《结构力学》_龙驭球_第3章_静定结构的受力分析(4)

1、 拱拱 桥桥三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中：桥梁、渡槽、屋架等。三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中：桥梁、渡槽、屋架等。 三铰拱的构造特征为：三铰拱的构造特征为：杆轴通常为曲线，三个刚片（包括基础）用不在杆轴通常为曲线，三个刚片（包括基础）用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。 三铰拱的受力特征为：三铰拱的受力特征为：在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力；因此；因此拱轴任一截面拱轴任一截面轴力轴力FN 比较大，弯矩较小比较大，弯矩较小。 通常通常 在在11/10之间变化，之间变化， 的值对内力有很大

2、影响。的值对内力有很大影响。flfl(拉杆拉杆)(跨度跨度)(矢高矢高)(拱脚拱脚)(拱顶拱顶)拱有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。拱有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。FP fCBAlFHAFVAFVBFHB(跨度跨度)(矢高矢高)(拱脚拱脚)(拱顶拱顶)FPCBAl f拱的分类：拱的分类：两铰拱两铰拱无铰拱无铰拱BABA超静定拱超静定拱FAFB1 122PPVAF bF bFl1122PPVBF aF aFl111VAPHHAFlFdFFf 三铰拱的三铰拱的竖向支座反力竖向支座反力恰好等于相应简支梁竖向支座反力，恰好等于相应简支梁竖向支座反力，水平推力水平推力FH 等于相应简支梁截面

3、等于相应简支梁截面C 的弯矩的弯矩 MC除以拱高除以拱高 f 。xa1b1CFP2BFP1b2A fll1l2d11、三铰拱的支座反力与内力、三铰拱的支座反力与内力 如图示三铰拱与相应简支梁。先如图示三铰拱与相应简支梁。先取整体为隔离体，求竖向反力：取整体为隔离体，求竖向反力：再取半边拱为隔离体，求水平反力：再取半边拱为隔离体，求水平反力：ABCFP2FP1 支座反力支座反力FHAFVAFVBFHB0VAF0VBF0VAF0VBFyD0CMf 推力推力F H 只与三个铰的位置及荷载有关，与各铰间的拱轴线形状无关，即只与三个铰的位置及荷载有关，与各铰间的拱轴线形状无关，即只与高跨比只与高跨比 f

4、l 有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力F H 与拱高与拱高 f 成反比，成反比，即即 f 大则大则F H 小小，反之，反之 f 小则小则F H 大大。x 剪力的计算公式剪力的计算公式FP1DMyxFHAFVA正负号：使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。正负号：使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。 弯矩的计算公式弯矩的计算公式相应简支梁相应简支梁D截面的弯矩截面的弯矩取取AD段为隔离体段为隔离体正负号规定：同梁、刚架等正负号规定：同梁、刚架等 轴力的计算公式轴力的计算公式正负号规定：使截面受的轴力为正。正负号规定：使截面受的轴力为正。为截面为截面D处拱轴切线的倾角（

5、处拱轴切线的倾角（为锐角，在左半拱取正，而在右半拱取负）为锐角，在左半拱取正，而在右半拱取负）11VAPHMFxFxaFy 0HMMFy0cossinQQHFFF0sincosNQHFFF 0DMFQFNyDABCFP2FP10VAF0VBFx三铰拱的受力特点三铰拱的受力特点1）在竖向荷载作用下有水平反力。）在竖向荷载作用下有水平反力。 2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多。）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多。3）拱内有较大的轴向压力）拱内有较大的轴向压力。例例3-6.1：三铰拱及其所受荷载如图示，拱的轴线为抛物线方程三铰拱及其所受荷载如图示，拱的轴线为抛物线方程yflx

6、lx42试计算反力并绘制内力图。试计算反力并绘制内力图。解：解： 计算支座反力计算支座反力0(1 8) 124 4716VAVAFFkN 0(1 8) 4 4 12516VBVBFFkN 05 84 464CHMFkNf y604827310VAF0VBFABCq = 1kN mFP= 4kNxyCB f = 4mA4m8m4ml =16mq = 1kN mFP= 4kNFVBFHBFHAFVA相应水平梁相应水平梁相应水平梁相应水平梁整体平衡：整体平衡： 内力计算内力计算以截面以截面6 6为例：为例：624 412 16 12316ym242dyftglxdxl626 346656244162

7、 120.5,16tg 62sin0.447, cos0.894 066654632HMMF ykNmkNmkN m06666cossin 1 0.894 6 ( 0.447) 1.79LLQQHFFFkN 06622sincos( 1) ( 0.447)6 0.8945.81LLNQHFFFkN 07VAFkN05VBFkNABCq = 1kN mFP= 4kN6y60482731xyCB f = 4mA4m8m4ml =16mq = 1kN mFP= 4kN665以截面以截面6 6为例：为例：66sin0.447, cos0.89463ym6HFkN06666cossin5 0.894 6

8、 ( 0.447)1.79RRQQHFFFkN 06622sincos( 5) ( 0.447)6 0.8947.6RRNQHFFFkN 相应水平梁相应水平梁1.52.01.50.00.50.50.710.400.000.491.000.491.790.700.401.79M 图图 (kN m)F Q 图图 (kN)F N 图图 (kN)9.197.806.706.066.067.805.817.607.786.00 绘制内力图绘制内力图0482731xyCB f = 4mA4m8m4ml =16mq = 1kN mFP= 4kN65相应水平梁相应水平梁122020242424.52210 图

9、图 (kN m)0MABCq = 1kN mFP= 4kN2.02、三较拱的压力线、三较拱的压力线三铰拱某截面三铰拱某截面 D的弯矩、剪力、轴力已求出，其合力的弯矩、剪力、轴力已求出，其合力FRD 可以确定。可以确定。FNDMDFRDFQDDsincosDRD DQDRDDNDRDDMF rFFFF 由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之合力之大小、方向及作用线大小、方向及作用线的问题。的问题。定义：定义：三铰拱每个截面内力的三铰拱每个截面内力的合力作用点的连线合力作用点的连线，即三铰拱的压力线。，即三铰拱的压力线

10、。 截面截面D形心到形心到FRD 作用线之距离。作用线之距离。 FRD 作用线与截面作用线与截面D轴线切线的夹角。轴线切线的夹角。DDrDrMDFRDFRDFRD截面的弯矩、剪力、轴力与其合力截面的弯矩、剪力、轴力与其合力FRD 的关系按下式计算：的关系按下式计算：3k1PF2PF3PF1PF2PF3PFRAFRBF1223ABC1k2k1223FGH 确定各截面合力的大小和方向确定各截面合力的大小和方向数解数解RAFRBF绘力多边形绘力多边形射线射线D 确定各截面合力确定各截面合力 的作用线的作用线索多边形：索多边形：压力线压力线截面截面合力的大小由力多边形确定，合力作用线由压力线确定合力的

11、大小由力多边形确定，合力作用线由压力线确定。压力线压力线RAFRBFoDr 如果是分布荷载，压力线呈曲线；如果是分布荷载，压力线呈曲线； 如果是集中荷载，压力线呈多边形。如果是集中荷载，压力线呈多边形。 压力线可以描述拱的工作状况。各截面内力可利用索多边形和力多边形压力线可以描述拱的工作状况。各截面内力可利用索多边形和力多边形或用公式求得。或用公式求得。12DRDMFr12sinQDRDFF12cosNDRDFFD画压力线步骤：画压力线步骤： 过过 A 作作 FRA 的延长线交的延长线交 FP1 于于D ，过，过 D 作射线作射线 12 的平行的平行线交线交 FP2 于于E，过，过 E 作射线

12、作射线 23 的平行线交的平行线交 FP3 于于 F，则，则 FB 必为必为 FRB 的作用线。的作用线。3、拱的合理轴线、拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。0HMMFy它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令00HMMFy 在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴

13、线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。成比例。 0HMxy xF从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为： 压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力 F R 若都沿拱轴切线方向作若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。状态，如果在拱的设计中能获

14、得上述结果，拱的经济效果将最好。例例3-6.2：设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。yxxqABqfl/2l/2ABCql2ql2解：解： 由式由式 0Mxy xH列出简支梁的弯矩方程列出简支梁的弯矩方程 02qMxx lx拱的推力为：拱的推力为：028CHMqlFff所以拱的合理轴线方程为：所以拱的合理轴线方程为： y xqx lxfqlflx lx28422 注注 意意* *合理轴线对应的是合理轴线对应的是一组固定荷载。一组固定荷载。例例3-6.3：设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。q 拱在法向均布荷载作用下处于无拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为常数。弯矩状态时，截面的轴力为常数。 因因 F