函数的单调性与导数课件新人教A版选修2-2

1、3 旨SS3IA函数y = f(x)在给定区间G上，当X. x2 eG且X1VX2肘则f(x)在G上是增函数;则f (X )在G上是减函数;1) 都有 f(Xi)< f (x2),2) 都有 f(») >f(j若f(x)在G上是增函数或减函数,G = (a,b)G称为单调区间则f(x)在G上具有严格的单调性。(定义法判断函数单调性有哪些方法？图象法，已知函数以前,我们主要采用定义法去判断函数的 单调性在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(xj与f(xj的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性学导函购数正负的关

2、系.在某个区间S, b）内,如果广 0 ,那么函数y二/蛰）在这个区间内单调递增；如果广（兀） o, 珊逖赧二/在这个区间内单调递减.醺例1已知导函数广（兀）的下列信息： 当1 vx v 4时，厂 0； 当x 4，或x 1时，厂 0； 当兀=4,或兀=1时，厂二0. 试画出函数/（X）的图象的大致形状. 解：当1 vxv4时，厂0,可知/在此区间内 单调递增；当兀4,或兀v1时，广 0,可知/（无）在此区间内单调递减；当兀=4,或兀=1时, 比0.综上,函数/（兀）图象 的大致形状如右图所示.3例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间:(1) f(x) = x3 + 3x;(2) /(x) =

3、 x2 - 2x - 3;(3) /(x)二 sin x - e (0,疗)；(4) /(x) = 2x3 + 3x2-24x + 1解：(1)因为/二F+ 3无，所以 广=3x2 + 3 二 3(x2 + 1) > 0.因此，函数/(x) = x3 + 3x在xe R上单调递增.VI3例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间:(1) f(x) = x3 + 3x;(2) /(x) = x2 - 2x - 3;(3) /(x)二 sin x - e (0,疗)；(4) /(x) = 2x3 + 3x2-24x + 1(2) 因为 /(x) = x2-2x-3，所以 厂二 22 二 2(1

4、).当广0,即兀1时,函数/二?-2x-3单调递增;当fx 0,即兀 1时,函数/= x2-2x-3单调递减.单调递增区间为（1十）；单调递减区间为01）;(3) /(x)二 sin x - e (0,疗)；(4) /(x) = 2x3 + 3x2-24x + 1.解:因为/二sin(0,疗),所以厂二 cos x -1 < 0.因此，函数/二sin x - x在x e （0,疗）上单调递减.例2判断下列函数的单调性，并求出单飕间匸 (1) /(x) = x3 + 3%;(2) /(x) = x2 - IxA 3;(3) /(x) = sin x - x,x e (0，)；(4) /(x

5、) = 2x3 + 3x2-24x + 1.因为fx) = 6x2 + 6x-24,所以或兀2 2 士浮"土尹时，函数当广(兀)O,艮卩兀_1 +佰或兀_1_佰 时，函 数于(力单调递增；"會广(乂)vo,即/(乂)单调递减.旨递增区间为(Tf,+s);(S Tf)；单调递减区间为(一-严，一蔦何)求可导函数f(X)单调区间的步骤:求f'(x)(2)解不等式f(x)>0(或F(x)vO)(3)确认并指出递增区间(或递减区间)练习P26 11 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: f 二 ex - %;/(x) = 3x-x3.SDCLcom' ir&

6、#187;在某个区间（冷方）内,八兀）0二 /（兀）在a方）内单调递增/f(x)<0递减3DUrCom3DUrCom练习、判断下列函数的单返性，并求出单调区间。(4)f(x) = x2-2x-3(1) 求函数的定义域(2) 求函数的导数(3)令ff (x)>0以及ff (x)<0,求自变量x的取值范 (4)下结论，写出函数的单调区间。证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:求f'(x)(2) 确认(x)在(a,b)内的符号(3) 作出结论例 求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数证明： 因为f (x)二2x3-6x2+7/. f / (x

7、) =6x2-12x=6x (x-2),/.函数f (x)二2x3-6x2+7在(o, 2)内是减函数1对xw(a，b)果f/(x)R,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a，b)上是增函数;2对xw(a，b)，如果f/(x)SO,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;F!lUrCom例 已知函数/(x) = 2qx 丄，兀w (0,1,若/'(x)X在XU (0,1上是增函数，求Q的取值范围.解：由已知得ffM = 2a+4因为函数在(0, 1上单调递增2 ./ '(%) > 0,即 d n y 在兀 W (0,1上,疽成立1 x而gCx) =

8、在(0,1上单调递增，= g(l)=-l例3如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同） 注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对 应的水的高度h与时间t的函数关系图象.3般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图彖就“平缓”一些.如图，函数y二/在 或（a,b）内的图象“陡峭”, 在（-00,。）或内的 图象“平缓”例 求证：方程x-sinx 0只有一个根。证 令才(x ) = X- sin x,xe( oc，+oo)1ff(x) = 1 COS X > 0f (x)在(-00,+ oo)上是单调函数，而当兀=0时，/(x)=01方程X- sin x = 0有唯一的根兀=0.2一般地，函数y=f (x)在某个区间内:如果,则f(x)在该区间是增函数如果则f(x)在该区间是减函数(1) 求函数的定义域(2) 求函数的导数烟|(x)>0