随机序列及数字特征

1、1.2.5平稳随机序列的功率谱密度 平稳随机序列是无始无终序列, 其能量是无限的, 因此不存在傅氏变换与Z变换. 为此,现考察 , 取下列极限： 当 时, 上式表明零均值随机序列的 是收敛的, 因此 存在Z变换与傅氏变换.)(mRxx2lim( )limxxnn mmmnn mxRmE xxE xE xm0 xm lim( )0 xxmRm)(mRxx)(mRxx1. Rxx(m)的的z变换及其收敛域变换及其收敛域定义: 正变换: (1.2.32) 逆变换: (1.2.33) 其中, c是一条在收敛域内逆时针方向绕原点一周的围线. 考虑到实实平稳随机过程的 具有偶对称性, 即:(1.2.34)

2、对上式进行Z变换: ( )( )mxxxxmPzRm z11( )( )2mxxxxcRmPz zdzj( )xxRm( )()xxxxRmRm1( )()xxxxPzPz对复平稳随机过程,有1( )xxxxPzPz这说明: 若 是 的一个极点, 则 也是它的极点.收敛域收敛域: : （1） , 的收敛域一定包括单位园, 即 ; （2） 是双边序列(非因果序列)收敛域应为园环域, 即 .进一步, 若 是靠近单位园的园内极点, 则 便是靠近单位园的园外极点,结论：结论： 的收敛域有以下形式: ，1zz( )xxPz11zz0 xm0)(limmRxxm( )xxPz0 xm0)(limmRxxm

3、01xR)(mRxxxxRzR|xzR1xzR( )xxPz| 1xxRzR01xR2. 2. RxxRxx( (m m) )的傅氏变换的傅氏变换( (功率谱功率谱)维纳维纳- -辛钦定理辛钦定理 由于 的收敛域包含单位园, 所以存在傅氏变换. 令 , 代入变换式得到: (1.2.35)(1.2.36)以上二式表示的傅氏变换对, 称为“维纳维纳-辛钦定理辛钦定理”.讨论讨论: :（1） 的物理意义: 由式(1.2.36) , 当 时, 得( )xxPzjze()( )( )jjj mxxxxxxz emPePzRm e1( )()2jj mxxxxRmPeed()jxxPe0m（1.2.37)

4、另因当均值 时, 有:所以21(0)()2jxxxxnRPedE x2( )( )xxxxxCmRmm0 xm 22(0)xxnxCE x221(0)(0)()2jxxxxxxxnRCPedE x(C) 的平均功率密度，即功率谱密度(B)区间 内的平均功率(A)信号的平均功率nx解释解释: :（A） 或 代表信号的平均功率;（B） 在区间 的积分面积等于信号的平均功率;（C）所以， 即为平稳随机序列的平均功率密度, 称为“功率谱密度”. 维纳-辛钦定理说明, 是功率函数. 由于 是随机序列的统计平均特征量, 所以 是随机序列的无穷多个样本序列功率谱密度的集合平均(即统计平均).（2）功率谱是

5、的实偶函数 由 , 可得 2nE x2x()jxxPe()jxxPe)(mRxx)(mRxx()jxxPe1( )()xxxxPzPz()()jjxxxxPePe或表示为 (1.2.38)（3）功率谱是实的非负函数(证明从略), 即:(1.2.39)（4） 与 的互功率谱密度:(1.2.40)(1.2.41)且有(1.2.42)( )()xxxxPP( )0 xxP)(nX)(nY()()jmxyxymPRm e1()( )2j mxyxyRmPed( )()xyyxPP1.2.6 随机序列的各态历经性1.1.有限集合平均有限集合平均 在有限个样本序列中, 对同一个特定时刻的所有观察值求算术平

6、均: (1.2.43) 对平稳随机序列, 若选择两个时刻 和 , 则有(1.2.44) 1( )xNmx nN个样本序列nmn 1( ) ( ) ()xxNRmx n x nmN个样本序列2.2.统计平均统计平均 当样本序列为无穷多个集合时, 上述集合平均的极限即为统计平均:(1.2.45)(1.2.46)3.3.时间平均时间平均 对实平稳随机序列 的一个实现的特定样本曲线 , 对各个时刻的值求平均, 且当时间趋于无穷大时, 得到: 时间平均值:(1.2.47) 1lim( )xNNmx nN1( )lim ( ) ()xxNNRmx n x n mN( )X n( )x n1( )lim(

7、)21NNnNx nx nN若不具备务态历经性, 该式不能与式(1.2.29)等同.时间自相关函数: (1.2.48)4.4.各态历经性各态历经性（1）各态历经性的必要条件: 随机序列必须是平稳的, 即概率分布不随时间变化. 这时, 假设平稳随机序列的每个实现都同样经历了过程中的各种可能的状态, 则其中任何一个实现, 都可以充当具有充分代表性的样本, 于是(1.2.49) (1.2.50)上述性质即称为“各态历经性”. 1( ) ()lim( ) ()21NNnNx n x nmx n x nmN此式适用于实平稳随机序列.( ) ( )xx nE x nm( ) () ( ) ()( )xxx

8、 n x n mE x n x n mRm（2）各态历经性假设: 若一个平稳随机过程是各态历经的, 则其集合平均等于一个样本函数在整个时间轴上的平均值. 这种假设的好处是: a) 时间平均只需要一部测试设备即可. 为使样本完整, 一个观察者的测试时间必需足够长; b) 可将统计平均转化为时间平均, 计算方法简单, 特别适合于用计算机求平均. 实际中遇到的平稳随机序列，一般都是各态历经的。实际中遇到的平稳随机序列，一般都是各态历经的。注意注意: : 实际测量只能得到平稳序列一个样本 的有限长时段, 因此, 只能得到统计均值的估计值:( )x n1( )( )21NxNnNmx nx nN1( )

9、( ) ()( ) ()21NxxNnNRmx n x n mx n x n mN1.2.71.2.7常见的随机序列常见的随机序列1.1.纯随机信号纯随机信号( (零阶马尔柯夫信号零阶马尔柯夫信号) ) 纯随机信号又称零阶马尔柯夫信号。主要特性如下： (1)所有的随机变量互相独立, 有相同的概率密度函数. (2)纯随机信号是平稳的 均值为零: 各随机变量方差相同: (1.2.51) 自相关函数与时间起点无关, 只决定于时间差：(1.2.52) (3)纯随机信号是无记忆的 理由: 纯随机信号的二维联合概率密度函数(1.2.53)0nxE22(0)nxxxE xR2( )( )xxn knxRkE

10、 xxk 11(,)() ()nnnnp xxp xp x 条件密度函数 (1.2.54) 由以上二式可以看出, 取值不受 的影响, 因而是无记忆的. 对一阶马尔柯夫信号, 只受前一个取样值 的影响, 因而有 (1.2.55) 可见, 一阶马尔柯夫信号的记忆能力可维持一个取样间隔.2. 2. 白噪声序列白噪声序列 白噪声序列 的随机变量两两互不相关, 可表示为 (1.2.56)式中1()()nnnp xxp xnx1nxnx1nx12101(,)()nnnnnp xxxx xp xx( )w n2,( ,)nw wwmnCn m 1,0,mnm nm n 对于平稳白噪声序列, 进一步有(1.2

11、.57) 式中, 为常数. 假设其均值 , 则功率谱 , 说明在整个频带内功率谱是一个常数. 白噪声是随机性最强的随机序列. 理想的白噪声序列是不存在的. 当信号带宽远大于系统带宽, 且在系统带宽内信号频谱基本恒定, 就可近似为白噪声序列.3.3.正态正态( (高斯高斯) )随机序列随机序列 正态随机序列 的 维联合概率密度函数为 (1.2.58) 式中:2,( ,)w wmnCn m 20wm2()jxxPe)(nxNT1121 21 211( ,)exp() (var ) ()2(2 )|var|Np x xxx mxx mx 随机矢量 均值矢量; 方差矩阵; 随机变量 的方差; 与 的互

12、协方差. T12,NxxxxT12,Nmmmm11 212 12212222222222varNNNNNxx xx xx xxx xx xx xxx22() nnxnxE xm2cov(,)() ()nmnmx xnmnxmxxxE xmxmnxnxmx 高斯高斯- -马尔柯夫过程马尔柯夫过程: : 具有指数型自相关函数的平稳高斯随机过程, 是一种常见的随机信号. 其自相关函数和功率谱密度函数分别为:(1.2.59)(1.2.60) 由上式可见, 当 时, , 均值 . 4.4.谐波过程谐波过程 谐波过程, 是由下式描述的随机序列:(1.2.61) 式中, 振幅 和角频率 是常数; 相位 为独立随机变量, 服从均匀分布, 其概率密度可表示为:(1.2.62)2| |( )mxxRme2222()jxxPe m0)(mRxx0 xm1( )cos()Niiiix nAniAi), 2 , 1(Nii), 2 , 1(Ni1()2ipi谐波过程是平稳随机序列谐波过程是平稳随机序列, 说明如下: 设 , 则 (1.2.63) 上式的均值为 (1.2.64) 自相关函数为1N( )cos()x nAn ( )cos()02AE x nnd22( ,) ( ) ()cos()cos ()2cos(2)