线性代数课件：1-5 克拉默法则

1、1.5 克拉默法则克拉默法则 利用利用n阶行列式来给出含有阶行列式来给出含有n个未知量的线性方程组的公式解。个未知量的线性方程组的公式解。定理定理11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 设含有设含有n n个未知量的线性方程组为，个未知量的线性方程组为，如果系数行列式如果系数行列式则方程组有唯一解则方程组有唯一解:1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa1212(2),nnDDDxxxDDD 其中其中Dj j( (j j=1,2,=1,2, ,n n) )是把系数行列式是把系数行列式D中第

2、中第j j 列的元列的元素换成方程组的右端常数项所构成的素换成方程组的右端常数项所构成的n n阶行列式阶行列式, ,即即111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 证证略略该定理说明当该定理说明当D0时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解, ,而且利用行而且利用行列式的概念，该唯一解可以用列式的概念，该唯一解可以用简洁的公式来表示。简洁的公式来表示。211112122221111nnnnnnaaaaaaDaaa 例例设设aiaj （i j，i，j1,2,n)求解方程组求解方程组解2111213121122232211323

3、33211231111nnnnnnnnnnnxa xa x. axxa xa x. axxa xa x. ax.xa xa x. ax 系数行列式系数行列式范德蒙德行列式1()jinjiaa 0 由克拉默法则解方程组有唯一解：由克拉默法则解方程组有唯一解：1212,nnDDDxxxDDD 现在，现在，1,DD 而当而当j22时，时，Dj中会出现第中会出现第1 1列和第列和第j j 列都是列都是1 1，故，故Dj0 0，所以方程组的唯一解是，所以方程组的唯一解是，121,0,0nxxx 性质性质111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa x

4、a xa x 设含有设含有n n个未知量的线性方程组为，个未知量的线性方程组为，如果系数行列式如果系数行列式则则,方程组只有零解，方程组只有零解，0,D 120,0,0nxxx 为什么呀为什么呀111111D 例例问问取何值时，下面线性方程组只有零解取何值时，下面线性方程组只有零解. .解123123123000 xxxxxxxxx 系数行列式系数行列式21RR31RR110-11- -101- 321()CCC+2110-10-100 2(1) (2) 由性质知道，当由性质知道，当D0D0时，即时，即1 1且且2 2时，该方时，该方程组只有零解。程组只有零解。作业：（注：每周一早上8点交作业

5、）P30 1.（2）（3） 2.1.6 概要与小结概要与小结概要概要本章重点内容可以归结为三个方面：本章重点内容可以归结为三个方面：一个概念（一个概念（n n阶行列式）阶行列式）两种计算行列式的方法两种计算行列式的方法九类可直接求出的行列式九类可直接求出的行列式一、一、n n阶行列式阶行列式n n阶行列式阶行列式| |aij| |n n是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其定义可是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其定义可分为三个步骤，分为三个步骤，1 2 nj jj1212njjnjaaa1 2()( 1) nj jj 取项取项(不同行不列)冠符冠符(以逆序数确定符号)求和求和(乘积项的和）

6、|aij|n此处行指标是标准排列，此处行指标是标准排列，若非标准排列，那如何若非标准排列，那如何确定符号呢？确定符号呢？1211 21,nnnnaaaa0二、二、九类可直接求出的行列式九类可直接求出的行列式11121222000nnnnaaaaaDa11212212000nnnnaaaaaa 1121nna aa1211 21,nnnnaaDaa0()(),1211211n nnnna aa1.2.3.4.1111111111110000rrrrrsssrsssaaaaccbbccbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb5.1111111111110000rsrrrrrsssss

7、aaccaaccbbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb6.1111111111110000rrrrsrsssssraaaabbccbbcc 1111rrrraaaa1111ssssbbbb7.1111111111110000srrrsrrrssssccaaccaabbbb 1111rrrraaaa1111ssssbbbb8.() 1rs() 1rs9.n阶范德蒙德阶范德蒙德行列式行列式12222121211112111(,.,)nnnnnnnaaaaaaD a aaaaa 213113221()().()().().()nnnnaaaaaaaaaaaa 1().jinj i

8、aa 记为三、两种计算行列式的方法三、两种计算行列式的方法计算行列式可归结为两个字：计算行列式可归结为两个字：化简化简化简为前面九类基本行列式化简为前面九类基本行列式降阶降阶最常用最基本的就是把行最常用最基本的就是把行列式化为上列式化为上三角行列式三角行列式利用行列式性质，在某一行利用行列式性质，在某一行（列）构造出尽可能多的零，（列）构造出尽可能多的零，再按该行（列）展开再按该行（列）展开构造尽可能多的零例例求多项式求多项式 f (x) 的全部根，其中的全部根，其中1211211211231231111( )11nnnnnxaaaaxaaaaxaf xaaaxaaaa 解法一邻近两行非常接近

9、，为邻近两行非常接近，为了构造尽可能多的零，了构造尽可能多的零，可以考虑相邻两行相减可以考虑相邻两行相减( )f x R1R2R2R3 .RnRn+1 12312310000000000000001nnnxaaxxaxaxaaaaa 按第n+1列展开 1230000000000nnxaaxxaxaxa ()()()12nx ax ax a所以，所以，f（x) )的全部根是：的全部根是：a1，a2，an。解法二对于对于n阶行列式，也可考虑利用递推关系求解。阶行列式，也可考虑利用递推关系求解。( )f x 记为1112112112111231231()101010101nnnnnnxaaaaaax

10、aaaaxaDaaaxaaaa 11212121123231101010101nnnnnnxaaaaxaaaxaDaaxaaa 1121121121123123111111nnnnnaaaaaxaaaaxaaaaxaaaa () 2n 12n 112323n 1nxaa1axa1xa0aax1aaa1所以所以11(), nnDxa D对任意对任意n都成立，即都成立，即,111211212121121()()()()()()1()()()()()()()1nnnnnnnnDxa DxaxaDxaxaxaDxxaxaxaxaxaxaxaa所以，所以， f（x)x)的全部根是：的全部根是：a1，a2，an。解