信号的采样与重构__上机实验

1、北京航空航天大学校内自用讲义上机实验指导实验一信号的采样与重构连续时间信号采样是获得离散时间信号的一种重要方式，但是时域上的离散化会带来信号在频域上发生相应的变化。在本实验中，我们将分别看到低通信号和带通信号在不同的采样率下得到的离散信号波形与连续信号波形在时域和频域上的对应关系。同时，离散信号的二次采样在实际的应用中可能是必须的，有时甚至是非常重要的。在实验的最后，我们也会看到离散信号的抽取和内插所带来的频谱变化。由于matlab语言无法表达连续信号，实验中我们采用足够密的采样点来模拟连续信号（远大于奈奎斯特采样的要求），即：t=0:Ts:T（Ts=1/fs<<奈奎斯特采样频率）

2、实验中，为了分析离散信号与连续信号之间的频谱关系，加深对采样定理的理解，了解模拟频谱、数字频谱、以及离散信号被加窗后各自的频谱，从而直观的理解采样频率对频谱的影响和加窗后对频谱的影响。由此可以掌握数字处理方法对模拟信号进行频谱分析的基本原则，即：如何选择合适的信号长度、采样周期以使得对模拟信号的频谱分析的误差达到分析的要求。在该实验中，用到的Matlab函数有:plot(x,y)，其作用是在坐标中以x为横坐标、y为纵坐标的曲线，注意x和y都是长度相同的离散向量；xlabel(xxx)，其作用是对x轴加上坐标轴说明“xxx”；ylabel(yyy)，其作用是对y轴加上坐标轴说明“yyy”；tit

3、le(ttt)，其作用是对坐标系加上坐标轴说明“ttt”；subplot(m,n,w)，其作用是当需要在同一显示面板中显示多个不同的坐标系时，m、n分别指明每行和每列的坐标系个数，w为当前显示坐标系的流水号(1到m*n之间)。在实验中我们需要画出信号的频谱，对于连续信号频谱的逼近需要你自己编写，原理如下：连续时间非周期信号的傅里叶变换对为：用DFT 方法对该变换逼近的方法如下：1、将在t轴上等间隔（宽度为T）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅度为其起始点的抽样值，然后把所有矩形脉冲的面积相加。该方法实际为平顶处理，利用采样和零阶保持器就可以完成,则有：2、将序列截断成从t=0开始长度为的

4、有限长序列，包含有N个采样，即时域加矩形窗，则上式又可以进一步近似为：由于时域采样，采样频率为，则频域产生以为周期的周期延拓，如果是限带信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，频域周期为。3、由于数值计算的限制，在频域上也只能计算离散点（频域抽样）上的数值。我们将频域的一个周期中也分成N段，即。每个频域采样点间的间隔为。则上式可以进一步化简为：由此我们看到了DFT与CTFT之间的近似关系。如果将T和取得尽量小，则我们可以得到模拟信号的较精确的时频特性。一、低通采样考虑以下模拟信号xa(t) ，xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+ 2*cos(2*pi*10*f0*t),令f0=1

5、00Hz。显然该信号的最高频率1kHz。1 采样频率fs大于信号最高频率10f0的2倍时信号的恢复。1）对信号以fs1=2.2kHz的频率进行采样，得到抽样信号x(n)= xa(t)|t=nT；2）利用内插公式xr(t)=x(n)*sin(pi*(t-n*Ts)/Ts)/ (pi*(t-n*Ts)/Ts)恢复出原始信号xa(t)；3）绘出x(t)= xa(t)- xa(t)的时域波形；4）利用前面介绍的画频谱的方法画出xa(t)和x(n)的频谱，对应3）中的误差曲线和频谱图说明是否有新的频率分量产生，是何原因？2 采样频率fs低于信号最高频率10f0的2倍时信号的恢复。分别取fs=6*f0和f

6、s=14*f0，重复1中的操作，注意观察时域波形和频谱的对应变化。二、带通采样通过该题目进一步加深对带通信号采样定理的认识，即不需要象低通采样那样需要信号最高频率的2倍才能恢复出原始信号。带通信号的采样定理可描述如下：如果模拟信号f(t)为带通信号，其角频率限制在fL和fm之间，则必须的最低采样频率fs>=2（fmfL）。且当采样率满足fs4 f0/(2n+1)（f0 （fmfL）/2为信号的中心频率，n=0,1,2,），则可以无失真的从采样信号中恢复原始信号。注意当fs的取值大于2fm时，与低通采样定理意义相同。考虑模拟信号xa(t) ，xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+ 2*

7、cos(2*pi*f1*t),令f0=1.6kHz，f1=2kHz。该信号带宽0.4k<<f0=2kHz，显然为带通信号。1请你根据带通采样定理，选取适当的采样速率以得到抽样信号x(n)，然后同样用内插公式恢复成模拟信号，并思考如何由该模拟信号得到原来的带通信号。2请绘出带通信号的频谱及x(n)的频谱，观察并比较它们。三、加窗后信号幅频特性的变化考虑一个以指数率衰减的信号xa(t)=e-at cos(2*pi*f0*t)，为简便起见，复数形式表示为xa(t)=e-at e2*pi*f0*t。现在以fs=1/T抽样，则得到抽样信号x(n)=xa(nT)，n=,-3,-2,-1,0,1

8、,2,。这样的无限长序列计算机是无法存储的，通常的做法是令xL(nT)=x(nT)，n=0,1,.,L-1，它是长度为L的加窗信号。模拟、采样、加窗后信号的频谱幅度如下：我们有极限 ，其中：=0.2s-1,f0=0.5Hz，fs=1Hz。1、请在同一图中绘出模拟信号频谱|Xa(f)|2及采样信号频谱T|Xa(f)|2,在另外一张图中绘出三个频谱|Xa(f)|2, T|Xa(f)|2,T|XL(f)| 2 (频率范围:0<f<3Hz)2、改变xL(nT)=x(nT) 的长度L并重复1，观察其中的变化。四、信号的抽取和内插设离散时间信号为汉宁窗信号（升余弦）：当N=32时：1、 给出的

9、幅频特性曲线；2、 给出x(n)经两倍抽取之后的幅频特性；3、 给出x(n)经两倍内插之后的幅频特性；4、 当N=16时，重复1、2、3。实验二 滤波器的设计滤波器设计是数字信号处理中最基本的内容之一。我们知道滤波器分IIR滤波器（无限冲激响应滤波器）和FIR滤波器（有限冲激响应滤波器）两种。对于现实应用中的具体指标的滤波器，如果能用IIR实现，用FIR也同样能够实现；反之亦然。IIR滤波器的设计主要有两种方法：一种是冲激不变法，另一种是双线性变换法。这两种设计方法都是对原型连续时间滤波器进行变换来设计数字信号滤波器。在这些变换中，通常要求所得到的数字滤波器的频率响应中应保留连续时间滤波器频率

10、响应的基本特性。FIR滤波器的设计方法以直接逼近所需离散设计系统的频率响应为基础。另外FIR滤波器可以很容易地获得线性相移特性，不存在不稳定的问题，在实际系统中是广为采用的一种数字滤波器。一般在FIR滤波器设计中，我们都加上线性相移这一条件。FIR滤波器的设计，通常有窗函数设计法、频率抽样设计法和最佳逼近设计法。窗函数设计法比较简单，它的频率特性是理想滤波器频谱与窗的频谱的卷积。因而，其频率特性取决于窗的类型和长度。频率抽样设计法比较直观，但由于频域的采样会造成时域的混叠，从而滤波器叠性能不可能很高，为提高滤波器的性能，可以在过渡带加上01之间的过渡点。一、IIR滤波器设计1设计一个巴特沃思低

11、通滤波器，其技术指标为：3dB带宽为，阻带截止频率为，阻带衰减大于30dB，采样间隔T=10us。1）用冲激响应不变法2）用双线性变换法设计3）用FIR的矩形窗函数设计要求：在同一图中画出原型、冲激响应不变法、双线性变换法和FIR窗函数设计法所设计的数字滤波器的幅频特性图。通过本题，应该清楚地看到冲激响应不变法和双线性变换法设计的滤波器频谱特性与原型连续滤波器之间的相同和不同点、IIR和FIR滤波器设计法的比较，以及为什么在IIR数字滤波器的设计中通常采用双线性变换法。2用双线性变换法分别设计低通、高通、带通、带阻四种滤波器。模拟滤波器带原型分别为切比雪夫滤波器和椭圆滤波器，采样率Fs=20k

12、Hz，指标如下：1） 低通：通带04 kHz，阻带5 kHz，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。2） 高通：阻带04 kHz，通带5 kHz，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。3） 带通：通带2kHz4 kHz，阻带01.5 kHz，4.5kHz以上，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。4） 带阻：阻带2kHz4 kHz，通带01.5 kHz，4.5kHz以上，通带衰减Rp=0.5dB，阻带衰减As=10dB。要求：分别画出低通、高通、带通和带阻四种滤波器的幅频特性图，并且要求两种不同的原型滤波器下设计的结果画在同一幅图中。本题要求同学们掌握低通、

13、高通、带通、带阻型的IIR滤波器的设计方法，以及在不同类型的原型滤波器下，所设计滤波器的区别。二、FIR滤波器设计3当N=11，41，81，121时，用矩形窗设计一个低通FIR滤波器，其剪切频率wc0.3。画出其幅度响应H(w)。要求：掌握利用窗函数设计FIR滤波器的方法，了解阶数不同时，滤波器的指标有何变化。4用凯泽而窗、哈明窗、矩形窗设计一个具有以下指标的低通滤波器：fs=20kHz,fpass=4kHz,fstop=5kHz,Astop=80dB,画出它们的幅频响应。然后再用三种窗设计一个具有下列指标的高通滤波器fs=20kHz,fpass=5kHz,fstop=4kHz,Astop=8

14、0dB,画出它们的幅频响应。比较凯泽窗，矩形窗，哈明窗设计相同长度滤波器的异同。要求：了解矩形窗和哈明窗在主瓣宽度、旁瓣宽度、旁瓣衰减速度方面的差异。掌握设计凯泽而窗时各参数的计算和凯泽而窗的设计，了解凯泽而窗的特点，以及与其他窗在主瓣宽度、旁瓣峰值、旁瓣衰减速度等方面等异同。5用频率抽样法设计一个理想低通滤波器，该低通滤波器的通带截止频率为3/8，阻带截止频率为4/8。1） 不加过渡点。2） 加一个过渡点。3） 加两个过渡点。要求：掌握并了解在过渡带加过渡点对逼近滤波器的实际响应的影响，掌握频率抽样定理及其内插公式，以及所加过渡点的位置不同时，对逼近滤波器的响应的影响。实验三FFT对连续时间

15、信号进行处理一、FFT用于谱分析用数字技术来对连续信号进行频谱分析，首先要对连续时间信号离散化，这一过程是通过对连续时间信号抽样得到的，抽样间隔必须满足抽样定理，即抽样的频率必须大于或等于信号带宽的两倍。因而，这就要求信号的带宽必须有限，根据信号理论，我们知道信号的带宽和信号的时宽之间是有制约关系的，带宽有限的信号时宽一定是无限的。为了能用数字计算机对连续信号进行频谱分析，我们必须要对信号进行截短，截短的过程相当于一个窗函数与原信号相乘的过程，在频域是信号频谱与窗函数的频谱的卷积，故窗的频率特性影响到对原信号的分析，为了减少这一影响，要求窗函数的频率特性是主瓣尽可能的窄，旁瓣尽可能的低。 在用

16、FFT进行频谱分析时，人们常常会产生一种误解，认为在有效数据后补零可以提高频率的分辨率。但是，由于用FFT进行频谱分析，原信号频谱是被窗函数卷积而模糊了，其模糊程度是由窗函数的主瓣宽度决定的，而它的主瓣宽度取决于截短的数据长度，也就是说长度越长主瓣越窄，模糊度越低。数据后面补零，只是起到对插值的作用，使频谱的外观得到平滑，克服了栅栏效应。这将通过第一道上机练习题得到验证。第二道上机题，同学们可以体会到采用不同的窗函数对频谱分析的影响。1、 已知一正弦信号：其中试利用FFT对信号进行频谱分析，信号截断采用矩形窗。要求如下：1） 离散数据长度是16个点，用16点FFT分析。2） 离散数据长度是32

17、个点，用32点FFT分析。3） 离散数据长度是64个点，用64点FFT分析。4） 离散数据长度是128个点，用128点FFT分析。5） 离散数据长度是512个点，用512点FFT分析。6） 离散数据长度是16个点，其后再补48个零点，用64点FFT分析。7） 离散数据长度是16个点，其后再补506个零点，用512点FFT分析。8） 离散数据长度是32个点，其后再补32个零点，用64点FFT分析。9） 离散数据长度是32个点，其后再补480个零点，用512点FFT分析。2、 分别利用凯泽窗和哈明窗对下面的信号作频谱分析，其中；凯泽窗。以上各题要求画出幅频特性图。二、FFT用于卷积3、分别用直接卷

18、积法、重叠保留法、重叠相加法、求以下两个序列的卷积，看结果是否相同。每次输入的序列为N128三、FFT用于滤波4、利用FIR滤波器。利用FIR滤波器的前提必须是冲激响应的长度是有限的，先对输入和系统函数求FFT，然后相乘，再求IFFT。输入为长度为画出输入信号和输出信号。Matlab中的函数的说明：y = fft(x,n)： 对序列x进行n点的FFT变换y = ifft(x,n)：对序列x进行n点的FFT逆变换w = hamming(n)：产生一长度为n的哈明窗w = kaiser(n,beta)：产生一长度为n的凯泽窗实验四 DTMF信号辨识双音多频(DTMF)是按键电话通信的德国名称，它等

19、效于贝尔系统中所用的接触音频系统。在DTMF通信系统中，高频音与低频音的一个组合表示表示一个特定的数字或者字符(*和#)。8个频率按以下矩阵图提供给16个字符或数字。其中12个（数字和*、#）分配如图示，其他4个保留备用。第一列1209Hz第二列1336Hz第三列1477Hz第四列1633Hz第一行697Hz123A第二行770Hz456B第三行852Hz789C第四行941Hz*0#D拿起电话听筒放在耳边会听到拔号音，若按下重拔(Redial)键，则电话机会自动重拔上次所拔电话号码，对双音多频电话机，此时会在耳边听到代表不同数字的声音，每个数字都由二个不同频率的信号组成。从.wav文件中提取

20、频谱的方法：你可以用matlab函数wavread(具体用法请参阅matlab help)把数据从.wav文件中读出来（这些数据是时域上的的采样数据，采样率可以从wavread函数的返回值中获得），并采用一定手段设定一个阈值，当数据的幅值大于这个阈值时就确定此时为数字按键声音数据的开始，然后从此向后取一定数量的采样数据（如512点），并对它进行fft变换，得到这些数据对应的频谱，从而确定该声音文件对应的数字键。该实验中已经提供给你一些录好的加有背景噪音的电话数字按键的声音文件(.wav文件)，这些文件中包括了一些电话号码（如82317216，013671367249，它们的位数不一定相同）。请

21、你应用上面提供的方法，识别出这些电话号码。你所编写的处理程序要能达到如此程度：以一个包含拔号信号的数据文件为输入，其输出就是电话号码，处理过程中不需要人工干预（可以采用display函数显示这些数字键）。 MATLAB的常用函数三角函数sin正弦函数Cos余弦函数Tan正切函数Asin反正弦函数Atan反正切函数Sinh双曲正弦函数Cosh双曲余弦函数Tanh双曲正切函数Asinh反双曲正弦函数Acosh反双曲余弦函数Atanh反双曲正切函数Acos反余弦函数初等函数Abs实数的绝对值、复数的模、字符串的ASIIC值Angle复数的幅角Sqrt方根函数Real复数的实部Imag复数的虚部Con

22、j复共轭运算Round最邻近整数截断（四舍五入）Ceil不大于自变量的最大整数Rem不小于自变量的最小整数Exp自然指数函数（以e为底）Log自然对数函数（以e为底） log10以10为底的对数函数信号处理工具箱函数 函数形式函数功能关于函数参数的说明X=sawtooth（t,width）产生锯齿波或三角波。width用于确定最大值的位置，即从0到2*width函数从-1上升到+1。X=square(t,duty)产生方波Duty用于指定正半周期的比例Y=abs(x)求绝对值当x为复数时，得到的是复数模（幅值），若x为字符串，得到的是各个字符的ASCII码。C=conv(a,b)求卷积求取矢量

23、a和b的卷积,c的长度为a和b的长度和减去1。h,w=freqs(b,a,n)模拟滤波器的频率响应.b,a为滤波器的冲击响应s变换的分子和分母多项式的系数，在n个频率点计算频率响应h,f=freqz(b,a,n,Fs)数字滤波器的频率响应。Fs为采样频率，b,a为滤波器的冲击响应的Z变换的分子和分母多项式的系数，该函数的作用是在0Fs/2频率范围内选取n个点（记在f中），并计算相应的频率响应。h,t=impz(b,a,n)数字滤波器的冲击响应b,a为滤波器的冲击响应s变换的分子和分母多项式的系数，计算出冲击响应h，取样点树为n.n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Butterworth滤波器阶的选择。Wp和Ws分别为通带和阻带的截止频率，皆大于0小于1。Rp和Rs分别是通带和阻带的波纹系数，s表示模拟域，也可不加s，则为数字域。b,a=butter(n,Wn,ftype,s) Butterworth模拟和数字滤波器设计。设计阶数为n，截止频率为Wn的滤波器，ftype指滤波器的类型，high是高通，stop是带阻，无此参数则是低通，s指模拟域，无则表示数字域，b,a是对应变换的分子分母多项式的系数。n,Wn=cheblord(Wp,Ws,Rp