旋转教材分析

1、第二十三章 旋转 教材分析 2007.9.13一、本章地位 本章学习第三种图形变换旋转. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，更是经常用到的思维方法. 此前，学生已学习了平移、轴对称两种图形变换，对图形变换已具有一定的认识，通过本章的学习，学生对图形变换的认识会更完整，同时，也能对平移、轴对称有更深的认识.二、课程学习目标 1、课标要求通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质了解平行四边形、圆是中心对称图形能够按要求作出简单平面图形旋转

2、后的图形欣赏旋转在现实生活中的应用探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计2、2007年中考说明中对旋转的要求基本要求：通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形.略高要求：能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角.较高要求：能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题.旋转及其性质平移及其性质轴对称及其性质中心对称中心对称图形关于原点对称的点的坐标图案设计

3、三、知识结构框图四、课时安排 23.1图形的旋转 2课时23.2中心对称 3课时23.3课题学习 图案设计 2课时 （建议1课时）小结 1课时 （建议2课时）五、学法教法建议 1、明确学习图形变换的大致思路 通过具体实例认识图形变换； 探索图形变换的性质； 依据图形变换的性质进行作图、计算和证明；利用图形变换进行图案设计； 用坐标表示图形变换.本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的. 关于，本章只涉及用坐标表示中心对称. 2、注意联系实际旋转与现实生活联系紧密，为此，在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们，增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变

4、换与现实生活的联系 3、注意培养动手操作的意识 教材在探索旋转的性质（P63探究）、中心对称的性质（P69探究）以及如何设计图案最美观（P78数学活动1）等问题时，安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法，应加强学生主动进行动手操作的意识.4、注意探索结论教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，设置了探究活动，注意结论的探索过程. 在教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、归纳、说理等综合能力.

5、5、注意概念之间的联系 平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同，故变换前后具有各自的性质.平移轴对称旋转相同点都是全等变换，即变换前后的图形全等.不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换，叫.把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫.图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.任意一对

6、对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等. 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质，由旋转的性质可以得到中心对称性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心. 2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形 中心对称与轴对称中心对称轴对称1有一个对称中心点有一条对称轴直线2图形绕中心旋转180°图形沿轴折叠3旋转后与

7、另一图形重合折叠后与另一图形重合 中心对称与轴对可以称类比着学习，对学生掌握新知识有帮助. 教材中P78的数学活动2还从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系. 作点A关于x轴的对称点B，作点B关于y轴的对称点C，则点A与点C关于原点对称. 由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点. 中心对称中心对称图形区别指两个全等图形之间的相互位置关系.对称中心不定.指一个图形本身成中心对称.对称中心是图形自身或内部的点.联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形.如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称. 两个

8、图形成中心对称与中心对称图形中心对称图形与轴对称图形中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180°后，与自身重合图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合以上五点在教学中要注意随时总结，帮助学生理清概念之间的关系.6、注意用计算机辅助教学利用几何画板的旋转功能，可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能，可以发现旋转变换中的不变量；关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时，利用计算机，可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机，可以直观地看到图形运动变换的过程. 7、从变换的角

9、度重新认识几何图形，建立图形变换的意识. 图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变，应有意识地从图形变换的角度分析图形. 平移、轴对称、旋转变换，都可以在不改变图形性质的前提下，把图形移动，从而使问题的条件集中或者使图形更易于研究. 从图形变换的角度思考问题，可以使问题更加明确. 特别是当图形进行运动变化的时候，因为图形变换本身就是一种运动，从变换的角度更容易发现不变的量，从而更容易解决一般化的问题. 图形变换可以提供添加辅助线构造全等的方法，我们平时常见的辅助线：作平行线、截长补短、倍长中线等等，它们的实质就是在作平移、轴对称、旋转变换，目的是移动图形，集中条件，解决问题.六、相关例题 1、

10、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系.图2例1、如图1，ACB与ADE都是等腰直角三角形，ACB 和ADE都是直角，点C在AE上，如果ACB经逆时针旋转后能与ADE重合. 请指出其旋转中心与旋转角度；CAEDB图1用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？答案：旋转中心：点A； 旋转角度：45°（逆时针旋转） 以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60

11、6;；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（ B ） A甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如图，在平面直角坐标系中，ABC和DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（ A ） ADEF是ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 BDEF是ABC绕点O逆时针旋转90°得到的CDEF是ABC绕点O顺时针旋转60°得到的DDEF是ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180

12、°，所得到的图形是（ A ）ABCD图12、利用旋转、中心对称的性质作图.例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).画出ABC绕点O顺时针旋转90°后的A1B1C1，并求AA1的长. 答案：AA1=例6、(2007江苏扬州)如图，ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)ABCOxy将ABC向右平移个单位长度，画出平移后的A1B1C1；画出ABC关于x轴对称的A2B2C2；画出ABC关于原点O对称的A3B3C3；在A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，_与_成轴对称，对称轴是_；_与

13、_成中心对称，对称中心的坐标是_答案：A2B2C2与A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴A3B3C3与A1B1C成中心对称，对称中心的坐标是(-2，0)例7、如图，ABC是ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.答案：对应点到旋转中心的距离相等，即OA=O A O点在AA的垂直平分线上同理O点也在BB的垂直平分线上两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，AOA的度数就是旋转角例8、如图，已知ABC与DEF关于某一点对称，作出对称中心.注：确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对

14、称中心.利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.3、中心对称图形的概念.例9、(2006江苏南京)下列图形中，是中心对称图形的是（ A ） A.菱形 B.等腰梯形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形例10、(2007湖南郴州)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A） A B C D例11、(2007上海)如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形 答案： 例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）. 注：过中心对称图形的对称中心的任意一

15、条直线，将该图形分成完全相同的两部分. 当然其面积也相等. 解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中（要求：以点O为对称中心）O图1答案：OMBA22°5、利用图形变换的性质进行计算或证明. 例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按

16、逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为 22 ° 例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形ABCD，则它们的公共部分的面积等于ABAC(C)B例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm，B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至ABC的位置，再沿CB向右平移，使点B刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐

17、角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3 图6中统一用F表示）ABCDEF （图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.将图3中的ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；将图3中的ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH （图4） （图5） （图6） 答案：平移的距离为5cmcm证AHEDHB1

18、（AAS） AH=DH6、运用图形变换的思想解决问题.例18如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连结DC，以DC为边作等边DCEB、E在C、D的同侧，若AB，则BE 1 注：从图形变换的角度思考问题，可以使问题简化，一目了然. 例19、如图，在四边形ABCD中，ADC=ABC=90°，AD=CD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长.例20、(2007朝阳一模)已知：如图，ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中DF=DB，连接AF、CD观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；将菱形BDEF绕点B 按顺时针

19、方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边ABC内部，在图中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的 图图答案：AF=CD 变换后的菱形BDEF如图，结论AF=CD仍然成立 不变化；60° 注：从图形变换的角度解决运动变化的问题，更容易发现不变的量，从而容易解决一般化的问题.例21、如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把

20、线段CD绕点D逆时针旋转90 °到DE位置，连结AE，则AE的长为 . 例22、如图，设P是等边三角形ABC内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求APB的度数. 答案：APB=150° 注：PA、PB、PC条件分散，想办法集中条件于一个三角形，进而求度数. 根据旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等”，旋转后可得到等腰三角形，如果旋转60°，可得到等边三角形例23、如图，在四边形ABCD中，ABC30°，ADC60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2. 例24、如图，已知ABC为等腰直角三角形，BAC=900，E、F是BC边上点，且EAF=45°.求证： 例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，RtABC中，ACB=90°， D为AB中点，DE、DF分别交AC于E,交BC于F，且DEDF.如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；如图