全国优质课-充分条件与必要条件

1、“充要条件”教学设计一.教学内容解析1 .教学内容“充要条件”是高中数学教学中的最为重要的数学概念之一.“课标”中对于本节内容 的教学要求是通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件 的关系；理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系：理解充要条件的意义，理 解数学定义与充要条件的关系.并从集合角度对概念加以剖析，使学生更加直观地理解概念 的内涵。2 .知识分析本刊内容属于概念性知识，教学重点是对概念的理解。是高中人教B版数学选修 2-1第一章简单逻辑用语第三节的内容。首先，教材中先对命题“若p则q”的真假进 行讨论：“若p则q”为真命题，等价于“由p推出q”。

2、之后，给出“充分条件”，“必要条 件”，“充要条件”的概念，并在具体应用中始终强调命题“若p则q”为真与“p=>q”与 “P是q的充分条件”，“q是p的必要条件”这四种表达形式的一致性。这样安排，体现知 识层层深入，螺旋上升，符合学生认知规律。另外，对这一概念的学习，既可以培养学生的 逻辑推理能力，又可以让数学核心素养在课堂中落地生根。3 .素养体现在普通高中数学课程标准（2017年版）中，这部分知识调整到了预备知识这一主题中， 内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元 二次不等式。足见这部分知识对整个高中阶段数学学习的重要性。在“充要条件”的教学

3、中，首先，要体现逻辑推理数学素养，提升学生研究问题严谨性 与精准性的能力。其次，由具体实例抽象生成数学概念，体现数学抽象在概念教学中的作用。 再次，通过集合思想直观呈现概念的几何含义，培养学生直观想象数学素养。2 .教学目标设置1 .了解“若p则q”形式的命题，能正确描述“条件”和“结论”，会判断其真假：2 .能够理解“若p则q”为真与“p=>q”与“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件” 这四种表达形式的一致性；3 .会用集合思想直观理解“充分条件”与“必要条件”，理解“以小见大，大而必要” 的含义；4 .能够充分理解“充分条件”，“必要条件”与“充要条件”之间的区别；5 .将“直观

4、想象”、“数学抽象”和“逻辑推理”核心素养落实到课堂教学中。3 .学生学情分析笔者所带班级学生是文科学生，大部分同学具有良好的数学素养，同时教学设备也比较 先进，所以，整个教学过程是在多媒体辅助，结合传统的板书教学之下完成的。但也会存在 教学中的有利因素和不利因素。1 .有利因素学生初中已经接触过命题及其真假的判断，所以，教学中，可以列举严谨但不失生活常 识的命题作为引例，之后再抽象生成精准概念，这样更有助于学生理解概念，理解数学源于 生活，服务于生活。2 .不利因素“充分条件和必要条件”是密不可分的两个概念，也是理解“充要条件”的前提和基础。 学生对于“充分条件”比较容易接受和理解，但对于“

5、必要条件”的理解相对困难一些。所 以，教学中，采用通俗易懂的命题先把概念鉴定清楚，然后再进行抽象概括。这样设计便于 突破难点。3 .应对策略鉴于此，教学中用一个较为易懂的命题“如果我生活在内蒙古，那么我生活在中国”为 例引入课题，并通过集合思想让学生直观理解过程，进而用具体命题先得出“充分条件”和 “必要条件”这两个概念，并始终强调''一箭双雕"，“以小见大，大而必要”的功能。即在 “p=>q”这一过程中，能生成两个概念：“p是q的充分条件”和“q是p的充分条件”，即 所谓的“一箭双雕”，从集合观点来看，不难理解的是“小范围能够推出大范围”，“想在小 范围就必须

6、具备在大范围”，即所谓的“以小见大，大而必要"。这样反复强化，有助于学生 更加深入地理解概念。4 .教学难点本节的教学难点是充要条件的判断，首先要意识到这是一个'双向判断”的过程，再结 合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解“充要条件”中条件与结论的等价性，进而理解数 学概念与充要条件的关系。4 .教学策略分析鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，课堂教学主要遵循以下思路：1 .坚持“教师主导，学生主体”的教学理念本节课从教学内容来看，是通过对典型命题分析，抽象出新的数学概念。所以，教师更 多应站在一个引路人的角度，让学生发现命题的条件与结论之间的相互制约与相互

7、依赖关 系，进而逐步形成概念。2 .实例引入，启发诱导，注重对学生思维的训练教师通过命题引入，引导学生多角度审视问题，分别从命题的真假，条件与结论的推出 关系，集合思想的直观解释三个方面入手，既重视理性分析，又强化感性认识。在具体命题 中得出“充分条件”和“必要条件”的概念，从而提升学生对一个具体的数学命题的理解能 力，为进一步抽象归纳一般概念打下基础。3 .注重创新，亲切幽默，让学生轻松参与课堂整个教学过程划分为五个环品问题引入，概念生成，应用提升，课堂小结，布置作业。 以问题为主线，将命题的真假与“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”联系起来，理 解其实质的统一性。当然，为了增加学生的参

8、与度，课堂不能没有新意和幽默感，所以，设 置了 “中国地图和内蒙古地图”的直观感知过程，归纳了 “一箭双雕”，“以小见大，大而 必要”的记忆规则，最后，用“诗歌”的形式进行课堂小结。5 .教学过程1 .问题引入在数学和日常语言中，我们经常会遇到“若p则q”形式的命题，其中称p为命题的条 件，称q为命题的结论。下面，为了更加准确地理解命题，我给同学们举一个严谨但不失生活常识的例子：引例：如果我生活在内蒙古，那么我生活在中国.问题设置：（1）这个命题的条件和结论分别是什么？（2）这个命题的真.假？（3）请同 学们再举几个命题，并说明条件与结论之间的关系。【设计意图】给出学生比较熟悉的命题实例，让学

9、生熟悉命题的构成，并且会通过逻辑 推理得出命题的真假，由此得到命题“如果p则q”为真的等价说法“p=q”。通过地图展示，将命题的“条件”与“结论”视为集合，从集合观点让学生直观体会命 题中“条件”与“结论”的包含关系。之后，在具体问题中让学生初步感受“充分条件”和 “必要条件二问题（3）的设计意图是想从中获得学生对知识的理解程度，以达到指导下面的教学流 程。2 .概念生成抽象出“充分条件” “必要条件”的概念，流程如下：“如聆则是真命题0pnqsp是q的充分条件，“是p的必要条件在这一教学过程中，由于之前已有实例作为铺垫，所以采用提问学生的方式进行。【板书概念】“如果P则q”为真命题，等价于“

10、p=>q”，并称p为q的充分条件，q 为P的必要条件。【板书注释】概念可理解为“一箭双雕，以小见大，大而必要。”题组一：判断下面说法的真假，并用三种不同的等价说法描述这一逻辑关系。(1)如果四边形是菱形，那么四边形是平行四边形；(2)等边三角形=>等腰三角形；(3)梯形是平行四边形的充分条件：(4) =0是"=0的必要条件.【设计意图】题组一的四个小题分别从四个角度给出，这样设计可以更好地了解到学 生对概念的理解程度，以便发现问题，及时解决问题。题组二：判断下列命题的真假.(Dp： u>b, q a+c>b+c.2 2) q： a+c>lc p： a&g

11、t;h.【设计意图】两个命题其实是互逆命题，由之前知识做铺垫，引导学生说出既是夕 的充分条件，又是夕的.必要条件，从而简称为“充要条件”，同理可得“夕是充要条件”。【板书概念】如果“P=q"，且“q=P”，则称P与q互为充要条件.【板书注释】概念可理解为“双向判断，实为等价3 .应用提升例 下列命题中，哪些p是q的充要条件.(1) p：A=%q：4n8 = A(2) p:v>0 -v>0, q：n'>°(3) p:四边形的两组对边分别平行，q:四边形为平行四边形(4) p：sina = l,q：a=90.【设计意图】通过对4个命题的双向判断，反馈学生对充要条件的理解，并理解充要条 件与数学定义的关系。另外，为了加深学生对概念的理解，可以从集合角度予以解释4个命 题。4 .课堂小结本节课是一节概念课，教学重点是要将概念的来龙去脉讲