方程组的解法单元测试卷

1、方程组的解法单元测试卷二元及多元（二元以上）一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决.所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元咫W，5茅审例题予以介绍.分析因为三型=冬产=2表示两个方程，即例1解方程的22y + 3e 22y十方=2,或者x -4y 2y + 3ZX - 4y .下2二流x - 4y 2y + 3e2.所以原方程解将原方程组改写为2x + -Az - -7, k-4y 丁臼2 V十五 o次方程组.由方程得x=6+4y,代入化简得11y-4z=-19 . 由得2y+3z=4.X3+ X 4得33y+8y=-57+16,

2、所以y=-1 .仅二2,将y=-1代入，得z=2.将y=-1心区智？得x=2.所以 z-2为原方程组的解.说明 本题解法中，由，消x时，采用了代入消元法；解，组成的方程组 时，若用代入法消元，无论消 y,还是消z,都会出现分数系数，计算较繁，而利用两 个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单.解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技彳手帧解法输捷明快.y+2z - 8,例2解方程组、十加=山u+2x 6.工解法1由，消x得y + 2z = 8, 乙 + 2u= llT-+ Li = 4由，消元，得'y

3、十2工=8,Sy+ z = 19,解之得卜=2,x = 1,产2,将y=2代入得x=1.将z=3代入锂 里=4.所以7 = 5-2y,y = 8 -2z,解法2由原方程组得* =u = 6 - 2x.所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x, 2? = L 即x=-15+16x ,解之得x=1.将x=1佳公得u=4.将u=4代入得z=3.将z=3代入得y=2,所以u 4为原方程组的解.解法3+得x+y+z+u=10,由-(+)得y+u=6,由X2-得4y-u=4 ,+得y=2.以方略.x -y +z = 1,

4、说明 解法2很好地利用阿创方程桀的特点，解法偷、流畅.例3解方程组分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:+得x+u=3,y+v=5,+得z+x=7,+得u+y=9.又+得x+y+z+U+V=15.-得z=7,把z=7代入得把y=6代入得v=-1 .所以j=Q/g x=0代入得u=3,把u=3代入得y=6,u = 3,为原方程组的解.例4解方程组1 1 2一十 _ 一二-4x y z-+ = 11, x y1 2 二-H其 'J解法1X2+得H y由得一， 同 y代入得12三5 代入得上=：冉把工 2三名代人号 77 x = 5z 5 y 5l 1（&

5、#39;5为原方程组的解.12'10Z = 33I1F 门艇2令区=士，B =，C= A+B-2c =卫,为K y A-r ILIIP1解得直=7 * B =三,C= ,即 zz =5,5I2r1033为原方程组的解.说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减肖元或代入消元（此时的五”是一个含有未知数的代数式，如工等），解怯滞“¥为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程.例5已知试求三十二十三的值y 上 x分析与解 一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后，代入所求的代数式计算.但 本题中方程组是由三个未知数两个方程组成

6、的，因此无法求出x, y, z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.-消去x得X 3+消去y得X5+X3消去z得- = 0,即=.耳 y y所切埒即为所源 y e k例6已知关于x, y(2z + 2 (a-1) y = 3,分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解.分析 与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程 ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意，消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零.解由得2y=(1+a)-ax , 将代入得(a-2)(a

7、+1)x=(a-2)(a+2). (1)当(a-2)(a+? *0,即aw2且a*-1时，方程有唯一解区二T，将此K值代入有a + 1y = 2(a + iy因而原方程组有唯一一组解.(2)当(a-2)(a+1)=0 且(a-2)(a+2) w0时，即a=-1时，方程无解，因此原方程组 无解.(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程有无穷多个解，因此原 方程组有无穷多组解.例7已知关于x, y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0 ,当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解.解法1根据题意，可分别令a=1，F

8、=-2翡芬7方程得到一个方程组19 = 0.解之得将x=3, y=-1代入原方程得(a-1) 3+(a+2) (-1)+5-2a=0 .所以对任何a值卜=3,b= 1都是原方程的解.;取a=-2的说明 取a=1为的是使方程中(a-1)x=0 ,方程无x项，可直接求出 道理类似.解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解与a无关，故有卜十y.2 = G,一为-5= 0.解之得公共解为r =：17= 1国多时看信甲雄摘瞌而得到方程组的解为f =:乙看错了方 U = -i；( = 5；假如按正确的曰，b计算，试求出 y : 4.原方程的解.%=软析与解 因为甲只看错了方程中的a,所以甲所得到的解应满足无耳的正确的方程，即4X(-3)-b x(-1)=-2 . 同理，；：应满足正确的方程。即y =4解由，联立的方程组得aX5+5X 4=13.I:?所以原方程组应为解之得上;卜-2y - 3z +18 = 0,1 .解|空；=0, （2），+ x2+工三十乳4十区1 + 2K3 +区三+乳4 +卜if叼+ 2 .若X1正F纯灼,招气3冷酒起第 、*1+*? +玄弓+二试确定3X4+2X5的值.代藏誓琵丹-5袅aa（x+1）4. k为何值时，方程组 1有唯一一组解；无解；无穷多解？5,若方程组rr1|幺+乂 =