经典力学中的对称性与守恒定律

1、毕业论文窗体顶端窗体底端 题 目 经典力学中的对称性与守恒定律 学生姓名 郭俊明 学号 1110014028所在院(系) 物理与电信工程学院 专业班级 物理1101班 指导教师 王剑华 2015年5月10日 陕西理工学院毕业论文经典力学中的对称性和守恒定律郭俊明 （陕理工物理与电信工程学院物理学专业1101班，陕西 汉中 723001）指导老师:王剑华 摘要对称性和守恒定律在物理学中具有非常重要的意义,因此近几个世纪以来对于它的研究引起了物理学家的高度关注。本文首先从经典力学中的变分原理出发,导出拉格朗日方程,利用拉格朗日函数中的物理信息,找出对称性与守恒定律之间的关系,就此举出生活中守恒定律

2、的应用实例,最后得出守恒定律是由对称性或某种基本量不可观察不可测量所导致的。 关键词变分原理; 拉格朗日函数;对称性;守恒定律引言 人类在认识自然界时,经常会观察其对称性,而对称性是自然界的所有物质和过程都存在或者产生它的对应,是物理规律经过某种变换后的不变性。所谓的对应指的是形态上的对应、现象中的相同、物质的正反、结构上的重复、规律的不变性和性质的一致等等。从对称性出发能解释自然界相互联系中的不变性、一致性和共同性。所以,对称性是物理学家探索自然规律的基本依据和出发点。物理学中动量守恒、能量守恒和角动量守恒在任何时间和任何地点都相同,并且与空间的取向无关。所以,对称性与守恒定律之间必然存在特

3、定的关系。以前有很多物理学家都在寻找物理规律中的对称性和守恒定律之间的关系。1918年,德国的女数学家诺特（Amalie Emmy Nother,1882-1935）在她获得讲课的权力之后,发表了关于对称性和守恒定律内禀关系,即为著名的“诺特定理”,它的精髓是如果运动规律在不依赖时间的变换下具有不变性,那么必定相应地存在一个守恒定律和守恒量2。虽然对称性和守恒定律的关系是从经典力学推导出来的,但它实际的应用领域却远远超出了牛顿力学的范畴,比如,微观领域中动量守恒定律在康普顿效应中的应用3现在的科学家着眼于力学系统与守恒量的研究,并且渗透到数学、力学、物理学等各个领域。众多科学家寻求典型力学系统

4、的守恒量,并且研究与守恒量相应的 Noether 对称性和 Lie 对称性,受到了许多分析力学专家关注。20世纪六七十年代 Currie 等对 Lagrange 对称性的最早探索是对不同自由度Lagrange 函数等价问题的研究。上世 纪 70 年代末到 90 年代,Lutzky 等对力学系统的 Lagrange 函数等价问题做了一系列的研究, 后来将这种 Lagrange 函数等价关系叫做为 Lagrange 对称性,Lagrange 对称性现逐渐被推广到 Hamil- ton 等系统。近些年来,科学家在约束力学系统三种对称性及其导致守恒量的研究方面取得了许多重要成果4-11。在我们的生活中

5、，守恒定律有许多应用，使生活中的现象更具科学化14。本文将从经典力学中的变分原理入手,接着以拉格朗日函数为基础进行讨论,找出函数中的对称关系及其成立的条件,最终推导三种对称性与守恒量之间的关系,就此举出生活中的实例,并且进行解释说明,最后进行总结。1.由变分原理到拉格朗日方程 变分法是研究泛值函数的一种数学理论,它是力学中最速落径问题的诱导而发展起来的。由伊凡贝努力提出来的最速落径是这样一个问题:A、B不是位于同一铅直线上的两个点。在连接A、B的所有曲线中找出一条光滑曲线C,使初速度为零的质点在重力的作用下,沿着C由A滑落到B所用的时间最短。对于某个已知的函数形式,作的定积分 , （1.1）的

6、值依赖于函数,是的泛函。取极值时所对应的曲线被称为泛函的极值曲线。由于曲线必须通过和两点,所以有 ,. （1.2） 在极值曲线的附近可以作出它的近旁曲线。我们把近旁曲线表示为 , （1.3）式中的是的任意函数,则是任意的小参数。取不同的值,便可得到极值曲线不同的近旁曲线。由于自变量的增量引起函数的增量,被称为的微分。可是,在自变量不变时,由于参数的改变也会引起函数值的变化。的增量时,函数的增量记为,被称为函数的变量。变分是由于函数结构的改变而引起的增量。由变分的定义可知 , （1.4）从（1.1）式可以看出,函数的变分将引起的变分和泛函的变分,即为哈密顿原理,在相同的时间、相同的初末位置和相同

7、的约束条件下,完整保守系统的真实运动对应于作用量的极值,即对应于 . （1.5） 我们从哈密顿原理出发,导出拉格朗日方程。研究个自由度的完整保守系的运动,对任意的两个时刻、均有 , （1.6）由于是等时变分,即,故求变分得 （1.7） 哈密顿原理指出,对于质点系的真实运动,即上式的积分为零。由于积分区间是任意的,故知被积函数为零。又因彼此独立,所以的个系数应全为零,于是得到拉格朗日方程 . （1.8） 这就说明,只要质点系的运动使,则必满足拉格朗日方程。哈密顿原理与牛顿方程、拉格朗日方程是等价的,可以用它作为最高原理来表述整个经典力学。2.拉格朗日函数中包含的物理信息及其对称性。 受有理想约束

8、的完整系拉氏方程如下, （2.1） 拉氏方程在上式的广义坐标以时间为变量的个二阶微分方程。物理上是体系实际运动遵循的规律。式中是以广义坐标、广义速度及时间表示的体系在惯性系中测量的动能。是以表示的在惯性系中测得的主动有势力的势能。是与相关的广义力。定义,是一标量函数,体系的特征量。保守系的所有动力学信息都包括其中了。由及拉氏方程和初始条件,就可以完全确定完整保守体系的运动。称为拉格朗日函数或拉氏函数。完整系拉氏方程用一简单算符表示,可写为 , （2.2）其中表示。拉式方程中项的意义:-与广义坐标共轭的广义动量。当是线量时,是线动量分量；当是角量时,是角动量分量。-广义动量的时间变化率。 当是线

9、量时,是力的分量；当是角量时,是力矩分量。-称为拉格朗日力,是（选取曲线坐标作广义坐标）时出现的惯性力。-是与相应的广义力。在研究保守系的拉氏方程时,对于保守力系,广义力 =. （2.3） 将与拉格朗日函数代入完整系拉氏方程得, （2.4）或 , （2.5）称为完整保守拉氏方程,常简称为拉氏方程。 速度相关势(广义势)下的拉氏方程,设依赖于广义速度,是速度相关势,相应的广义力为 , （2.6）代入完整系拉氏方程,得与（2.5）相同形式的拉氏方程,只是其中的拉氏函数。 同时存在有势力和非有势力的拉氏方程的情况,广义力为 , （2.7）其中包含作用于质点系但未隐含与位能中的所有的主动力。拉氏方程为

10、 , （2.8）即 （2.9）或 . （2.10） 为什么物理体系中的运动会遵守一定的定律?我们知道的动量守恒、能量守恒等守恒定律,它们又是什么原因呢?现代理论物理研究科学工作者运用科学的研究方法证明了,物理定律的决定因素是物理体系所赖以存在的空间、时间属性。物理规律通常具有一定的对称性,在数学形式上,这种对称性表现为运动方程对于一定的数学变换具有不变性,但其根源乃是拉格朗日函数在一定的数学变换方面具有不变性。一种不变性必然对应着一种守恒定律。比如；电荷守恒定律是拉格朗日函数的规范不变性导致的；动量守恒定律和能量守恒定律是拉格朗日函数对于空时坐标移动的不变性导致的；角动量守恒定律是空间转动的不

11、变性导致的；宇称守恒定律是空间坐标反射具有不变性导致的等等。由此可知,运用拉格朗日形式可以得出空间、时间的属性与物理运动的规律之间所存在的密切联系,研究的意义重大。3. 时空平移对称性与能量守恒 物理学中的对称性就是物理定律在某种变换下的不变性。人们认识物理规律,更多地注重对其中所包含的对称性的认识。对称性对作用量的形式有制约的作用,但是物理学家并不可能提前知道这个世界所涉及到的所有对称性,而已经确定知道的对称性又不足够完全确定作用量的形式。虽然作用量可能具有的形式已经大大受到限制,但是它们还是可以具有多种可能的对称形式。依据诺特定理作用量的一种对称性就对应一个守恒定律,有一个守恒量。对称和守

12、恒的联系是非常紧密的。而且,现代物理学已有证明,每一种对称性就对应着一个守恒定律,这就是二者之间的关系。 物理实验的过程和结果不会随着它在什么时间做的改变,也就是说物理规律具有时间平移不变性。不管是昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的,即物理定律不随时间变化,时间平移不变性又称时间平移不变性或时间均匀性。时空平移对称与能量守恒相对应。 质量为m的一个粒子,在势能V(x,t)场中做一维运动,其受力为F, , （3.1）一般情况 , （3.2）将（3.2）代入（3.1）中得 , （3.3）再由动能定理,（3.3）式变为 . （3.4） 若热能函数不随时间变化时,即 , （3.5）则。综上所述,

13、如果势能函数对时间平移具有不变性,那么能量就具有守恒性。用对称性原理表述,如果有势能对时间平移的不变性,那么就必然有能量守恒性。所以,假如物理定律随时间变化,例如,如果重力法则随时间变化,那么就可以利用重力会随时间变化的性质,当重力变弱时,把水提升到蓄水池中,所需要做的功就会变少；利用水利发电的过程中,在重力变强的时候,把蓄水池中的水泄放出来,释放出较多的能量,发的电也就更多。如果这样的发电机存在的,那么这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机,能量守恒定律也就不成立了,这就很好地说明了时间平移对称性与能量守恒定律之间的联系。4.空间平移对称性与动量守恒 在实验条件相同的前提下,在两个不同

14、地点做相同的实验,所做的的实验结果都相同,也就是说物理实验与它所处的空间位置没有关系。所以,物理规律具有空间平移不变性。空间平移不变性也称空间平移对称性或空间均匀。空间平移对称性与动量守恒相对应。 一个质量为m的粒子在势能为V（x,t）的场中做一维运动,用p表示粒子的动量函数,其运动由下面的方程决定 . （4.1） 若位置x不影响空间势能函数V,即 , （4.2）则。 综上所述,如果势能函数对空间平移具有不变性,那么动量就具有守恒性。也就是说有势能对空间平移的不变性,就会有动量的守恒性。例如,依两个质点组成的系统为例,用表示它们的相互作用能,作为这两个质点位置的函数,由物理定律具有空间平移不变

15、性可知,质点的绝对位置是一个不可观测量,质点间的相互作用势能决定于质点间的相对位置,即为。如果把质点1和质点2移动相同的小量,相互作用能不会发生变化,那么相互作用力所做功的总和就为零。因为位移相同,所以系统相互作用力之和为零,即两个质点间的作用力与反作用力大小是相同的,方向相反,并且在一条直线上,而这刚好是牛顿第三定律。我们知道,在力学范围内,牛顿第三定律与动量守恒定律的关系是互为因果的。可见,空间平移对称性与能量守恒之间的联系是对应的,即只要空间平移对称,能量就守恒。5.空间转向对称性与角动量守恒 在实验条件相同的前提下,物理实验与空间的取向没有关系,即使把实验装置转换一个方向,并不会影响实

16、验过程和结论。所以,物理规律具有空间转向不变性,空间转向不变性也叫空间转向对称性或空间同向性,空间转向对称性与角动量守恒相互对应。 质量为m的一个粒子在势能为的场中做的是二维运动,并且绕着Z轴转动,假设用极坐标代替笛卡尔坐标,那么粒子的转动方程为: , （5.1）其中L为角动量。 当势能函数不随着空间方向变化时,即 , (5.2)则。 综上所述,如果势能函数对空间转向具有不变性,那么角动量就具有守恒性。也就是说,只要有有势能的空间转向不变性,就必然有角动量的守恒性。6.守恒定律在科学技术及生活中的应用 卫星运行是我们现代科技发展的一个重要体现，那么卫星是怎样一直围绕着地球运行的，而不会脱离地球

17、或者掉下来。我们运用守恒定律来解释这一现象。地球对卫星有吸引力，会产生加速度，这时速度与力垂直，合力不做功，按动能定理，动能守恒。轨道高度越高，卫星能够停留在轨道中的时间越长。因为在较高高度的太空近似与真空，卫星受到的的摩擦阻力很小，可以近似看成仅受保守力的作用。因此机械能守恒，他应该永远转下去。在体育运动中,人体的空翻过程,经过分析受力情况,我们知道只受重力作用于质心。 所以通过质心的任一轴线,重力力矩为零。如果不计空气阻力,那么人体所受到的合外力矩就为零。就可以得到通过质心的任一轴线的角动量守恒,即 （k为回转半径） （6.1） 分析（6.1）式可知 ,所以当人体的四肢伸开或靠拢时,就会引

18、起的改变,改变角速度的大小。在上升的过程中,四肢伸展,处在远离质心的位置,回转半径k增大,转动惯量也增大;当到达最高点时,尽量收拢四肢,处在靠近质心的位置,这时回转半径 k 减小,转动惯量大为减小,从而转动角速度大为增大;当快完成翻转时,再次充分伸展四肢到远离质心的位置,以增大回转半径 k而增大转动惯量,使旋转角速度减小至停止翻转,平稳着地。这些完美的动作,都是在应用角动量守恒的基础上完成的。7.结论 综上可知, 由对称性或某种基本量不可观察或不可测量会导致相应的量守恒。我们可以看出各种不可能测量中,一部分是真正测量不到的,而有一些实际上是可以被测量的,只是由于当前测量技术限制,而不能测出。如

19、果将来这些不可测量被测到,那么相应的守恒定律就不再守恒。被测量也会受局域的影响,在一个局域能被测量, 而在另一个局域却不能测到。在对应的领域内,守恒定律的成立就要对应局域。为了求得理学的更加科学性和完整性,物理学家有两个重要的任务,一个是要找出更多的对称性及其相应的守恒定律, 另一个是要尽可能地找出一切实际上能够被观察的量。参考文献1 张斌,方建会,张东爱等等.相对论性非完整系统的Lagrange对称性与守恒量J.动力学与控制学报,2014,12（2）:105-106.2 黄祖洽.黄祖洽文存. 北京:北京师范大学出版社,1998.88-89.3 杨福家.原子物理学（第四版）M.北京:高等教育出

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