第三章运输问题

1、运运 筹筹 学学( Operations Research ) 赵 超建筑工程学院 2013年1月运输规划问题的数学模型运输规划问题的数学模型表上作业法表上作业法运输问题的应用运输问题的应用 Page 3例例3.1 某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？小？B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量1501502

2、00Page 4解：产销平衡问题：总产量解：产销平衡问题：总产量 = 总销量总销量500 设设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列运输量的运输量，得到下列运输量表：表：B1B2B3产量产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量销量150150200Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i =

3、 1、2；j = 1、2、3）Page 5运输问题的一般形式：产销平衡运输问题的一般形式：产销平衡A1、 A2、 Am 表示某物资的表示某物资的m个产地；个产地； B1、B2、Bn 表示表示某物质的某物质的n个销地；个销地；ai 表示产地表示产地Ai的产量；的产量； bj 表示销地表示销地Bj 的销量；的销量； cij 表示把物资从产地表示把物资从产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价。设的单位运价。设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：的运输量，得到下列一般运输量问题的模型： minjijijxcz11min njmixnjbxmiaxt

4、sijjmiijnjiij, 1;, 1, 0, 1, 1.11Page 6变化：变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。地（产大于销时）。定理定理: 设有设有m个产地个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数

5、为量数为m+n-1。Page 7表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯实质是单纯形法。形法。步骤步骤描述描述方法方法第一步第一步求初始基行可行解（初始调运方案）求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、最小元素法、元素差额法、元素差额法、第二步第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数检验数 ij ij全都非负时得到最优解，若存在检验全都非负时得到最优解，若存在检验数数 ij ij 00，说明还没有达到最优，转第三步。，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位闭回路法和位势法势法第三步

6、第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步量进行调整得到新的基可行解，转入第二步Page 8例例3.2 3.2 某运输资料如下表所示：某运输资料如下表所示：单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量3 311113 310107 71 19 92 28 84 47 74 410105 59 9销量销量3 36 65 56 64321 BBBB321AAA问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？Page 9解：第解：第1步步 求初始方案求初始方案方法方法1：最小元素法：最小元素法 基

7、本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058341633Page 10总的运输费总的运输费(31)+(64) +(43) +(12)+(310)+(35)=86元元元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增

8、加总运费。例如下面两种运输方最小运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。案。85102120151515510总运费是总运费是z=108+52+151=105最小元素法：最小元素法：Page 1185102120151551510总运费总运费z=105+152+51=85后一种方案考虑到后一种方案考虑到C11与与C21之间之间的差额是的差额是82=6，如果不先调运，如果不先调运x21，到后来就有可能，到后来就有可能x110，这，这样会使总运费增加较大，从而先样会使总运费增加较大，从而先调运调运x21，再是，再是x22，其次是，其次是x12用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所

9、用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以也称为近似方案。以也称为近似方案。Page 12方法方法2：Vogel法法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A39销量销量3656311310192741058Page 132）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完

10、毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。时，划去运价表中对应的行或列。重复重复1)和和2)，直到找出初始解为至。，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量产量A17A2 4A3 9销量销量3656311310192741058Page 14单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71135215Page 15单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA71352753Page

11、 16单位单位 销地销地 运价运价 产地产地产量产量行差额行差额311310719284741059销量销量3656列差额列差额4321 BBBB321AAA11351536312该方案的总运费该方案的总运费:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元Page 17求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记验数来判断，记xij的检验数为的检验数为ij由第一章知，求最小值的运由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优所有非基变量的检验数都非负

12、，则运输方案最优求检验数的方法有两种：求检验数的方法有两种： 闭回路法闭回路法 位势法（位势法（）Page 18闭回路的概念闭回路的概念,132222111jsisjsijijijijixxxxxx称称集集合合),(2121互互不不相相同同；其其中中ssjjjiii为一个闭回路为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表量的连线为闭回路的边。如下表Page 19例下表中闭回路的变量集合是例下表中闭回路的变量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31共共有有8个顶点，这个顶点，这8个顶点间用

13、水平或垂直线段连接起来，组成个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。一条封闭的回路。 B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表度与另一顶点连接，表33中的变量中的变量x 32及及x33不是闭回路的顶不是闭回路的顶点，只是连线的交点。点，只是连线的交点。 Page 20闭回路闭回路,123233434111xxxxxxB1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组例如变量组 不能构成一条闭回

14、路，不能构成一条闭回路，但但A中包含有闭回路中包含有闭回路 ,121131352521xxxxxxA ,31352521xxxx变量组变量组 变量数是奇数，显然不是变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；闭回路，也不含有闭回路； ,2111123233xxxxxB Page 21用位势法对初始方案进行最优性检验：用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由）由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势）计算位势Ui ， Vj ，因对基变量而言有，因对基变量而言有 ij=0，即，即Cij-（Ui+Vj） = 0，令，令U1=02）再由）再由 ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数）计算非

15、基变量的检验数 ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313当存在非基当存在非基变量的检验变量的检验数数 kl 0，说，说明现行方案明现行方案为最优方案，为最优方案，否则目标成否则目标成本还可以进本还可以进一步减小。一步减小。Page 22当存在非基变量的检验数当存在非基变量的检验数 kl 0 且且 kl =min ij时，令时，令Xkl 进进基。从表中知可选基。从表中知可选X24进基。进基。第第3步步 确定换入基的变量确定换入基的变量第第4步步 确定换出基的变量确定换出基的变量以进基变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为为起点的闭回

16、路中，标有负号的最小运量作为调整量调整量，对应的基变量为出基变量，并打上对应的基变量为出基变量，并打上“”以示换以示换出作为非基变量。出作为非基变量。Page 23B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311197436 13 , 1minmin14,23 xx调整步骤为：调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量，标有负号的变量减去调整量，标有负号的变量减去调整量，其余变量不变，得到一组新的，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。Page 24当所有非基变量

17、的检验数均非负时，则当前调运方案即为最当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：优方案，如表此时最小总运费：Z =(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058536312Page 25表上作业法的计算步骤：表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小确定初始调运方案（最小元素法或元素法或Vogel法）法）求检验数（位势法）求检验数（位势法）所有检验数所有检验数0找出绝对值最大的负检验数，用闭合找出绝对值

18、最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，得到最优方案，算出总运价算出总运价Page 26（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为中最小者对应的变量为换入变量。换入变量。（2）无穷多最优解）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问

19、题有无穷多最优解。，则该问题有无穷多最优解。Page 27 退化解：退化解： 表格中一般要有表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证，以保证有有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个任意空格处加一个0即可。即可。 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过最小运量（超过2个最小值）作为调整量个最小值）作为调整量，选择任意一个

20、最，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为以示作为非基变量。非基变量。Page 28 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A116A210A322销量销量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)如下例中如下例中11检验数是检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。，经过调整，可得到另一个最优解。 Page 29 销地销地产地产地B1B2B3B4产量产量A17A24A39销量销量365620114431377821060在在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如

21、选中任选一个变量作为基变量，例如选x34例：用最小元素法求初始可行解例：用最小元素法求初始可行解Page 302.目标函数求利润最大或营业额最大等问题。目标函数求利润最大或营业额最大等问题。 minjijijxCZ11max njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 31求解方法：求解方法：将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为表为C ，用一个较大的数，用一个较大的数M（Mmaxcij）去减每一个）去减每一个cij得得到矩阵到矩阵C，其中，其中C=（

22、Mcij）0,将将C作为极小化问题的运作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。价表，用表上用业法求出最优解。Page 32例例3.3 下列矩阵下列矩阵C是是Ai（I=1，2，3）到）到Bj的吨公里利润的吨公里利润,运输运输部门如何安排运输方案使总利润最大部门如何安排运输方案使总利润最大. 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量ijijijccccM 10,10max/22取取Page 33 销地销地产地产地B1B2B3产量产量A1A2A3销量销量得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。得到新的最小化运输问题，用表上作业法求解即可。Page 343.当总产量与总销

23、量不相等时当总产量与总销量不相等时,称为不平衡运输问题称为不平衡运输问题.这类这类运输问题在实际中常常碰到运输问题在实际中常常碰到,它的求解方法是将不平衡问题它的求解方法是将不平衡问题化为平衡问题再按平衡问题求解。化为平衡问题再按平衡问题求解。 当产大于销时，即：当产大于销时，即： minjjiba11数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiij, 2 , 1;, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 111，Page 35由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运送完，由于总产量大于总销量，必有部分产地的产量不能全部运

24、送完，必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟必须就地库存，即每个产地设一个仓库，假设该仓库为一个虚拟销地销地Bn+1， bn+1作为一个虚设销地作为一个虚设销地Bn+1的销量的销量(即库存量即库存量)。各产地。各产地Ai到到Bn+1的运价为零，即的运价为零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。则平衡问题的）。则平衡问题的数学模型为：数学模型为： minjijijxcZ11min , 2 , 1, 2 , 1, 01, 2 , 1, 2 , 1111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij；具体求解时具体求解时, ,只在只在运价表右端增加运价表右端增加一列一列B Bn

25、n+1+1，运价，运价为零为零, ,销量为销量为b bn n+1+1即可即可Page 36 当销大于产时，即：当销大于产时，即： minjjiba11 minjijijxCZ11min , 2 , 1;, 2 , 1, 0, 2 , 1, 2 , 111jmixnjbxmiaxijmijijnjiij数学模型为：数学模型为：由于总销量大于总产由于总销量大于总产量量,故一定有些需求地故一定有些需求地不完全满足不完全满足,这时虚设这时虚设一个产地一个产地Am+1，产量，产量为：为： miinjjab11Page 37销大于产化为平衡问题的数学模型为销大于产化为平衡问题的数学模型为 ： minjij

26、ijxcZ11min njmixnjbxmiaxijmijijnjiji, 2 , 11, 2 , 1, 0, 2 , 11, 2 , 1111；具体计算时，在运价表的下方增加一行具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产，运价为零。产量为量为am+1即可。即可。 Page 38例例3.4 求下列表中极小化运输问题的最优解。求下列表中极小化运输问题的最优解。 B1B2B3B4aiA1592360A2-47840A3364230A448101150bj20603545180160 4141160180ijjiba因为有：因为有：Page 39所以是一个产大于销的运输问题。表中所以是

27、一个产大于销的运输问题。表中A2不可达不可达B1，用一个，用一个很大的正数很大的正数M表示运价表示运价C21。虚设一个销量为。虚设一个销量为b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右边增添一列，表的右边增添一列 ，得到新的运价表。，得到新的运价表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180Page 40下表为计算结果。可看出：产地下表为计算结果。可看出：产地A4还有还有20个单位没有运出。个单位没有运出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A42010

28、2050Bj2060354520180Page 413. 生产与储存问题生产与储存问题例例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。季度季度生产能力生产能力/台台单位成本单位成本/万元万元2510.83511.130111011.3P