简谐振动MOOC

1、 陈信义陈信义 编编 2014.1第第6章章 振动振动（Vibration）6.1简谐振动简谐振动 6.1.1简谐振动的描述简谐振动的描述 6.1.2旋转矢量图旋转矢量图和复数和复数表示表示 6.1.3简谐振动简谐振动的的能量特性能量特性 *6.1.4谐振分析谐振分析 *6.1.5非线性振动简介非线性振动简介【演示实验演示实验】水平弹簧振子水平弹簧振子、弹簧弹簧和扭摆模式和扭摆模式转换、转换、小混沌小混沌摆摆 振动振动是最是最普遍的一种运动形式。普遍的一种运动形式。 机械振动，机械振动，电磁振动电磁振动 任何任何一个物理量的值不断地经一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象过极大值和

2、极小值而变化的现象都叫振动。都叫振动。 各种振动物理各种振动物理机制可能不同，机制可能不同，但但具有具有共同的特征共同的特征。 以以机械振动为例，介绍振动的机械振动为例，介绍振动的基本概念和规律。基本概念和规律。6.1.1 简谐振动的描述简谐振动的描述6.1 简谐振动简谐振动（ SHM ）1. 自由振动弹簧自由振动弹簧振子振子（平衡位置）（平衡位置）【演示实验演示实验】水平弹簧振子水平弹簧振子kxf 弹性力：弹性力： 位移位移 x 随时间随时间 t 的变化满足牛顿方程：的变化满足牛顿方程：22txmkxdd 0 xmkx （线性恢复力）（线性恢复力）0 xmkx mk 设设自由振动弹簧振子的动

3、力学方程：自由振动弹簧振子的动力学方程：02 xx ：本征角（圆）频率：本征角（圆）频率，只只由振由振子自身性质决定子自身性质决定。 二阶线性微分方程二阶线性微分方程，解，解可表示为可表示为)cos( tAx振动振动函数函数A 和和 ：积分常量，用初始条件：积分常量，用初始条件确定。确定。A ：振幅振幅，离开离开平衡位置的最大距离。平衡位置的最大距离。 ：初相，初相，决定初始决定初始时刻位移时刻位移的大小和方向。的大小和方向。)cos( tAx简谐振动的简谐振动的动力学动力学定义：定义： 如果如果物理量物理量 x 随时随时间变化的动力学间变化的动力学方程为方程为 ，其中，其中 只由只由系统系统

4、自身自身性质决定，性质决定，则则 x 的运动称为简谐的运动称为简谐振动。振动。02 xx 对机械振动，如果系统所受合力为对机械振动，如果系统所受合力为线性恢复力线性恢复力，则围绕平衡位置的运动，则围绕平衡位置的运动一定是一定是简谐振动简谐振动。 物理量物理量 x 位移、密度和压强、位移、密度和压强、电场强度和磁场强度电场强度和磁场强度 【思考思考】设地球密度均匀，质点设地球密度均匀，质点通过穿过地心的直隧道的振动通过穿过地心的直隧道的振动是是简简谐振动谐振动 吗吗? ?1 1通过地心的振动通过地心的振动简谐振动简谐振动的运动学定义：的运动学定义： 如果物理量如果物理量 x 按余弦按余弦函数（或

5、正函数（或正弦函数）随时间变化，弦函数）随时间变化，则则x的的运动称运动称为简谐振动。为简谐振动。A、 2弹簧振子的简谐振动弹簧振子的简谐振动)cos( tAx振动函数振动函数三个特征量三个特征量 编者：陈信义编者：陈信义2. 相位（相位（t + ） 代表简谐振动在一个周期内的运动代表简谐振动在一个周期内的运动状态。状态。有有“相貌相貌”和和“位形位形”之意；之意；)cos( tAx 对于一维振子，代表对于一维振子，代表 t 时刻位时刻位移移 x 的大小和的大小和方向。方向。例如：例如：t + = 0：物体物体静止于静止于 x 轴正向最轴正向最远点远点t + = /2：经经平衡位置沿反向平衡位

6、置沿反向运动运动t + = 2：返回到正向最远点返回到正向最远点t + = ：静止静止于反向最于反向最远点远点t + = 3/2：经经平衡位置平衡位置沿正向运动沿正向运动t+x0/23/22)cos( tAx相位代表简谐振动的运动状态相位代表简谐振动的运动状态初相初相 决定决定于时间零点的于时间零点的选择，选择，通常把通常把 的的值取值取在在 到到 之间。之间。12xot 0 = /2 T=2A-A = 0)cos( tAx3初相不同的振动曲线初相不同的振动曲线3. 时间周期性时间周期性周期：周期： 2 T振动往复一次所经时间振动往复一次所经时间单位单位时间内相位的变化时间内相位的变化T2 角

7、频率：角频率：21 T频率：频率：单位单位时间内时间内振动往复次数振动往复次数速度速度：4.简谐振动的速度简谐振动的速度和加速度和加速度相位相位比位移超前比位移超前 /2txdd v)sin( tA 2cos tA加速度加速度：xtAtxa222)cos(dd 2大小大小与位移成正比而方向与位移成正比而方向相反相反)cos( tAx初始条件：初始条件：t =0时的位移时的位移x0和速度和速度v0 0022020arctan,xxA v v sincos00AAx v，初相初相 通常用下式计算：通常用下式计算： 所在象限，用所在象限，用sin 的符号，或的符号，或用下面用下面介绍的介绍的旋转旋转

8、矢量图矢量图判断。判断。Ax0cos 5. 用初始条件确定用初始条件确定振幅和振幅和初相初相 编者：陈信义编者：陈信义6.2 旋转旋转矢量图矢量图和复数和复数表示表示振幅振幅矢量矢量A的长度的长度：振幅振幅1. 旋转矢量图旋转矢量图4旋转矢量旋转矢量5旋转矢量作图旋转矢量作图角频率角频率：A逆时针匀速逆时针匀速旋转的旋转的角速度角速度夹角夹角(t+ )：t 时刻时刻相位相位 ：初相初相 投影投影 x=Acos(t+ ) ：位移位移183 【例例】初始条件：初始条件： ，求初相。，求初相。，20Ax 00 v解解21cos0 Ax 3 ， 取取哪哪个值个值？，00 vAv03A 只能在只能在 象

9、限象限，因此因此优点：直观优点：直观)cos(111 tAx)cos(222 tAx任意时刻相位差任意时刻相位差： 1212)()( tt等于初相差等于初相差2. 同相与反相同相与反相两个简谐振动在步调上的关系，可以两个简谐振动在步调上的关系，可以用它们的相位差来反映。用它们的相位差来反映。设有两个同频率简谐振动：设有两个同频率简谐振动：（1）两振动同相两振动同相, 2, 1, 0,2 kk x1、x2 振动步调完全振动步调完全一致一致（2）两个振动）两个振动反相反相 , 2, 1, 0,)12( kk x1、x2 振动步调完全振动步调完全相反相反)cos(111 tAx)cos(222 tA

10、x（3） 取其他值：取其他值：称不称不同相同相而是而是说说 x2 比比 x1 的相位的相位落后落后 /2。 【例例】2312 一般一般不说不说 x2 比比 x1 的相位的相位超前超前 3 /2， 3. 复数复数表示表示)(e tAxi)cos(Re tAxx指数取负号：指数取负号：照顾量子力学的照顾量子力学的习惯习惯 用旋转矢量图和复数形式来描述简用旋转矢量图和复数形式来描述简谐振动，为振动问题的分析和计算带谐振动，为振动问题的分析和计算带来方便。来方便。编者：陈信义编者：陈信义6.1.3 简谐振动简谐振动的的能量特征能量特征自由振动弹簧自由振动弹簧振振子总能子总能量：量： pkEEE 2k2

11、1vmE )(cos2121222p tkAkxE2pk21kAEEE )(sin21222 tAm)(sin2122 tkA222121kxm v 动能和势能随时间作周期性变动能和势能随时间作周期性变化，并且相互转化，此消彼长；化，并且相互转化，此消彼长；总能量是一个与振幅平方成正比总能量是一个与振幅平方成正比的恒量。的恒量。简谐振动的能量特征：简谐振动的能量特征： 振幅不仅代表振动的幅度，而振幅不仅代表振动的幅度，而且反映振动的强度。且反映振动的强度。)(cos2122p tkAE2pk21kAEEE )(sin2122k tkAE动能、动能、势能对时间的平均值势能对时间的平均值： tET

12、ETd10kk 2kp41kAEE 241kA 动能动能和和势能对时间的平均值势能对时间的平均值相等，相等，等于总能量的等于总能量的1/2。ttTkATdsin121022)( ttTkATd2cos1 2112102)( 【演示实验演示实验】弹簧和扭摆模式转换弹簧和扭摆模式转换 从能量特征上看，如果系统机从能量特征上看，如果系统机械能守恒，且势能可表示成械能守恒，且势能可表示成 x2的形式的形式， 只由系统自身性质决只由系统自身性质决定，则系统围绕平衡位置作简谐定，则系统围绕平衡位置作简谐振动振动 对于比较复杂的振动系统，着对于比较复杂的振动系统，着眼于系统整体直接由能量关系来眼于系统整体直

13、接由能量关系来分析比较方便。分析比较方便。能量判据能量判据 【例例】U形形管内液体质量为管内液体质量为m，密度为密度为 ，管的截面积为管的截面积为S。开。开始时，造成管两边液柱面有一始时，造成管两边液柱面有一定的高度差，忽略管壁和液体定的高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。试判断液体柱振动间的摩擦。试判断液体柱振动的性质。的性质。S m29解法解法1. 分析能量分析能量2p21)(kyygSyE 无无损耗损耗:.const E角频率角频率:mSgmk 2 EP = 0S y y- y0gSk 2 简谐振动简谐振动30S y y- y0解法解法2. 分析受力（压强差）分析受力（压强差）ky gSk

14、2 角频率：角频率：mSgmk 2 线性恢复力：线性恢复力：gSyF 2 简谐振动简谐振动 通常，系统在稳定平衡位置通常，系统在稳定平衡位置附近的微振动附近的微振动简谐振动简谐振动用简谐振子模型来描述用简谐振子模型来描述固体晶格点阵上原子的振动固体晶格点阵上原子的振动分子中原子的振动分子中原子的振动原子核中质子和中子的振动原子核中质子和中子的振动在微观领域：在微观领域：对此，在量子物理中介绍。对此，在量子物理中介绍。编者：陈信义编者：陈信义33*6.1.4 谐振谐振分析分析利用利用付里叶分解付里叶分解，将振动，将振动分解成若干分解成若干SHM。 对周期性振动：对周期性振动：)cos(2)(10

15、kkktkAatx T2= T ：周期：周期，k = 1 基频基频（ ） k = 2 二次谐频（二次谐频（2 ） k = 3 三三次谐频（次谐频（3 ）决定音调决定音调决定决定音色音色高次谐高次谐频频Ak02345 61()k分立分立谱谱非周期性振动非周期性振动付里叶积分。付里叶积分。)cos(2)(10kkktkAatx 35x2n = 0 , n = 1 , 2 , 【例例】方波的分解方波的分解 x1t0 x3t0 x5t00ta0Tx0 +x1+x3+x5t0Ttx0=a0 / 20编者：陈信义编者：陈信义*6.1.5 非线性振动简介非线性振动简介0sin20 sinmgf =0：平衡位

16、置，摆角为：平衡位置，摆角为 时，时，摆球受重力的切向分力为摆球受重力的切向分力为单摆单摆 mlmg sin切向牛顿方程：切向牛顿方程：lg 0 引入角频率：引入角频率：单摆的动力学方程：单摆的动力学方程：1. 单摆小角度摆动单摆小角度摆动 mgmgf sin, 线性恢复力线性恢复力(准弹性力准弹性力)： 020 线性微分方程：线性微分方程： )cos(0 t线性系统：线性系统：0sin20 sin 动力学方程有唯一动力学方程有唯一严格解，严格解， 给定初始条件，任意时刻给定初始条件，任意时刻的状态（如单摆的摆角和角速度）的状态（如单摆的摆角和角速度）可完全决定和可以预测可完全决定和可以预测

17、拉普拉拉普拉斯（斯（Laplace）决定论的因果关系）决定论的因果关系2. 如果如果摆摆角不是角不是很很小小 6sin3 061320 非线性系统非线性系统非线性微分方程：非线性微分方程： 0sin20 在非线性系统中一般不存在决在非线性系统中一般不存在决定论的因果关系，小的扰动常常定论的因果关系，小的扰动常常会引起大的差异会引起大的差异“蝴蝶效蝴蝶效应应”， 混沌现象的随机性与布朗运动混沌现象的随机性与布朗运动不同，布朗运动的随机性服从概不同，布朗运动的随机性服从概率论，混沌源于动力学方程的非率论，混沌源于动力学方程的非线性，是一种线性，是一种内在的随机性内在的随机性或或“决定性的混乱决定性的混乱”。【演示实验演示实验】小混沌摆小混沌摆 在一定条件下甚至出现某在一定条件下甚至出现某种 貌 似 随 机 的 行 径种 貌