微积分基础知识总结以及泰勒公式

1、3.3 泰勒公式常用近似公式 e 1 x, sinx x( x 充分小 ) ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示， 这是一个进步。 当然这种近似表示式还较粗糙 (尤其当 x 较大时)，从下图可看出上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是 提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数 f ( x)，想找多项式 pn(x)来近似表示它。自然地， 我们希望 pn ( x)尽可能多地反映出函数 f ( x)所具有的性态 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 pn ( x)的形

2、式如何确定； pn(x)近似 f (x)所产生的误差 Rn(x) f(x) pn(x)。【问题一】设 f(x)在含 x0的开区间内具有直到 n 1阶的导数，能否找出一个关于(x x0) 的 n 次多项式pn(x) a0 a1(x x0) a2 (x x0 )2an(x x0)n(1)且 pn(k)(x0) f(k)(x0) (k 0,1, ,n)近似 f(x)?问题二】若问题一的解存在，其误差 Rn(x) f(x) pn(x)的表达式是什么 ?求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数 a0,a1, ,anpn (x ) a0 a1( xx0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0

3、 )na0 pn(x0)pn( x) a1 2a2(x x0 ) 3a3(x x0 )2nan(xx0n1a1 pn(x0 )pn (x) 2 1 a23 2 a3(xx0)4 3 a4(xx0)2n (n 1)an(xx0 )n 22 1 a2 pn(x0)2 n 3pn (x) 321a3 432 a4 (x x0) 543a5 (x x0)2n(n 1)(n 2) an (x x0)n 33 2 1 a3 pn (x0)上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：a0 pn(x0) f (x0 )1 a1 pn(x0 ) f (x0 )2 1 a2pn(x0)f (x0)3 2 1 a3

4、pn (x0) f (x0)般地 , 有k(k 1)( k 2) 2 1 akp(nk)(x0) f (k)(x0 )从而 , 得到系数计算公式 :a0f ( x 0 )a1f (x0 )1!a2f (x0 )2!a3f ( x0)3!ak(k)(x0)k!(k 0,1,2, , n)于是，所求的多项式为：pn(x)f(x0)f 1(!x0)(xx0)fk(!x0)(xx0)kfn(!x0)(xx0)n1! k! n! (2)解决问题二】泰勒 (Tayler) 中值定理若函数 f(x)在含有 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到 n 1阶导数，则当x (a,b)时， f ( x)可以表示成f

5、 (x) pn(x) Rn(x)nf (x0)k1f (k)(x0) (x x0)kk!f (n 1)( ) (n 1)!(x x0)n 1这里 是x0与 x之间的某个值先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：f (x)pn(x) Rn( x)f ( n 1) ( ) n 1f (x) pn(x) Rn(x)( x x0)n 1( n 1)!Rn(x)f (n 1)( )( x x0 ) n 1( n 1)!注意到 : Rn(k) (x0) f (k)(x0) pn(k) (x0) 0 ( k 0,1,2, ,n ) q(t) (t x0)n 1,q(k)( x0) 0 ( k 0,1,2,

6、 ,n ), q(n 1)(t) (n 1)! (因 q(t)是关于 t 的 n 1次多项式 ) pn(t) (n 1) 0 (因 pn(t)是关于 t 的 n 次多项式 ) 取 Rn(t) f (t) pn(t), 则 Rn(n 1) (t) f (n 1)(t)Rn(x) Rn(x0) Rn(n 1) (t)q(x) q(x0 )q(n 1)(t) t这表明：n1只要对函数 Rn(t) f (t) pn(t) 及 q(t) (t x0) 在 x与x0之间反 复使用 n 1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】 x (a, b) x x0以 x0与 x为端点的区间 x0,x或x

7、,x0 记为 I ， I (a,b)。函数 Rn(t) f (t) pn(t) 在 I 上具有直至 n 1 阶的导数，且 Rn(x0) Rn (x0) Rn (x0)Rn(n)(x0) 0Rn(n 1)(t) f (n 1)(t)函数 q(t) (t x0)在 I 上有直至 n 1阶的非零导数，且 q(x0) q (x0) q (x0)q(n)(x0) 0q(n 1)(t ) (n 1)!于是，对函数 Rn(t) 及 q(t) 在 I 上反复使用 n 1 次柯西中值定理， 有1 在 x0 与 x 之间2在x0 与 1之间3在x0 与 2 之间n 1在 x0 与 n 之间( n 1)Rn( x)

8、(n 1)!( n 1) ( )( ) q(x) (n 1)!(x x0 )n 1三、几个概念1、nf (x) f (x0)k1f (k)( x0)k!f ( n 1) ( )(x x0)k f(n 1()!) (x x0)n 1此式称为函数 f(x)按(x x0 )的幂次展开到 n 阶的泰勒公式；或者称之为函数 f (x) 在点 x0 处的 n 阶泰勒展开式当 n 0 时， 泰勒公式变为f (0 1) ( )f (x) f(x0)(x x0)0 1 f (x0) f ( ) (x x0)( 0 1)!这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。f ( n 1) ( )Rn(

9、 x) f ( ) ( x x0)n 1( n 1)!为拉格朗日余项 。2、对固定的 n ，若Rn(x)f (n 1)( x) Mn1axb(n 1)!此式可用作 误差界的估计Rn(x) Rn(x) Rn( x0) Rn ( 1) q(x) q(x) q(x0 )q ( 1)Rn ( 1) Rn (x0) Rn ( 2 ) q ( 1) q (x0)q ( 2 )Rn ( 2 ) Rn (x0) Rn(3)( 3) q ( 2) q (x0)q(3)( 3)Rn(n 1)( n 1 ) q(n 1) ( n 1)( n 1)n1( n 1)!记 n 1 , 在 x0 与 x 之间Rn(x)(x

10、 x0 )nM( n 1)!x x0 0 ( x x0 )故 Rn(x) o( x x0 )n (x x0)表明： 误差 Rn(x)是当 x x0时较 (x x0 ) 高阶无穷小， 这一余项表达 式称之为 皮亚诺余项 。3、若 x0 0，则 在 0 与 x 之间，它表示成形式x (01) ，泰勒公式有较简单的形式麦克劳林公式f (x) f (0) f (0) x f (0) x2f (n)(0) xn f (n 1)( x) xn 1(0 1)1! 2! n! (n 1)!(n)近似公式f (x) f (0) 1!f (0) x f (0) x2 f (0) xn (01)2! n!误差估计式

11、Rn(x)M( n 1)!例 1】求 f ( x) e 的麦克劳林公式。解：f (0)f ( 0) f (0)(n)(0) e0 1， f (n 1)( x) e x于是1xx1!2x ne x2!n !(n 1)! xn 1 ( 0 1)有近似公式2xx1! 2!n xn n!(k)(x) ex (k 0,1,2, , n )其误差的界为exRn(x)(ne 1)!y 1 x 1 x22y 1 x 1 x2 1 x326x我们有函数 y e 的一些近似表达式。(1) 、 y 1 x (2) 、 2(3) 、在 matlab 中再分别作出这些图象，观察到它们确实在 逐渐逼近 指数函数。(2m

12、1)! 2 x2m 1 ( 0 1)同样，我们也可给出曲线 图象。1 y x x y x 6y x 1 x3 1 x56 120例 2】求 f (x) sin x 的 n阶麦克劳林公式。解：(n)(x) sin( x n ) f (n)(0) sinf (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (3)(0) 1, f (4)(0) 0,它们的值依次取四个数值 0, 1, 0, 1。2m 1 m 1 xx3 x5m 1sin x x ( )m 1R2m( x)3! 5! (2m 1)! 2msin x (2 m 1) R2m(x)其中：y sin x 的近似曲线如下， 并用 matl

13、ab 作出它们的例 3】求 f (x) tgx 的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项(tgx) 2 解： cos x2cosx ( sin x) 2sinx( tgx )4 3cos x cos x3 2 2 2cosx cos x sin x 3cos x ( sin x) 2 cos x 6sin x ( tgx )2 6 4cos x cos xtgx x 0 0, (tgx) x 0 1, ( tgx) x 0 0, (tgx) x 0 22 3 3tgx x x3 o(x3 )于是： 3!利用泰勒展开式求函数的极限， 可以说是求极限方法中的 “终极武器” 用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。lim tgx 3sinx例 4】利用泰勒展开式再求极限 x 0x3解：tgxx 13x3 o(x3)sinx x 1 x3 o(x3)61 3 3 1 3 3 tgx sin x xx3 o(x3) x x3 o(x3)361 x3 ) ( o(x3) o( x3)613( x x) (3x3o(x3)13 x2tgx sin x lim x0x3lim 12x3 o(x3) x0x313 x lim 2 3 x 0 x3lim x0o(x3)x3tgx sin x lim x0x3lim x x x0x3lim 0