高等数学A(二)试题答案济南大学()

1、目录 上页 下页 返回 结束 解解:2440rr 特征方程：济南大学1314高等数学A(二)参考解答一、填空题（每小题一、填空题（每小题2分，共分，共10分）分）1微分方程微分方程的通解为_.440yyy 有重根122,rr因此原方程的通解为212()exyCC x注注: :微分方程不必复习微分方程不必复习, ,肯定不考肯定不考目录 上页 下页 返回 结束 极限 解: 原式22011limxyxyxy22( , )(0,1)1lim_.x yxyxy1.2代入法目录 上页 下页 返回 结束 3. 设二元函数则sin(),zxy解解:zx dcos()dcos()dzxyxxyyzy cos()

2、,xycos(),xyd_.z目录 上页 下页 返回 结束 4.113nnnnx的收敛半径为_.解解:1limlim nnnnaRa1(2)3nn13nn3(1)lim2nnn3.故收敛半径为 3.R 幂级数目录 上页 下页 返回 结束 4.113nnnnx的收敛半径为_ .解解:比值审敛法求收敛半径.1( ) limlim( )nnnnuxux11(2)3nnnx(1)3nnnx2lim3(1)nnxn13x11,3x 当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 3.R 3x 即11,3x 当3x 即幂级数直接由看作任意项级数,目录 上页 下页 返回 结束 5.( )f x，则 分析分析. 为周期

3、的周期函数,设函数 是以 2 在区间 , ) 上的表达式为 ( )f xx的傅里叶级数在 ( )f xx处收敛于 . 1 ()()2ff端点处收敛于1()20.yxO目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2 的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,为 f (x) 的傅里里

4、叶系数 . x 为连续点目录 上页 下页 返回 结束 二选择题(每小题2分,本大题满分10分)1. 极限 C( , )(0,2)sin()limx yxyx 则（则（ )( ) 0( ) 1AB，分析分析: : ( ) 2(D)C，不存在.( , )(0,2)sin()limx yxyyxy 1 2 2等价无穷小替换,重要极限目录 上页 下页 返回 结束 2. 二元函数 处的全微分存在是( , ),f x y在点00(,),xy是它在该点两个一阶偏导数都存在的( )A(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.目录 上页 下页 返回 结束 全微

5、分的定义全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在D 内可微.AxBy目录 上页 下页 返回 结束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA

6、下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3. 若z=f (x,y)在(x0,y0)处取得极大值, 则g(y)=f(x0,y)A. g(y)在y0取得最大值; B. g(y)在y0取得极大值MTC. y0是g(y)的驻点 D.以上都不对.B则( )目录 上页 下页 返回 结束 21111111111()()().().nnnnnnnnnABCDnnnn;

7、.;.4 4. . C分析分析111( 1)( 1) nnnnnnuu 或或(0)nu 其其中中如果 满足条件: 1(1)(1,2,3,),nnuun(2) lim0,nnu则级数收敛. A的一般项不趋于零，级数发散重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数. B，D 条件收敛C绝对收敛01,11,pnpnp 当当时时 收收敛敛当当时时 发发散散01,nn 发发散散10( 1),nnn 收收敛敛01 ,1 ,nnqaqq 当当时时收收敛敛当当时时发发散散下列级数中,绝对收敛的是( )知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数目录 上页 下页 返回 结束 的特解形式的特解形式为为( )C5.

8、微分方程微分方程24xyyye2( )xAAx e ；2( )(4)xBAxe ；( )xCAxe ；().xDAe 特征方程特征方程特征根为特征根为1212.rr ，1 由由于于是是特特征征根根，因此因此设非齐次方程特解设非齐次方程特解为为*.xyAxe 220,rr:Ckey1, 解：解：本题本题目录 上页 下页 返回 结束 三、计算题（每小题三、计算题（每小题8分，共分，共40分）分）22cos3,zxyxy222,.zzzzxyxx y 1. 设设求求解解 :22 cos3,zxyyx222cos,zyx2sin6zxyxyy2 sin6zxyyx y 目录 上页 下页 返回 结束 是

9、由方程 确定的隐函数 求求z10exyz ( , )zz x y解：解：知识点:隐函数求导公式,xFyz ,yFxz ,zzFexy,xzzFzyzxFexy .yzzFzxzyFexy 令令z1.Fexyz2. 设设 ,.zzxy 目录 上页 下页 返回 结束 3.的通解.求微分方程2d1dyxyx 2d1dyxyx 4.满足初始条件求微分方程1122xyye 的特解.01xy .xye 目录 上页 下页 返回 结束 还是条件收敛？还是条件收敛？ 11( 1)ln(1)nnn解解: :11nn发散,1nnu发散.,原级数收敛1,ln(1)nun设1ln(1)lim1.1nnn 111ln(1

10、)ln(11)nnuunn ，1lim0,ln(1)nnun且(1,2,);n 由莱布尼茨定理知从而知其条件收敛.5.的敛散性的敛散性, ,并指出是绝对收敛并指出是绝对收敛判断级数判断级数知识点:条件收敛,绝对收敛,交错级数目录 上页 下页 返回 结束 1. 计算,ddd)(222zyxzyx2221xyz解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围的闭区域.001r20其中 是由球面 dddsind2rrv 140drr 4.5 0sind 20d四、计算下列积分（每小题10分，共20分）1r Ozxy02sind502cos5 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算22()

11、d dxyz x y介于z=0和z=1之间部分的下侧.解解: : 22()xyDxy其中 是旋转抛物面22zxy1zyx1O在xoy面上的投影区域为22:1,xyDxy原式=:22zxy,01,z取下侧.22()d dxyxy 126 21500ddrr .3 目录 上页 下页 返回 结束 五、综合题1. 证明曲线积分 242422ddLxyxxyxyxy在右半平面 x 0 内与路径无关,并计算积分证证: 令242422,xyxPQxyxy 则5242222(0)()PxxyQxyxyx所以2(2,4)4242(1,0)2ddxyxxyxyxy2421040dd16xyyxy40arctan4

12、y (2,0)0 , 1(2,4)O2(2,4)4242(1,0)2ddxyxxyxyxy242422ddLxyxxyxyxy在右半平面x 0内与路径无关,:AB0:12,yx取直线段:BC,:04xxy直线段.4 ABC目录 上页 下页 返回 结束 2. 设平面区域D是由曲线( )yy x11( 1),nnnxn和直线五、综合题（每小题10分，共20分）的和函数.计算二重积分0,1yx所围成的闭区域，其中( )yy x是幂级数Dxdxdy.11x 目录 上页 下页 返回 结束 解解:11( 1)( ),nnnxy xn( )y x11( 1)()nnnxn111( 1)nnnnxn11()n

13、nx11+x( 1,1)在内,n在分母上先导后积0( )(0)( )dxy xyy xx01d1xxx(0)0,yln(1).x( 1,1.x 1nxx首项目录 上页 下页 返回 结束 取D 为X - 型域 :10)1ln(0:xxyDln(1)0dxy10ln(1)dxxx1410dx x说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.Dxdxdy11dyex xln2201()d2yyeex14ln20dyDxdxdy目录 上页 下页 返回 结束 全微分,复合函数求导,隐函数求导, 连续,可导和全微分的关系,函数的极值 二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分,球坐标系下的三重

14、积分,第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件去年高数A( 二)考点总结 交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理去年高数B( 二)考点 函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.目录 上页 下页 返回 结束 求函数的极限,全微分,复合函数求导,隐函数求导,连续,可导和全微分的关系,函数的极值和最值,拉格朗日乘数法. 二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分计算,极坐标系下的二重积分,直角坐标系下的三重积分,柱坐标系和球坐标系下的三重积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分,格林公式,曲线积分与路径无关的充要条件,高斯公式考试重点 交错级数的

15、莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收敛,阿贝尔定理,幂级数的收敛半径以及和函数.函数展成幂级数.傅立叶级数的收敛定理目录 上页 下页 返回 结束 口诀分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导后积先定限，限内画条线，先交为下限，后交为上限.复合函数求导二重积分计算(交换积分次序)三重积分计算先一后二,先二后一对弧长的曲线积分一代二换三定限对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲线积分一投二代三换一投二代三定号(上正下负)求和函数 先导后积,先积后导,求导去分母积分去分子展成幂级数 先导再展后积(间接展开法)1n首项二重,三重,第一类积分:你对称，我奇偶目录 上页 下页 返回 结束 Dyxfd)

16、,(ddrrDrrf)sin,cos(2( sinsin , sincos , cos)sin d d df rrrrr ( , , )d d df x y zx y z (cos ,sin , ) d d dfzz 22( , )d ( ),( )( )( )dLf x ysfttttt ( , )d( , )dLP x yxQ x yy )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ( , , ( , )x yDf x y z x y Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd ),(),(122yxzyxRdd),( , , ( , )x yDR x yz x y yxdd(上正下负)

17、目录 上页 下页 返回 结束 4.D所围闭区域，则 _.解解. 积分域如图. 01r02:Dd dDx y2100drdr将是由221xyd dDx y .一、填空题（每小题一、填空题（每小题2分，共分，共10分）分）二重积分的几何意义 目录 上页 下页 返回 结束 处( )DA、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、不能确定则它在 5. 如果幂级数1nnna x2x 的收敛半径是2， 定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级

18、数发散 , 则对满足不等式，那么此级数在 2 R( 2, 2) 内收敛,在(, 2)( 2,) 内发散， 在分界点的敛散性无法确定.二选择题(每小题2分,本大题满分10分)目录 上页 下页 返回 结束 5.将函数将函数1( )arctan,1xf xx解解:21( )11()1fxxx1()1xx2(1) (1)(1)(1)(1)xxxxx222(1)x 222(1)(1)(1)xxx2(1)(1)(1)xxx22(1)22xx211x 展开成x的幂级数，并写出他的收敛域.方法:求导展开积分三、计算题（每小题8分，共40分）目录 上页 下页 返回 结束 21( )1fxx 120( 1)( 1

19、1)nnnxx 从 0 到 x 积分, 得1200( )(0)( 1)dxnnnf xfxx1210( 1),21nnnxn定义且连续, 域为11.x 11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,( )1f xx 而在有所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛方法:求导展开积分(0)arctan14f( )f x1210( 1),421nnnxn11x 目录 上页 下页 返回 结束 间接展开法间接展开法211x x11(1) 展成x的幂级数,也就是在点 处展开.例例. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得0 x ( )0(0)!nnnfxn把 x 换成x,