二次曲线方程的化简

1、二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1. 移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为（x, y）与（x , y ），则移轴公式为或卩X-y（ = y- y,式中（xo, yo）为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标转轴公式为（x= I'cosai-ysin 巴y= xrsino: + /cosQ：f或'xf- xcosa+sincy = -xsin a + ycoso:,式中：为坐标轴的旋转角.前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式.注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵2. 一般坐标变换公式为| z= / cos a -/sina + x（i y =

2、/ sina:+ /cosa + yM 或J* 二 jccosa:+ ysin cc-（热 c阴住十片 sin 口），|_yH = -x£in a + y匚皿比一（-吗 wind + 片 cosacj.3. 设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线11: Ax+ Biy + C= 0,12： Ax+ By + C2= 0,其中AA+ BiB2= 0,如果取li为新坐标系中的横轴 Ox，而直线12为纵轴Oy，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是（x, y）与（x, y）,则有= H- _ T" T场 y+C；其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端 y的系数相等

3、，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响即新方程为知屮+ 2兔"+菇严+2如l+2ij财y坷，二0这里1jj JP住11 二 &】1&】2 = 12*22 二 口即( 总1,= 口 11心 +口12几 + 口 =現(可 J。)，a23，=+ 曲“0 + 七3 =巳(心必)，靭二 F(XqJo)因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：(1) 二次项系数不变；(2) 一次项系数变为 2Fi(Xo, yo)与 2F2(Xo, yo)；(3) 常数项变为F(xo, yo).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐

4、标系下二次曲线的新方程中一次项消失2.在转轴 ；mi沁下，二次曲线2 2F( x, y)三aiix + 2 ai2xy+a22y+2ai3x+2a23y+a33=o的方程变为cos a-y' sin 住) 十 2 (_xf cos-j/'sm sm ay*ccsa:')sin a-FLyfcosO,)J 4- 2a 1；y'sin 閃 + 2a('sin 盘+ ” ccs 盘)+ 眄工=0即新方程为吋+ 2£莎+知"+2珂,*+2曲y坷，二0这里""立-a角'=円cos a + 2a门 sin Ofcost

5、T + a sinaX2 '= (a22 - QiJsin(cosOf+a12 (cos CC-sin " it),(a22 - £2h sin 2a12 sin <2f cos a + cos 抚，aB'= cos a+a23 sina13 sin a + a23 cos4,也J =3亍因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：(i )二次项系数一般要改变新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关(2 )一次项系数一般要改变新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关 当原

6、方程有一次项时， 通过转轴不能完全消去一次 项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项(3)常数项不变从而当二次曲线方程中 ai2=0时，选取旋转角ctg2« =珀 %,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失三、二次曲线的方程化简i. 禾U用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中 心曲线时则一般应先转轴后移轴例i 禾U用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形(1) 5x2+ 4xy + 2y2-24x 12y+ 18 = 0;2 2(2) x + 2xy + y - 4x+ y- 1 = 0;2(3) 5x + 12xy- 22x-

7、 12y- 19 = 0;2 2(4) x + 2xy + y + 2x+ 2y = 0.5 2解：(1)因为12= 22 = 6#0,所以曲线为中心曲线，由戶疋+ 2y12 = 0,12x+ 2尸 6 = 0,解得中心为(2, 1)，作移轴变换齐 F+2,代入曲线原方程，整理得2 25x* + 4xy'+ 2y * -12 = 0.5-2.3由 ctg2 :=',l-tg 3='即:,1US-2得tg : =- 2, tg ：=.1不妨取tg用=一，则由图5-1可得1 2cos 二sin 二作转轴变换13丄75- -* /代入上述化简方程得6 x2+ y -12 =

8、0.212.(如图 5-2 )11 =0，故曲线为无心曲线，由(2)因为I 2 =1-1ctg2 ：=_= 0,作转轴变换0作移轴变y换得到512121213nsin :y-y5-0h 3x 2x 2 + . '. y = 0,即4 yrf.（如图 5-3）.5 6 I（3）因为I 2 =36=0，所以曲线是中心曲线,由得中心（1, 1），作移轴变换代入原方程，整理得解得tg :=-,tg := 一 .不妨取tg ：= _，则由图5- 4可得2图K代入原方程，整理得配方得¥541 +扌忑少-2血）=0.25x + 12x y 36= 0.即作转轴变换代入上述方程整理得9 x

9、' 2 4y 2= 36,6x- 6 = 0,由 ctg2 :=,cos _： = J1S5-7即4.（如图5-5 ）.1 1（4）因为12= 11 = 0，故曲线为线心曲线，由1-1ctg2 =2= 0,X得:-，作转轴变换代入原方程，整理得®5-83), Z zV-作移轴变换就Y 知x 2= 一 ,（如图5- 6）.图 AE2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置r（-4）z+v=o,如果二次曲线的特征根i确定的主方向为就；，则由.，-得11所以ctg2a =因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是

10、把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置 .如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合； 如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任 何一个中心重合.因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并 作出图形.2 2（1）8x + 4xy + 5y + 8x 16y 16 = 0;2 2(2) x 4xy 2y + 10x+ 4y = 0;22(3) 4x 4xy + y + 6x 8y+ 3 = 0;22(4) 4x 4xy

11、+ y + 4x 2 y = 0.解:(1)因为 I 1= 8 + 5 = 13, I 2=5 = 36知，故曲线为中心曲线，特征方程为y22y)-(J. 2;匡5-1C同时 cos := 1',tg :=-,(xo, yo) = ( 1,2)，由图6-7S5-9从而可确定:并作出图形,如图 5-8.2 13' + 36= 0,解之得'1 = 4,2= 9，由它们确定的非渐近主方向分别为X : Y = 1:2 , X2 : Y2= 2:1.由于F*x, y) = 8x + 2y + 4, F2(x, y) = 2x+ 5y 8,从而由 1, 2确定的主直径分别为x 2y

12、+ 5= 0, ( x )2x+ y = 0, ( y)得坐标变换公式为从而有正变换公式2 （ t .广矿护7八丹討$（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x + 4y 36= 0,£+4491 -2(2)为 ，2 +解之得'1 = 2, '2= 3，由它们确定的非渐近主方向分别为X : 丫1= 2: 1 , X: Y2= 1: 2,由于R(x, y) = x 2y+ 5, F2(x, y) = 2x 2y+ 2,从而由 1, '2确定的主直径分别为2x y + 4= 0,( x )x+ 2y 3= 0,( y )因为 I 1

13、= 1 2= 1 , I 2 = 6= 0.=6=0,故曲线为中心曲线，特征方程得坐标变换公式为*2p 3”2F+4从而有正变换公式代入原方程并整理得即同时 如图4 _-：'-'：，故曲线为无心曲线，特征方程为2人5入=0, 解之得'1 = 5, 2= 0，由1确定的非渐近主方向X : Y = 2: 1 ,由'2确定的渐近主方向为X2 : Y2 = 1: 2,由于Fi(x, y) = 4x 2y+ 3, F2(x, y) = 2x + y 4,2x y+ 2= 0,，从而由-1确定的唯一主直径为将它取为Ox轴，由-9解得曲线的顶点为I 10J 2x - y +

14、2 = 0,-4y+ / + 6x-8y + 3= 0,P':.，过它且垂直于 2x y+ 2= 0的直线方程为E5-11x+ 2y+ 一 = 0,将它取为轴O y，得坐标变换公式为才”r 2x-y+2从而有正变换公式代入原方程并整理得_2_1 ' X '.y 22 _同时 sin := i' , cos : = |',(xo, yo)=9 PIQ' 5丿，如图 5-12.4(4)因为 I 1= 4+ 1 = 5, 12 =SI 5-13 1确定的唯一丄1= o, 21“1 ,故曲线为线心曲线，特征方程为 5工_= 0,解之得'1 = 5

15、,二2= 0，由'1确定的非渐近主方向X : 丫1= 2: 1 ,由2确定的渐近主方向为Xa : Y2= 1： 2,由于 F1（x, y） = 4x 2y+ 2, F2（x, y） = 2x + y 1，从而由 主直径为2x y+ 1 = 0,将它取为Ox轴，过原点与它垂直的直线 x + 2y = 0取为Oy轴，得 坐标变换公式为X+ 2yIT3-y+l从而有正变换公式2 -51 - 5- +fJ17/2护丄少代入原方程并整理得21= 0,图 5-14同时sin(Xo,刃,如图5-14.四、二次曲线的分类1. 不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们 所刻

16、划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的2. 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个:2 2（I）中性心线：aiix + a22y + a33= 0, aiia22式0 ；（II）无心曲线：a 22y2+ 2ai3 x = 0, a22ai 0 ;（III）线心曲线：a22y + a33= 0, a22式 0.(I)3. 二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式:(II)(III)无心曲线：26 y = 2px （抛物线）；线心曲线：y 2= a2 （两平行直线）;y2= a2 （两平行共轭虚直线）； 2y = 0 （两重合直线）.89i 匚?

17、= i (椭圆);2 丁 ? = i (虚椭圆);3 丁 ? = i （双曲线）；4一:- J = 0 （点或称两相交于实点的共轭虚直线y15I；':= 0 （两相交直线）;中性心线:）；例3.试证中心二次曲线22ax + 2hxy+ ay = d的两条主直径为2 2X y = 0,曲线的两半轴的长分别是证明：因为曲线为中心曲线,所以及11 = a+ a= 2a, 12=特征方程为一2a,. + （a h ） = 0,解之得'i = a+ h,2 = a h,由它们确定的非渐近主方向分别为X : Yi= i: i , X> : Y2= i： i, 由于Fi（x, y） =

18、 ax+ hy, F2（x, y） = hx+ ay,从而由'i, '2确定的主直径分别为x+ y= 0, （ y）x y= 0, （ x）即曲线的两条主直径为x y = 0将它们分别取作 Oy轴与Ox轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意所以两半轴长分别为例4.已知為ad a- d-0，且 ai az+ bi b2= 0,试求二次曲线2 2(aix + by+ ci) + (a2x+ b?y + q) = 1的标准方程与所用的坐标变换公式解：因为ai a2 + bi b2= 0,所以直线aix+ by+ ci= 0 与 a2x + Hy+ C2= 0互相垂直，分别取为 Oy轴与Ox轴