连续函数的运算及性质课件

1、第八节一一、最值定理与有界性、最值定理与有界性 二、介值定理二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第二章 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无

2、最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论(有界性定理). 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 说明：定理1的条件不满足,结论不一定有,如(1) , (,),( )(,)a bf xx 改为在1(2) , ,( )(0,1)a bf xx改为有限非闭 如在上无界；1(3)( ) , ,( )(1)f xa bf xx x在上不连续 如 1,

3、2, f在有间断在其上无界；上无界；证证:例例1. 证明: 若 令,)(limAxfx则给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在, 则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )二、介值定理(0,1( )10 xxf xx

4、1xyo1(0)(1)10,ff (0,1),( )0.f却没有使2)定理提供了判断 根的存在性的( )0f x 新方法. 1)( , )( ),a bf x在内连续的说明 ( )( )0,f af b满足( , ) ,( )0:a bf不一定有使，如例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近

5、似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则,4,0)(上连续在闭区间xf例2. 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明：例3 设( )0,1,f xC 证 若记( )( ),F xf xx由于( )0,1,F xC(0)(0)0且Ff (0)0,f (1)F又(1)0.1f ( )1,且 0f x 因此, 若(0)0F

6、(1)0)F或则问题得证.若(0)0(1)0FF且，则由零点存在定理 (0,1),( )0.使F 即( ).f 0,1,( ).使 f ,0,1,( ).综上使 f 定理定理3. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(CfAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）开区间内的连续函数12( )0142xxf xxx如，(1,

7、2)在上取不到 ；0112234xy( )yf x（2）闭区间上的不连续函数 (仍用此例)。 1)介值定理的条件不满足, 可能取不到 .2) , 若在fa b上严格单调，则介值定理中的 唯一；说明Mm , ,若 fC a b 3)则f(x)可以取到它最大值M与最小值 m 之间的一切值. (推论)y 123 根据最值定理 例4( )( , ),f xC a b设12,naxxxb( , ),a b则至少 一点11( )().nkkff xn使证( )( , ),f xC a b1( ),nf xC x x121, ,( , ) ,nx xa b 11,()min ( )使nxxxff xm 12

8、,()max ( ),nxxxff xM 根据最值定理推论于是( )(1,2,3,.)imf xM i11().nkkmf xMn1 ,( , ) ,nx xa b至少 一点11( )().nkkff xn使0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例5. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时

9、当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a1. 设一点2. 设( ) , ,f xC a b且( ),( ),f aaf bb则在(a , b)内至少有一点c，使得( ).f cc提示提