0 ，3,，故选 B.【考点定位】 向量的坐标运算 二、填空题132【解析】【详解】当 x0时由 f (x)=x22=0解得 x

17、=有 1 个零点；当 x >0函数 f(x)=2x6+lnx 单调递增则 f (1)< 0f (3)> 0此时函数 f (x) 只有一个零点所以共有 2 个零点故答案为： 解析： 2 【解析】 【详解】当 x0时，由 f(x)=x22=0，解得 x= 2 ，有 1 个零点；当 x>0，函数 f(x)=2x6+lnx ，单调递增，则 f(1)< 0，f(3)> 0，此时函数 f(x)只有一个零点，所以共有 2 个零点 故答案为： 2【点睛】判断函数零点个数的方法 直接法(直接求零点)：令 f(x) 0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法(零点

18、存在性定理)：利用定理不仅要求函数的图象在区间a， b上是连续不断的曲线，且 f(a) ·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多 少个零点， 图象法(利用图象交点的个数)：画出函数f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴交点的个数就是函数 f(x)的零点个数；将函数 f(x)拆成两个函数 h(x)和 g(x)的差，根据 f(x) 0? h(x) g(x)，则函数 f( x)的零点个数就是函数 yh(x)和 y g(x)的图象的交点个数， 性质法(利用函数性质)：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的 函数是周期函数

19、，则只需解决在一个周期内的零点的个数 14【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值 【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析： 64【解析】【分析】将 AC 平移到和 BC1 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值 .【详解】过 B作 BD / /AC ，过 C作CD/ /AB ，画出图像如下图所示，由于四边形 ABCD是平行 四边形，故 BD/AC，所以 C1BD 是所求线线角或其补角 .在三角形 BC1D 中，8 12 8 62 2 2 2 3 4BC1 C1D 2

20、2,BD 2 3，故 cos C1BD点睛】 本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属 于中档题 .15【解析】【详解】因为所以 因为所以 得即解得故本题正确答案 为1解析： 12【解析】【详解】因为，所以，因为，所以， 得 ， 即，解得 ，故本题正确答案为16【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详 解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令 解析： ( x 2)2 y2 10.【解析】【分析】 由圆的几何性质得，圆心在 AB的垂直平分线上

21、 ,结合题意知，求出 AB 的垂直平分线方 程，令 y 0 ，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】 由圆的几何性质得，圆心在 AB的垂直平分线上 ,结合题意知， AB 的垂直平分线为 y 2x 4 ，令 y 0，得 x 2，故圆心坐标为 (2,0) ，所以圆的半径(5 2)2 (1 0)2 10 ，故圆的方程为 (x 2)2 y2 10.【点睛】 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题17【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应 的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中 在中 在中故 答案为：【点睛

22、】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析： 30【解析】【分析】作出立体图 ,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB即可 .【详解】如图所示 ,在 Rt ACD中, AC 10m, DAC 45 , DC 10m DBC 30 , BC 10 3m.102 10 3 1023, ACB 30 .在 RtDCB 中, ACB2 10 10 3 2【点睛】 本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题 , 依据题意正确画出立体图形 ,确定边 的关系再利用余弦定理求解即可 .属于基础题 .18【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根

23、据可得从而然后根 据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得 又为三角形 的内角 或又 于是由余弦定理得即解得故 故答案为【点睛】正余弦定理 解析： 7 2【解析】【分析】bcosC 1 cos2Csin B cosC由 及三角变换可得 ，故 sin2B sin2C ，于是得到 ccosB 1 cos2Bsin C cosBB C或 B C ，再根据 cosA 1可得 B C，从而 b c ，然后根据余弦定理可求23bcosC由1 cos2C ，得 sin BcosCccosB1 cos2 BsinCcosB cosC0,cos B 0 ，sinBcosCsinCcosB sin2B

24、sin2C ，又 B,C 为三角形的内角，出 b c 21 ，于是可得所求三角形的面积 【详解】22cos C ， 2，2cos2 B B C或 B C ，21 又 cosA ，3 B C ，于是 b c 2 2 2 由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bcosA, 即 2 7b2 b2 2b2，3 解得 b 21 ，故 c 21 S ABC 1 bcsinA 1 21 21 2 2 7 2.2 2 3 故答案为 7 2 【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档

25、题19【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最 大值考点：等比数列及其应用 解析： 64【解析】试题分析：设等比数列的公比为a1q，由 1a2a3a4105得，a1(1 q2 )a1q(1 q2)10 ，解得 5a181 .所2以 a1a2 ann 1 2a1q( n 1)8n(12)1n2 7 n2 2 2 ，于是当 nn( n 1)23或 4时， a1a2 an取得最大值 26 64 . 考点：等比数列及其应用20【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为解析： x | 2k5x132k , kZ66【解析】由题意可得，函数ylg(12sin x) 满足 12

26、sin x0 ，即 sin x12，513解得 2kx2 k ,k Z ，66即函数 y lg（12sin x) 的定义域为 x|52k13x 2k,k Z66三、解答题1121 （1） f x 在 0, 单调递增，在 , 单调递减 . aa（2） 0,1 .【解析】1试题分析：（）由 f xa,可分 a 0,a 0两种情况来讨论；（ II）由（ I）知当x1a 0时 f x 在 0, 无最大值 ,当 a 0时 f x 最大值为 f lna a 1.因此 a1f 2a 2 ln a a 1 0 .令 g a ln a a 1 ,则 g a 在 0, 是增函数 ,当 a0 a 1时,g a 0,

27、当a 1时 g a 0,因此 a的取值范围是 0,1 试题解析：（） f x 的定义域为0,fxa , 若 ax0,则 fx 0, f x 在 0,是单调递增；若 a 0,则当 x0,1时 f x 0,当1 x,时fx 0,所以aa1f x 在 0, 单调递增,在1单调递减 .aa（）由（）知当 a0时fx在,当 a0时 f x1 在 x 取得最0, 无最大值a11大值 ,最大值为 f lna11ln a a1. 因此aaaf 1 2a 2 lnaa10.令g a lna a1,则 ga 在 0,是增函a0,当a 1时 g a0,因此 a的取值范围是数,g 1 0,于是,当 0 a 1时,g

28、a0,1 . 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想 .2 2 322（） x 2 y 1 9；（） y 4x和 x=0.【解析】【分析】x cos（I）将代入曲线 C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）y sin将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程 .【详解】xcos解：（）将代入曲线 C 极坐标方程得ysin曲线 C 的直角坐标方程为： x2 y2 4 4x 2y22即 x 2 y 1 9（）将直线的参数方程代入曲线方程：22tcos 2 tsin 1 9 整理得 t2 4tco

29、s 2tsin 4 0 设点 A， B对应的参数为 t1， t2， 解得 t1 t2 4cos 2sin ， t1 t2 4则 AB t1 t2t1 t24t1t24cos 2sin 16 2 53cos2 4sin cos 0 ，因为 033得 或tan ，直线 l 的普通方程为 y x 和 x=02 4 4【点睛】 本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关 的问题，属于中档题 .123 （ 1） ； （2） E（X） 1.3【解析】【分析】 （1）可根据题意分别计算出“从 10 人中选出 2 人”以及“2 人参加义工活动的次数之和 为 4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量 X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率 值，写出分布列，求出数学期望值【详解】1）由已知有 P（ A）C31 C41 C32C12013，1 所以事件 A 的发生的概率为 ；3（2）随机变量 X 的所有可能的取值为0，1，2；22P( X 0)C3 C3 C42C10145 ； P( X1)C13 C13 C31 C41C120715；P( X 2)C31 C14415；X012P474151515C120所以随机变量 X 的分布列为：474数学期望为