整式的乘法与因式分解压轴题解析

1、整式的乘法与因式分解【知识脉络】El * ft fl =r讦丁尸 yf耳I ? I 1 叫”匚1二整虑的和谡一4认公式J石(< +t -f JEE切 【基础知识】1 单项式的乘法法则:单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2222333 a b x 2abc= ( 3X 2)x( a b x abc) =6 a be2. 单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.3. 多项式与多项式的乘法法则：(a+b)(c+

2、d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把 所得的积相加.4. 乘法公式：完全平方公式：(a+ b) 2= a2+ 2ab+ b2(a b) 2= a2 2ab+ b2语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个 数的积的2倍.平方差公式：(a + b) (a b)= a2 b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.5. 因式分解(难点)因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多 项式因式分解.一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：(1

3、) 分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；(2) 因式分解必须是恒等变形；(3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化 为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1) 提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一 各项系数的最大公约数；字母一一各项含有的相同字母；指数一一相同字母的最低次 数；(2 )提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因 式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项

4、式的项数一致，这一点可 用来检验是否漏项.(3)注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;平方差公式：2 2a b =(a+ b) ( a b)完全平方公式：a2 + 2ab+ b2 =( a+ b) 2a2 2 22ab+ b =( a b)【典例解析】 例题1:数学家发明了一个魔术盒，当任意数对( a, b)进入其中时，会得到一个新的数：(a - 1) (b-2).现将数对(m 1)放入其中，得到数 n,再将数对(n, m)放入

5、其中后,最后得到的数是-m+2m .(结果要化简)【考点】整式的混合运算.【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果.【解答】解：根据题意得：(m- 1)( 1 - 2) =n，即n=1 - m2 则将数对(n, m)代入得：(n- 1)( m- 2) = (1 - m- 1)( m- 2) =- m+2m.故答案为：-ni+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.例题2：乘法公式的探究与应用：(1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a=102 - 0.3 =100 - 0.09=99.91 .例题3：如图，将

6、一边长为 a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起，则四边形 ABCD勺面积为()_ b2 (写成两数平方差的形式)(2 )小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是a+b ，宽是 a - b ，面积是(a+b) (a - b)(写成多项式乘法的形式).(3 )比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式(两个)2 2公式 1:(a+b) (a - b) =a - b22公式 2： a - b = (a+b) (a - b)(4) 运用你所得到的公式计算：10.3 X 9.7 .【考点】平方差公式的几何背景.【分析】(1)中的面积=大

7、正方形的面积-小正方形的面积=a2- b2;(2) 中的长方形，宽为 a- b,长为a+b,面积=长乂宽=(a+b) (a- b);(3) 中的答案可以由(1 )、(2)得到(a+b) (a- b) =a2- b2;反过来也成立；(4) 把10.3 X 9.7写成(10+0.3 ) (10- 0.3 ),利用公式求解即可.【解答】解：(1)阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2 - b2;(2) 长方形的宽为 a - b,长为a+b，面积=长乂宽=(a+b) (a- b); 故答案为：a+b, a - b, (a+b) (a - b);(3) 由(1)、(2)得到，公式 1: (

8、a+b) (a- b) =a2- b2;22公式 2： a - b = (a+b) (a- b)故答案为:(a+b) (a- b), a2 - b2= (a+b) (a - b);(4) 10.3 X 9.7= (10+0.3 ) (10 - 0.3 )考点：勾股定理.2 2 2 2+a C . (b+a)D . a +2ab分析：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可.解答：解： DE=b- a, AE=b,2S 四边形 abc=4SaADE+a =4X x( b- a) ?b =b2+ (b - a) 2.故选：A.点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条

9、直角边长的平方之和一 定等于斜边长的平方是解答此题的关键.例题4：如图1,我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)十字星的十字差为 10X 12 - 4X 18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍 为4&(1) 如图2,将正整数依次填入 5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为24 .(2) 若将正整数依次填入 k列的长方形数表中(k > 3),继续前面的探究，可以发现相应 字差”为与列数k有关的定值，请

10、用k表示出这个定值，并证明你的结论.(3) 如图3,将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第 32行，且其相应的“十字差”为2017,则这个十字星中心的数为(将.该“十975(直接写出结果)【考点】规律型：数字的变化类.【分析】(1)根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；(2) 定值为k 23. 已知a、b、c是厶ABC的三条边，且满足 a+bc=b +ac,则厶ABC>()-仁(k+1) ( k- 1),理由为：设十字星中心的数为x,表示出十字星左右两 数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；(3) 设正中间的数为 a，则上

11、下两个数为 a - 62, a+64,左右两个数为 a - 1, a+1，根据相 应的“十字差”为 2017求出a的值即可.【解答】解：(1)根据题意得：6 X 8 - 2X 12=48 - 24=24;故答案为：24;(2) 定值为 k2-仁(k+1) (k- 1);证明：设十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为x - 1, x+1,上下两数分别为x - k,x+k (k> 3),十字差为(x - 1) (x+1)-( x - k) (x+k) =x2 - 1 - x2+k2=k2- 1,故这个定值为k2-仁(k+1) (k - 1);(3) 设正中间的数为 a，则上下两个数为

12、a- 62, a+64,左右两个数为a - 1, a+1,根据题意得：(a- 1) (a+1)-( a- 62) ( a+64) =2017,解得：a=975.故答案为：975.【跟踪训练】1. 利用1个ax a的正方形，1个bX b的正方形和2个aX b的矩形可拼成一个正方形(如 图所示)，从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2= (a+b) 2 .2. 如图，有正方形卡片 A类、B类和长方形卡片 C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. 在日历上，我们发现某些数

13、会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2X2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减 请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题2016年1月份的日历日*34510111217181924252631(1)计算：2 2(1 +9)-2 2(2+8) =14,-算14(2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.三四五六126789131415162021222327282930=14，自己任选一个有4个数的方框进行计5.已知(x+y)2=25, xy今,求x - y的值.6. 已知豆唏* b=y，则(a+b) 6x +5x - 6-( 2

14、x+3) = (3x - 2). 小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必-( a- b) 2的值为 12237. 一个多项式除以 2m得1 - m+m,这个多项式为2m- 2m+2m . 如图甲、乙两个农民共有 4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这 块地换成宽为(a+b) cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地 的长应为 a+c m.8阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y?+4y+4+4= ( y+2) ?+4>4,t( y+2) 20 即(y+2) ?的最小值为 0,2 y

15、 +4y+8的最小值为 4. 仿照上面的解答过程，求ni+m+4的最小值和4 -x2+2x的最大值.参考答案:1.利用1个ax a的正方形，1个bx b的正方形和2个ax b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式2 2 2a +2ab+b = (a+b)【考点】因式分解-运用公式法.【分析】根据提示可知 1个a x a的正方形，1个bxb的正方形和2个ax b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解.【解答】解：两个正方形的面积分别为a2, b2,两个长方形的面积都为ab,组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b） 2,所以 a2+2ab+b2= (a+b)

16、2.【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式,关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系.2.如图，有正方形卡片 A类、B类和长方形卡片 C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？【考点】多项式乘多项式.【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数.【解答】解：（ 2a+b） （ a+2b） =2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2,需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张.3. 已知a、b、c是厶ABC的三条边，且满足 a2+bc=b2+ac,则厶ABC（）A.锐角三角形B.钝角三角形

17、C.等腰三角形D.等边三角形【考点】因式分解的应用.【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为 0得到a=b,即可确定出三角形形状.(a+b) (a- b) - c (a- b) =0,即(a- b) (a+b - c) =0,【解答】解：已知等式变形得： a- b=0, 即卩 a=b,则厶ABC为等腰三角形.故选：C.4. 在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2X2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减 请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题2016年1月份的日历日'

18、;-二二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031计算：2 2(1 +9)-2 2(2+8) =14,-=14，自己任选一个有4个数的方框进仃计算14(2)通过计算你发现什么规律，并说明理由.【考点】整式的混合运算.【分析】(1)先算乘法，再合并即可；(2)设最小的数字为n,则其余三个分别为 n+8, n+1, n+7，根据题意得出算式n 2+ (n+8)2 - (n+1) 2+ (n+7) 2，求出即可.【解答】解：(1) ( 12+92)-( 22+82) =1+81 - 4 - 64=14,-=100+324 - 1

19、21 - 289=14,2 2 2 2(3 +11 )-( 4 +10 ) =9+121 - 16 - 100=14,故答案为：14;(2)计算结果等于14,理由是：设最小的数字为n,则其余三个分别为 n+8, n+1, n+7,所以n2+ (n+8) 2 - (n +1) 2+ (n+7) 2=n2+n2+16n+64 - n2- 2n 1 - n2- 14n 49=14.5. 已知(x+y) 2=25, xy=5，求 x - y 的值.4【考点】完全平方公式.【分析】根据完全平方公式即可求出答案.【解答】解：( x+y) 2=x2+2xy+y2,/ 25=x2+y2+,2 x2+y2=2.

20、( x - y) 2=x2 - 2xy+y2,(x-y) 2呼-討6 x - y= ± 46. 已知豆唏* b=y，则(a+b) 2-( a- b) 2的值为 1考点：因式分解-运用公式法.分析：首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可. 解答：解：( a+b) 2-( a- b) 2/ 2 2、 / 2 2、=(a +2ab+b ) -( a - 2ab+b )=4ab,故答案为：1.点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键.2237. 一个多项式除以 2m得1 - m+m,这个多项式为2m- 2m+2m . 6x2+5x -

21、 6-( 2x+3) = (3x - 2). 小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab.若小玉报的是3a?b - ab,贝V小丽报的是 a - b ;若小丽报的是9a?b,则小玉报 的整式是 27a3b2. 如图甲、乙两个农民共有 4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为(a+b) cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为 a+c m.考点：整式的混合运算.分析：利用2m乘1 - m+rh计算即可； 把除式和商相乘即可； 根据被除式十商=除式，被除式=除式x商列式计算即可； 利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来 4块地的总面积=a=(a +ac+bc+ab) + ( a+b)=a (a+c) +b (a+c) + ( a+b)=(a+b) (a+c)+( a+b)=a+c.故答案为：2m 2卅+2用；6x2+5x - 6 ； a - b, 27a3b2； a+c.+bc+ac+ab,得到4块土地换成一块地后面积为(a2+bc+ac+ab )米，又此块地的宽为(a+b)米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=(a2+bc+ac