第1章单自由度系统的自由振动题解

1、习题1-1 一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为仍，视为一刚性杆；柱子高/7, 视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为£7。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，等效弹簧系数为 贝1jmg - ks其屮为两根杆的静形变址则讨以看作是两根相同的弹簧的并联巾材料力学易知s=mgh3 24 ejejttnrrejttnfrr题1-1图24 ej没静平衡位置水平向右为正方向，则有mx = -kx所以固有频率=1-2 一均质等直杆，长为/,重量为iv,用两根长a的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2 图所示。试写岀此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方

2、程，并求fli振动固有周期。/z/zz7/y/r/7z/yhathzj11 z j22题1-2图解：给杆一个微转角沒3= ha22fcosrz= mg由动量矩记理:(1)(2)(3)e310 = m.0aa2=-rsmdz cos - -mg a - -mg a228/z其中sina - a cos « 1 2mr-e+mg.a-e1-3求题1-3阁屮系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是h和,悬臂梁的质量忽略不计解：悬臂梁可看成刚度分别为h和h的弹簧，因此，h与6串联 设总刚度为f。k:与么并联，设总刚度为f。f与串联,设总刚度为h即为k''=集，仏kk2k4 +

3、k2k3k4 + kk2k4 + k-,k +众丨众2 +众1众4 +众2众4题1-3图2kk2k4 + k2k3k4 + k'k2k4m(k'k3 + k2k3 + kk2 + k'k4+ k2k4)1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中人、j2和/3是三个轴段截面 的极惯性矩，/是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为g。解：k' =gj、ii'k2 = gj 2 / /2题1-4图，3 =2 3 / (2 ,3 + 3 ,2 )(4)k3 = gj3 /z3由(2)知= g(j'j2l3 + j

4、'l2 + j2ji)/ ii'(j2l3 + j3l2)1-5如题1-5图所示，质量力/叱的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量 为/,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。题1-5图解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x，设系统的振动方程为 x = asin(wt + a)则系统运动过程屮速度表达式为：i= ah，cos(uv + 60v*系统最大位移和速度分别为：.max_4max =系统在运动过程中，动能表达式为:=-/77,%2+-42+- 2 2 ' 2弹性势能为:u=1+#2系统最人动能为：trma

5、x=nt(aw)2 +_m，(aw)2 + 2 2 '( 1aw最大弹性势能为：un=-k由于系统机械能守恒，因此:1、21、，( 1, v aw v 1awl 1 丄 a 11771, (aw)2 +-|-zz22(aw)2 +2l2mr j +i7|xj+ -2a2由上式可解得系统的同有频率为:所以，7l.、+/72,<1>2/?>2 + 去max3 im, + 2,7?2+f1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为/q，求系统的固有频率解：设曲臂顺时针方向转动的p角为广义坐标，系统作简 谐运动，其运动方程为p = osin(/v + 6z)。妒很小，系

6、统的动能为19191t = -io(p2+-ml(a(p)2-m2(l(p)(p = (pn cos(厂,，+ 6z)取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为<52，么，由em()(f)=0,kxsxa- ma ga + k3s3b- k2s2l = 0(a)由题意可知，系统势能为v = i( + i)2 一5|2 +去3(种+ 么)2 逐32 + 2(# 么)2 -8l + mag(pci (b) 将(a)式代入(b)式，可得系统最大势能为，vmax =去+ 去脚2 士20>2,2由，得 去/斤2久2+去去少去2+|2+去m>2/2所以，有2 kci“ +10

7、+ m21-7个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg,弹簧静伸长是lcm，(m巾振动2()个循环后,振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动袞减曲线得包络方程为：x = ae-ziz振动20个循环后，振幅比为:0.640j6=e20ntd:.td =in 4 20代入得:in 42=io7720zt l00g-n2 c = 6.9 n s /m2a i mk 3pn =3kaml1-8 一长度为/、质量为m的均质刚性杆铰接于o点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所 示。写山运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。fc解：图（1）为系统的静平衡位罝，pi受力

8、图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为:iq(p + c(pl2 + k(pa2 =0.= ml2.3c . 3ka2 (p + 少 + - = 0m ml，ml3ka2 . 3c pn = 2n当时,cccc2mn _ 2pnm _ 2a mk丁- 3 rvt1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写岀运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解:i(p = -kb(pb - cacpa ml2(p = kb2(p-ccccp题1-9阁"kb2 ca2 .广、kb2 p”2ml2ii1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动

9、，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。己知=48020 n/m，c =1960 ns/m, w重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最 大振幅是多少？解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分 方程为题1-10图x + 2zir + px = 0戶斤以有x + x +x=o m m2+1960 r+48020=02000 2000r=-0.49±4.875i所以:x = cxe"a49,cos4.875t+c2 一49/sin4.875t其特征方程为：由于n. a，由己知条件，n =-1960 = o49 厂了 = a = 48020 = 24.01， xo=o， x0 =

10、 0.03 m/so 故通角军为2m 2x2000m 2000x = ent (c, cos pdt + c2 sin pdt)其中，p, = 4.875 o代入初始条件，得x =sin pdt =0.006 e°a9tc, = x() = 0, c9 =似()+ a) _ o_ _ 0.006，得 pd pdsin4.875tx =0.006e1 (-0.49) sin4.875t+0.006x4.875cos4.875物体达到最人振幅吋，冇x - -nc2e,u sin pdt- c2ent pd cos pdt = 0既得f = 0.30 s时，物体最大振幅为x = 0.006e_()4