第9章回归分析与方差分析

1、第9章回归分析与方差分析基本要求1. 了解回归分析与方差分析的基本思想，掌握一元线性回归方程的求法；2. 对一元线性回归模型，掌握线性相关显著性的检验法；3. 掌握利用线性冋归方程进行预测的方法；了解一些可线性化的回归及简单的多元线性冋 归；4. 掌握单因素方差分析的基本方法。典型例题1.对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间兀（s）和腐蚀深度数据如下：x551020304050606590120y4681316171925252946假设y与无之间符合一元线性回归模型y =如+勿兀+ _求（1）建立线性回归方程；（2）在显著水平a = 0.01下检验丹（）：勿=0； （3）当x0 =

2、755时，求腐蚀深度儿）的置信水平为0.99的置信区间；（4）给定l-a = 0.95,便腐蚀深度在1020“加z间，应腐蚀多长时间？解（1）因为h =11工h-11"11xx?-llx211755-11x45x18.913.5875-11x2025= 0.323i=bq=y-bx = 1 &91-0.323x45 = 4.375所以,线性回归方程为.9 = 4.375+ 0.323兀1111(2) s总=工(儿一刃2 =工异-llxy2 = 5398- 11 x357.5881 = 1464.531 i=li=111111s回胡2立石一元)2胡2(空h/=1i=li=l=0

3、.3232 x(35875-llx2025) = 1418.8744s残=s总、-s残=45.6565检验假设h°:切=0,h :加h0ho的检验统计量为f =f(“ - 2)s残心一 2)ho的临界值为甩(1, n-2) =心01(19 = 10.6,市前面计算结果知f _ s残 /(/1 - 2)所以，在显著水平0 = 0.01下,拒绝原假设，认为5工0,即y对兀的线性回归显著。i(兀0 _丘)2(3)拦=3.2498 x 2.2523 x 1.0755 = 7.87xx)9的1 a = 0.99置信水平的置信区间为(方0 +方1兀。8. b° +方1兀o +力)经过计

4、算得区间为(20.73, 36.47)。(4)为了使腐蚀深度在一定范囤内,必须控制腐蚀时间的范i节i,这是控制问题。控制范囤为(x0,x0),其屮0.323a(10- 4.375 + 2.58 x 2.2523) = 31.36s残n 一 2 1 / 兀0 =丁()；2 _方0 +%52故腐蚀时间应控制在31.3634.43秒之间。b缶(20 7375 +2.58x2.2523) = 34.432.设随机变量y与非随机变量兀满足一元正态线性回归模型y = b()+勿尤+ 0 ,x0410152129365168y66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.9e-n

5、(y2(y2 > 0未知，今对兀丫独立观测9次，得观测结果为:求(1) y对兀的回归方程;(2) a = 0.01在下检验丹0：勿=0。解由a，&)的计算公式得=279.697 > 10.6 二甩(1/ 2)b工 y -9"9i=l3535.844060= 0.87b()= y - ft x = 67.51故所求的回归方程为y = 67.51 + 0.87x（2）先计算以下儿个平方和：99总变差平方和s总=工（）丫 一歹）2 =工少孑-9y2 =76218.17-9x90.142 =309l194/=1i=9回归平方和s回=一刃 2 =3073.014/=1残差平

6、方和s残=5总-s回=18.18 对假设ho ：勿=0，有两种检验法方法一用f检验法h°的检验统计量为f =' f（l, n 2）s残n-2h° 的临界值为 甩（1, n-2） = foe （1,7） = 12.25ho的拒绝域为f>fa (1, n-2)计算检验统计量的值f = 学l = 1144.2 > 12.25 =甩（1丿一 2）s残n-2所以,在显著水平下a = 0.01下拒绝h0：勿=0,认为勿工0。即y对兀的线性回归显著。方法二用f检验法的检验统计量为厂ho 的临界值为 ta（n-2） = f（）.（）（）5 （7） = 3.4992ho的

7、拒绝域为了 >ta(n-2)2利川前面结果得9sxx 二工(勺一元)2=4060 /=1b =0.87s 残=18.18于是故在显著水平下 = 0.01 k拒绝h。：加=0,认为勿工0。即丫对x的线性回归显著。木题中，f检验法和f检验法得到相同结果，这两种方法事实上是一致的。问题与思考1. 何谓相关关系？举例说明。2. 对线性回归模型的统计分析主要解决哪些问题？3. 对一元线性回归模型，叙述线性相关关系的/检验法和f检验法，并证明这两种方法是 等价的。4. 简述最小二乘法及其基本思想。5. 在一元正态线性回归模型下，假设：ho：b=o,h.b严0,当被接受或拒绝时各意味着什么？6 方差分

8、析的基木思想及分类。7.什么是交互效应？练习与答案设随机变量丫与非随机变量兀满足一元线性回归模型y=b( +/71x + e(e) = o,z)(e) =(t2 >0,对兀和y独立观测6次，得到以下数据:300400500600700800y405055606770求y关于兀的线性回归方程。2. 用镁合金x光探伤时，要考虑透视电压v与透视厚度/的关系，做了 5次独立试验结果 如下：l(mm)816203454v(v)455().55562.570设叫=b° +bjj +勺(21,2,3,4,5),勺是相互独立且服从正态分布7v(o,(t2) (/未知)的随机变虽。求v关于/的线

9、性回归方程，并在显著水平0 = 0.05下检验线性回归模型的显 著性。3 .设随机变量丫与非随机变量x之间满足线性回归模型 y =b0 +blx + e,e(e) = 0,d(e) = (j2 > 0 , bq,b和(t?是未知参数,测得 6 组数据：3.253.205.07342.904.02y2813270511103259021315181求仇,勺的最小二乘估计量和<7?的无偏估计量。4.设有一个数学提高班，现将学生分成三个小组，分别由甲、乙、丙三位教员任教，三个 小组的部分学生的最终成绩如下：任课教员学生成绩(分)甲6555757555乙85658090丙85759590100设三个小组学生成绩服从正态分布，方差相同，在检验水平为0 = 0.05下，检验教员对学 生学习成绩影响是否显苦？5. 抽查某地区三所小学五年级男学生身髙，得数据如下：小学身高数据(cm)小学甲12&1134.1133.1138.9140.8127.4小学乙150.3147.9136.8126.0150.7155.8小学丙140.6143144.5143.7148.5146.4设三所小学学牛身高均为正态分布，方差相同，问该地区三所小学五年级男学生的平均