第三章矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组线性方程组课件下载邮箱：nE-mail：n 密码： xdf1234561 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作 ；ijrr以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； irk 某一行加上另一行的 k 倍，记作 .ijrkr 其逆变换是：ijrrirk ijrkr ;ijrr;irk .ijrkr 把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 初等变换

2、初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换510104011030001300000B 411214011100001300000B 行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr 23rr 510104011030001300000B 行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F 标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc

3、412ccc5123433cccc行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵rm nOEFOO 标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换 AB有限次初等行变换有限次初等列变换rAB行等价行等价，记作，记作 cAB列等价列等价，记作，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系AB有限次初等变换AB矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作，记作矩阵之间的等价关系具

4、有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ，则，则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 AAAB, AB BCBAAC定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调单位阵的两行（列）；(2)以常数 k0 乘单位阵的某一 行（列）；(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等变换与矩阵乘法的关系三、初等变换与矩阵乘法的关系0000000000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E 5

5、0000000000000000011110100E 35rr001000000135cc0010000001(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列）， 记作 E5(3, 5)记作 Em( i, j )000000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 3rk 3ck 00001(2)以常数 k0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 E5(3(5) 记作 Em(i(k) 000000000000000001111100k00000000

6、0000000000011111k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rrk35cck00001(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行,记作 E5(35(k) 记作 Em(ij(k) 以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列 53cck000000000000000000011111k?两种理解！两种理解！111213143 42122232431323334aaaaAaaaaaaaa 3100(2,3)001010E 33 4(2,3)EA 313233321222111213142443aaaaaaaa

7、aaaa 211121122232313233134344100001010aaaaaaaaaaaa 111213143 42122232431323334aaaaAaaaaaaaa 410000010(2,3)01000001E 3 44(2,3)AE 1114212431132331222323341000001001000001aaaaaaaaaaaa 111421243113231222333423aaaaaaaaaaaa 结论结论( , )mm nEi j A 把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 .ijrr( , )nnmAEi j 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .

8、ijcc( ( )mm nEi kA 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .irk ( ( )nnmAEi k 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .ick ( ( )mnmEij kA 把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .ijrkr ( ( )nnmAEij k 把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .jickc 性质1 设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.口诀：左行右列口诀：左行右列. .初等变换 初等变换的逆变换

9、初等矩阵 ?0000000000000000011111000000000000000000000001111150000000000000000011110100E 35rr001000000135rr0000000000000000011111000000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 3rk 3rk 0000000000000000011111000000000000000000000011111k50000000000000000011110100E 35rrk35rrk000000000000000001111100

10、0000000000000000000001111150000000000000000011110100E 35rr001000000135rr55(3,5)EE555(3,5)(3,5)EEE55(3,5)(3,5)EE 5E 因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 155(3,5)(3,5)EE 一般地， 1( , )( , )E i jE i j 0000000000000000011111000000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 3rk 3rk 因为“对于n

11、阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，55(3( )EkE555(3( )13EkkEE5513(3( )EEkk 5E 所以 1551(3( )3EkEk 一般地， 11( ( )E i kE ik ?55(35( )EEk555(35( )(35()EE Ekk 55(35( )(35()EkEk5E 因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 155(35( )(35()EkEk 一般地， 1( ( )( ()E ij kE ijk 0000000000000000011111000000000

12、000000000000011111k50000000000000000011110100E 53cck53()cck ?初等变换 初等变换的逆变换 初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵1( , )( , );E i jE i j 11( ( );E i kE ik 1( ( )( ().E ij kE ijk 初等矩阵的逆矩阵是：?性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵推论1 方阵 A 可逆的充要条件是 .rAE推论2 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存

13、在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .四、初等变换的应用四、初等变换的应用，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 1

14、1110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即初等行变换例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052

15、321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得2 矩阵的秩矩阵的

16、秩一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个kkmnC C概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa 相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块12132223aaaa

17、矩阵 A 的一个 2 阶子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)规定：零矩阵的秩等于零2223212321221112133

18、23331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵 A 的一个 3 阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记

19、作，记作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表阶子式来表示示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零阶子式也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都阶的子式（如果存在的话）也都等于零等于零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数规定：零矩阵的秩等于零矩阵矩阵

20、 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n

21、若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 二、矩阵的秩的计算二、矩阵的秩的计算例：例：求矩阵求矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 32050323612015316414A 分析：在 A 中，2 阶子式 2012016A 的 3 阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的334540C C 定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵

22、，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩该矩阵的秩例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式32050323612015316414A 解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、

23、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式3253256113266011216025205205 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B = (A,

24、 b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：1221112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A

25、)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，则，则 R(A)R(B)n 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵n本题中，当本题中，当 C = O，

26、这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 证明：证明：因为因为 (AE) (EA) = 2E，由性质由性质“R(AB)R(A)R(B) ”有有R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因为又因为R(EA) = R(AE)，所以，所以R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 解：解：因为因为 R(A) = n， 所以所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，设设 m 阶可逆矩阵

27、阶可逆矩阵 P ，满足，满足 于是于是因为因为 R(C) = R(PC)，而，而 ，故，故R(B) = R(C) nm nEO nm nEPAO nEPCPABBOBO ( )BR BRO 分析：分析：若若 R(A) = n，则，则 A 的行最简形矩阵应该的行最简形矩阵应该n有有 n 个非零行；个非零行；n每个非零行的第一个非零元为每个非零行的第一个非零元为 1 ；n每个非零元所在的列的其它元素都为零每个非零元所在的列的其它元素都为零于是于是 A 的行最简形中应该包含以下的行最简形中应该包含以下 n 个列向量：个列向量：100010, , , 001000000 又因为又因为 A 是是 mn

28、矩阵，所以矩阵，所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 前 n 行后 m - n 行nEO例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 返回返回 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为为方

29、阵时，就是性质为为方阵时，就是性质 n本题中，当本题中，当 C = O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 3 线性方程组的解线性方程组的解一、线性方程组的表达式一、线性方程组的表达式1.一般形式一般形式3. 向量方程的形式向量方程的形式方程组可简化为方程组可简化为 AX = b 2.增广矩阵的形式增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 二、线性方程组的解的判定二、线性方程组的解的判定设有设有 n

30、 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组11112211211222221122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 定义：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一不一定相等！定相等！定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 A

31、x = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即 R(A) R(A, b) 无解；无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解； R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解那么那么 无解无解 R(A) R(A, b) ； 唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解无穷多解 R(A) =

32、 R(A, b) n 例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123412342 2, 2 4,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rB 解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解2111210104112140110346224000133697900000rB 备注：备注：111,1212,2,1,100010001000000000000000000n rn rrr n rrbbdbbdbbd 有无限多解的

33、充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r n ，这时，这时 还能根据还能根据R(A) = R(A, b) = r n判断该线性方程组有判断该线性方程组有无限多解吗？无限多解吗？2111210104112140110346224000133697900000rB 解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx 123414131003xxcxx 例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线

34、性方程组12341234123423 1,3 532,2 223.xxxxxxxxxxxx 123111231131532 054012122300002rB 解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解例：例：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组12341234123422 0,2 220, 430.xxxxxxxxxxxx 提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必

35、有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况例：例：设有线性方程组设有线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (1).xxxxxxxxxl ll lllll 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要

36、条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 11101113111Bl ll lllll 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111l ll lllll 1311111131110rrlllll ll l 2131(1)111030(2)(1)rrrrl lllllllllllllllllllll 321110300(3)(1)(3)rrllllllllllllllllll 附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的

37、矩阵作初等变换时，由于 l l +1， l l +3 等因等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l +1 = 0（或（或 l l +3 = 0）的情况另作讨论的情况另作讨论 2111rrl l 2(1)rl l3(3)rl l11101111113 0311100(3)(1)(3)rBllllllllllllllllllllllllll分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有

38、中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l ，要使这，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手11101111113 0311100(3)(1)(3)rBllllllllllllllllllllllllll于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l l = 3 时，时，R(A) = R

39、(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解11101113111Bl ll lllll 解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 2111|111(3)111Al lll lll ll l 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解，方程组无解111011101113 000111100000rB 当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为211010111213 011211230000rB123111210 xxcx 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R