频率域稳定判据

1、5.4 频率域稳定判据1. 数学基础数学基础2&3. 稳定判据和对数频率稳定判据稳定判据和对数频率稳定判据4. 条件稳定条件稳定1. 数学基础数学基础（1）复变函数的映射规律复变函数的映射规律（2）幅角原理幅角原理（3）幅角原理的等价表述幅角原理的等价表述（4）函数的平移映射函数的平移映射（5）运用运用Nyquist 围线后的幅角原理围线后的幅角原理（2）幅角原理）幅角原理 设设 s 平面上封闭曲线平面上封闭曲线 s 包围包围复变函数复变函数 F(s) 的的 Z 个零点个零点和和 P 个极点，那末当变量个极点，那末当变量 s 沿沿 s 顺时针绕一周时，它的映象顺时针绕一周时，它的映象绕

2、绕F(s)平面原点平面原点 的周数的周数 R 满足以下关系式满足以下关系式RPZ说明说明R为正时，表示为正时，表示“逆逆时针时针”；为负，表示；为负，表示“顺顺时针时针”。（3）Nyquist 稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理 奈氏路径：设有封闭曲线奈氏路径：设有封闭曲线C，它不经过，它不经过G(s)H (s)的极点，的极点，且顺时针包围了整个且顺时针包围了整个s右半平面，称右半平面，称C为奈氏路径，其组为奈氏路径，其组成为：成为：1）正虚轴：）正虚轴：sj:02）半径为无限大的右半圆）半径为无限大的右半圆sRej:-/2 .3）负虚轴：）负虚轴： sj:- 0 在在F(s)平面上绘制与平

3、面上绘制与C相对应的相对应的C。如果在右半平面存在。如果在右半平面存在F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点，当个极点，当s沿沿C曲线顺时针移动一周，曲线顺时针移动一周，则则C在在F(s)平面上将以顺时针防线围绕原点旋转平面上将以顺时针防线围绕原点旋转N圈。圈。 可利用幅角定理判断系统稳定性，并得出频率法的系统稳可利用幅角定理判断系统稳定性，并得出频率法的系统稳定性的图解判据定性的图解判据Nyquist稳定判据稳定判据 RPZ考虑考虑( )( )( )( )1( )( )1( )( )B sA sB sF sG s H sA sA s 函数形式后的幅角原理表述：函数形式后的幅角原理表述：Nyq

4、uist 稳定判据的图示稳定判据的图示 s 的选择考虑：的选择考虑：使它包围整个使它包围整个 s 右半平面。右半平面。Z : (s)闭环传递函数闭环传递函数在在 s 右半平面上的极点数。右半平面上的极点数。P ：开环：开环 G(s)H(s) 在在 s 右半平面上的极点数。右半平面上的极点数。R ：Nyquist围线逆绕围线逆绕 GH(s) 平面平面 （- 1 , 0）的圈数。）的圈数。RPZR：逆绕：逆绕 F(s) 平平面原点的圈数面原点的圈数。Z : Z : s s 所包的所包的(s)(s) 在在 s s 平面上的零点数。平面上的零点数。P ： s 所包的所包的F(s) 在在 s 平平面上的

5、极点数。面上的极点数。GHF1简单平移；简单平移；围线形状不变；围线形状不变；旋转方向不变。旋转方向不变。R：逆绕：逆绕 GH(s) 平面平面 （- 1 , 0）的圈数。）的圈数。GHGHGHGHGHFFABAABGHFAB11P： s 所包的所包的 G(s)H(s) 开开环环 在在 s 平面上的极点数。平面上的极点数。（4）函数）函数 G(s)H(s)=F(s)-1 所实现的映射所实现的映射Z: (s)(s)闭环传递函数在闭环传递函数在 s s 右半平右半平面上的极点数。面上的极点数。R：顺绕：顺绕 GH(s) 平面平面 （- 1 , 0）的圈数。）的圈数。P ： s 所包的所包的 G(s)

6、H(s) 开环开环 在在 s 平面上的极平面上的极点数。点数。Z: s 所包的所包的 (s)闭环函数闭环函数在在 s 平面上极点数。平面上极点数。ZPR考虑考虑FGGHG1函数形式后的幅角原理表述：函数形式后的幅角原理表述：（5）运用）运用Nyquist Contours后的幅角原理后的幅角原理 s 的选择考虑：的选择考虑：使它包围整个使它包围整个 s 右半平面。右半平面。Z : (s)闭环函数闭环函数在在 s 右右半平面上的极点数。半平面上的极点数。P ：开环：开环 G(s)H(s) 在在 s 右半平面上的极点数。右半平面上的极点数。R ：Nyquist围线顺绕围线顺绕 GH(s) 平面平面

7、 （- 1 , 0）的圈数。）的圈数。（1） S 平面上封闭路径平面上封闭路径 s 的选择的选择（2） S 平面上封闭路径平面上封闭路径 s 在在G(s)H(s) 平面上的映象平面上的映象（3） Nyquist Criterion（4） Nyquist Criterion 的几种等价表述的几种等价表述2.稳定判据和对数频率稳定判据稳定判据和对数频率稳定判据（1）S 平面上封闭路径平面上封闭路径 s 的选择的选择对封闭路径对封闭路径 s 的要求：能包含整个的要求：能包含整个S右半平面。右半平面。 也就是说，假如开环传也就是说，假如开环传递函数递函数G(s)H(s) 具有具有“正实部极点正实部极点

8、”，那末这些极点一定被封闭路径，那末这些极点一定被封闭路径 s 所包围。所包围。图图 1图图2若若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组所示的路径。它由两部分组成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。若若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成：所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无穷包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无穷大的右半园。大的右半园。END（2）S 平面上封

9、闭路径平面上封闭路径 s 在在G(s)H(s) 平面上的映象平面上的映象S 平面上虚轴，平面上虚轴， jw w ：w w 从从 。它在。它在G(s)H(s) 平面上的映象就是平面上的映象就是开环幅相频率曲线。开环幅相频率曲线。S 平面上无穷大半径的右半圆，平面上无穷大半径的右半圆，9090,:ReRsj它在它在G(s)H(s) 平面上的映象平面上的映象:A.为为 G(s)H(s) 平面坐标原点（如图），当平面坐标原点（如图），当G(s)H(s)的的 nm 时时 。B.为为G(s)H(s) 平面实轴上的平面实轴上的 K* （开环根轨迹增益）点，当（开环根轨迹增益）点，当G(s)H(s)的的 n=

10、m 时时 。S 平面上虚轴极点的邻域平面上虚轴极点的邻域 e e 右半小圆：右半小圆：9090,0:eejiepsA. 当当pi = 0 时，参见下图。时，参见下图。)(1)()(1sGssHsG)0(1jG其中)()(1ejGGHe1GHAB. pi 非非0 时，本课程不研究。时，本课程不研究。0)(GH11(0,|()|)nGjw 11221( )( )( )()nG s H sG ssw, 90 ,90 jnsjewe 11(90 )1( )( )()(2)jnneG s H sGjww e11111( )(),90 ,( )()(90 ),( 90 , 90 )()180 ,90 ,n

11、nnnnA sGjsGjGjjwwwww 即s=j即s= (B)含有等幅振荡环节：() ()180() ()oGHnnnnG jwG jwG jwG jw1为以为起点，半径为无穷大，顺时针以的圆弧至为终点。ZPRR：逆逆绕绕 GH 平面平面（- 1 , j0）的圈数。的圈数。Z: s 所包的所包的 (s) 闭环闭环函数函数在在 s 右半右半平面上平面上极点数极点数。P ： s 所包的所包的G(s)H(s)开开环环函数函数 在在 s 右半右半平面上的平面上的极点数极点数。)()(sHsG 闭环系统闭环系统 (s) 稳定的充分必要条件是：稳定的充分必要条件是：Nyquist曲线不穿曲线不穿过过 （

12、-1, j0 ）点，且逆时针包围（）点，且逆时针包围（-1, j0 ）点的圈数）点的圈数 R等于开环等于开环传递函数传递函数 G(s)H(s) 的正实部极点数的正实部极点数 P 。（3）Nyquist CriterionZPR根据半闭合曲线判别系统稳定性的根据半闭合曲线判别系统稳定性的Nyquist稳定判据稳定判据NNNPZ2RNN 2Z : s 所包的所包的 (s) 闭环闭环函数函数在在 s 右半右半平面平面上上极点数极点数。P ： s 所包的所包的G(s)H(s)开环开环函函数数 在在 s 右半右半平面平面上的上的极点数极点数。R ： Nyquist曲曲线线逆逆绕绕 GH 平平面面 （-

13、1 , j0）的圈数。的圈数。N ：半半Nyquist曲曲线线逆逆绕绕 GH 平面平面 （- 1 ,j 0）的圈的圈数。数。R=-2 R=0 R=0 R=-1 R=-3 2ZPNNNNZ : s 所包的所包的 (s) 闭环闭环函数函数在在 s 右半右半平面平面上上极点数极点数。P ： s 所包的所包的G(s)H(s)开环开环函函数数 在在 s 右半右半平面平面上的上的极点数极点数。R ：半半Nyquist曲曲线逆绕线逆绕 GH 平面平面 （- 1 ,j 0）的圈数。的圈数。2()ZPNNN + ：半半Nyquist曲线曲线自上向自上向下下穿越穿越 GH 平面平面 (- , - 1)区间区间的次

14、数的次数。N - ：半半Nyquist曲线曲线自下向自下向上上穿越穿越 GH 平面平面 （- , - 1 ）区间区间的次数的次数。根据正、负穿越情况判别系统稳定性的根据正、负穿越情况判别系统稳定性的Nyquist稳定判据稳定判据2()ZPNNN + ：半半Nyquist曲线曲线自上自上向下向下穿越穿越 GH 平面平面 （- , - 1 ）区间的次数）区间的次数。N - ：半半Nyquist曲线曲线自下自下向上向上穿越穿越 GH 平面平面 （- , - 1 ）区间区间的次数的次数。N + ：对数频率相频曲线：对数频率相频曲线自下向上自下向上穿越穿越 “w w w w c 段段的的 180度线度线

15、”的次数。的次数。N - ：半半Nyquist曲曲线线“以相角减小方以相角减小方式式”穿越穿越 GH 平面平面 （- , - 1 ）区间区间的的次数。次数。N - ：对数频率相频曲线：对数频率相频曲线自自上向下上向下穿越穿越 “w w w w c 段段的的 180度线度线”的次数。的次数。N + ：半半Nyquist曲曲线线“以相角增大以相角增大方式方式”穿越穿越 GH 平面平面 （- , - 1 ）区间区间的次数。的次数。4. 条件稳定系统条件稳定系统具有下图曲线的开环传递函数如果没有具有下图曲线的开环传递函数如果没有“正实部正实部”极点，那末相应极点，那末相应闭环系统是稳定的，因为曲线闭环

16、系统是稳定的，因为曲线“正、负正、负”穿越穿越“红线红线”的次数的差的次数的差为为0。但当增益增大或减小到某范围时，都可能是导致系统不稳定。但当增益增大或减小到某范围时，都可能是导致系统不稳定。所谓条件稳定是指：只有当开环传递函数的某个（或某些）参数在所谓条件稳定是指：只有当开环传递函数的某个（或某些）参数在一定范围内取值时，闭环系统所具有的稳定。一定范围内取值时，闭环系统所具有的稳定。已讨论过的已讨论过的“系统稳定的参数取值范围系统稳定的参数取值范围”研究方法：研究方法：Routh表法；表法；根轨迹法。根轨迹法。闭环系统稳定范围也可以通过闭环系统稳定范围也可以通过“Nyquist Plot”

17、或或“Bode Diagram”来讨论。来讨论。【例例】某单位反馈系统：其开环传递函数的某单位反馈系统：其开环传递函数的“正实部极正实部极点数点数” P = 0 , 系统类型号系统类型号 1 1 。已知在。已知在 增益增益 K = 10 时，有如图时，有如图5-4-3所示的所示的Nyquist图。试确定系统闭环图。试确定系统闭环稳定时稳定时K的取值范围。的取值范围。（1）把开环传递函数表达为）把开环传递函数表达为)()(1sGsKsG（2）据题给条件可知：）据题给条件可知：Nyquist曲线与负虚轴曲线与负虚轴交点处有以下关系交点处有以下关系5 . 0)(5 . 1)(2)(332211www

18、wwwjGjGjG（3）根据交点坐标和（）根据交点坐标和（-1，0）之间关系求出各临界）之间关系求出各临界K值。值。 因为增益因为增益K的变化，只影响幅相频率曲线的的变化，只影响幅相频率曲线的“幅值幅值”。因此可写出。因此可写出1111( )1102( )sjKG ssG ssw510211K2211( )1101.5( )sjKG ssG ssw3311( )1100.5( )sjKG ssG ssw67. 6105 . 112K20105 . 012K（4）据算得的临界）据算得的临界K值和题给幅相频率曲值和题给幅相频率曲线，可得到结论：线，可得到结论：51K67. 62K202K5 . 0)(5 . 1)(2)(332211wwwwwwjGjGjG10KK 32KKK当当或或时，幅相频率曲线不包围时，幅相频率曲线不包围