实变函数中反例

1、 实变函数中反例的总结与构造技巧1 集与点集1.1 设不相交且都为闭集，且至少有一个有界，则其中。 若A,B都是无界集，结论就不成立。例如;直线,轴都是闭集，且都无界，它们之间距离不能表示成两点的距离，它们的距离为0，而两点间的距离为。1.2 对等的概念 设 为两个集，如果有一一映射的存在，使 ,则称 与 成一一对应或相互对等，记成. 在这个概念中，必须明确“一一映射”，即抓住“单射”和“满射”，这两点缺一不可。例： ，：, 这个例子中只是：“单射”而不是“满射”，对 因为 是 上的严格单调增函数，故 : 是“单射”，又因为 ，即是 的真子集，故 不是满射。1.3 开集性质 (1)任意个开集的

2、并是开集；（2）有限个开集的交是开集。若将“有限”变为“无限”性质（2）就不成立，即为无限个开集的交不一定是开集，例如：令 ,则 ，不是开集。1.4 开集与闭集 开集概念中要注意两点：（1）开集是点集；（2）点集的每一个点都是内点。例如：开区间 ,圆盘 = 等，而闭区间 ，半闭区间 ,还有孤立点的点集 为非开集。 闭集概念中要注意两点：（1）闭集是点集；（2）点集的每一个聚点都属于该点集。 例如：闭区间 ,圆盘 = ，以及有限集合 等，而开区间 , 半开区间 为非闭集。1.5 实数空间是完备的，而有理数空间是不完备的。例如：,即有理数列的极限是无理数。2 勒贝格测度2.1 定理3.6 (1)

3、设 是基本集中的 渐张可测集，即,则 是可测的，且 (2) 设 是 基本集 中的 减缩可测集列，即 则 是可测的，且 但是对于无限集情形，（2）不一定成立。例如，取 ,则关系式 成为 ，显然不成立。2.2 外测度定义：设 为有界集， 的外测度定义为一切包含 的开集的侧度的下确界，并记成 . 如果把外测度定义改为“有界集 的外测度是包含 的闭集的测度的下确界”，这是不合理的。例如设 中有理点集为，无理点集为 ，则 ，显然，任何包含 的闭集 ，必有 ，因此如果采用上述方法定义外测度，就有 ，但 ，这就使 成不可测集。即使采用其他定义外测度，使 与均可测，那将出现,而，测度的有限可加性就不成立了。2

4、.3 开集的单调性 设 是两个有界开集，且 ，则 . 若将“有界”删去，变为 ， 是开集，且 是 的真子集，则不一定有 。例如： ， ，虽然 是 的真子集，但是 . 3 可测函数3.1 设 是定义在可测集 上的实函数， 如果对于任何有限实数 , 都是可测集, 则 称 为定义在 上的可测函数。连续函数必为可测函数, 但反之不一定成立. 例如 , 对 令 是可测函数, 但它不是连续函数. 由于对任意 , 集 总是下述三个集合之一 : (当 ) , 中有理点集 ，当 ( ），, （）, 它们都是可测集,故 是 上的可测函数, 但它在 是点点不连续函数。3.2 若可测，则也可测，但其逆定理不成立。例如

5、：设E为0，1上的不可测集， 则 在0，1上连续，所以它在0，1可测；但 在0，1不可测，这是因为，若0E，则不可测，若 ，则 不可测，所以 在0，1上不可测。3.3 一致收敛 几乎处处收敛; 反之不成立。函数列在开区间0,1上几乎处处收敛 实际上是处处收敛 , 但并不一致收敛. Rie sz定理 :设在 上 依测度收敛于 , 则存在子列 在 上 收敛于 . 由 依测度收敛于,对0，,从而对每一自然 , 存在 自然数,使,=1,2,3,.,并且并且可以假定,令 , ，则 ,因此 ,但在 上 有 处处收敛于。其实， ,表示存在某个，使,故时， 即当 时， ，因而在 上，收敛于。 3.3 叶果洛夫

6、定理中条件 是不可少的，例如考虑R上的函数列 ,每个 是 上的可测函数，且 处处收敛于零.但是对=1/2，有,因此定理中所述的对于=1不存在。3.4 可列集的测度必为 0 , 但反过来就不成立了. 即如果 ,不一定有 E 为可列集的结论. 如对于 Cantor 三分集, 虽然有 , 但 Cantor 三分集却具有连续统势. Cantor 三分集的由来是把闭区间 0 , 1 三等分, 并把中间的 1/ 3 去掉, 然后把剩余的区间依次划分成三等分, 又把每一个中间的 1/ 3 去掉, 无限重复这个过程, 那些留下的点构成的集合就是 Cantor 三分集. 在第一步里, 长度为 1/ 3 的一个区

7、间去掉了; 在第二步里, 长度为 1/ 3 的两个区间去掉了; 一般地, 在第 n 步后, 长度为 1/ 3n 的2n- 1 个区间去掉了, 因此可得 Cantor 三分集的测度为 . 引进 中小数的三进表示. 设区间 中每个点 可表示为 其中 , 其中 是 0 , 1 , 2 中任一数字. 该区间的端点均有两种表示, 规定采用（ 不出现数字 1 ） : , . 区间 或区间中的点可分别表示为 = 或 = , 其中 , 是 0 , 1 , 2 中任一数字. 而区间端点则表示为 (不出现数字 1) : =,= , = ,= 如此等等. 据归纳法可知, 依上述规定, , ,中的点的三进表示中必有一

8、位数字为 1 , 且只有这样的点才属于, 因而与集合一一对应. 而 A 0 , 1 , 故 A 的势为 Z , 从而 C 的势为 Z. 3.4.1 有界集的L ebe sgue 测度必是零. 但是反之不成立, 无界集的L ebe sgue 测度甚至可以0. 如直线上的有理数集是无界的, 但其 L ebe sgue 测度为 0. 4 勒贝格积分 4.1 Riemann 可积与 L ebe sgue 可积的关系 如果有界函数 在闭区间 上 Riemann 可积, 则 在 上L ebe sgue 可积, 但其逆定理不成立. 设 是定义在闭区间 上的Dirichlet 函数, 即 则 Riemann

9、不可积, 但 L ebe sgue 可积, 且 这说明了L ebe sgue 积分是比 Riemann 积分范围更广的一种积分.4.2 勒维定理中去掉函数列的非负性假定，结论不成立。 例如在 上对于n=1,2.,定义 则有 但 显然结论不成立。4.3 定义在有限区间上的函数若为 可积，则必 可积，且积分值相等。 若对无界集的 积分，这个定理不成立。例如在 上定义的函数是依广义积分意义R可积的，但不是L可积的，这是因为非绝对可积。 4.4 定理 设,序列测度收敛于,并设每个可积，那么，关系式 成立的充要条件是序列 在 上有等度的连续积分。 若 时则定理不成立。例如，考察序列 .4.5 勒贝格控制收敛定理设可测集上的可测函数列满足下述条件：的极限不存在，且有可积函数使,那么， 可积且有.定理中序列受可积函数控制这一条件不可少，